천-사이먼스 형식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분위상수학]]에서 '''천-사이먼스 형식'''([陳]-Simons型式, {{llang|en|Chern–Simons form}})은 [[리 대수]] 값 [[미분형식]]에 대해 곡률 특성 형식(curvature characteristic form)을 자명화시키는 [[미분형식]]이다. 이차 [[특성류]] 가운데 하나로 볼 수도 있다. 1974년 [[천싱선]]과 [[제임스 해리스 사이먼스]]가 정의하였다.<ref>Chern, Shiing-Shen; Simons, James Harris (1974). “Characteristic forms and geometric invariants”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 99 (1): 48–69. doi:10.2307/1971013. ISSN 0003-486X. JSTOR 1971013. MR 0353327. Zbl 0283.53036</ref> 특수한 경우로서 G-[[주다발]]과 [[접속]]이 주어진 홀수 차원 [[매끄러운 다양체]]에서 정의하기도 한다.

== 정의 ==
=== 천-사이먼스 원소 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 유한 차원 [[실수 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>
* <math>\mathfrak g</math>의 <math>n</math>차 [[불변 다항식]] <math>p \in \operatorname{Sym}(\mathfrak g^*)</math>
그렇다면, <math>\mathfrak g</math>로 구성되는 [[베유 대수]] <math>\operatorname W(\mathfrak g)</math>를 정의할 수 있다. 이는 [[가환 미분 등급 대수]]이다. 또한, [[불변 다항식]]의 공간 <Math>\operatorname{inv}(\mathfrak g)</math>은 자연스럽게 [[베유 대수]]의 부분 공간으로 간주될 수 있다.
:<math>\operatorname{inv}(\mathfrak g)\to\operatorname W(\mathfrak g)\to\operatorname{CE}(\mathfrak g)</math>
이제, <math>p\in \operatorname{inv}(\mathfrak g)</math>의 원소는 [[베유 대수]] <math>\operatorname W(\mathfrak g)</math> 속에서 항상 닫힌 원소이며, [[베유 대수]]의 [[코호몰로지]]는 (정의에 따라) 자명하다. 따라서,
:<math>\mathrm d\mathsf c = p</math>
가 되는 <math>2n-1</math>차 원소
:<math>\mathsf c \in \operatorname W^{2n-1}(\mathfrak g)</math>
를 찾을 수 있다. 이를 <math>p</math>의 '''천-사이먼스 원소'''({{llang|en|Chern–Simons element}})라고 한다.

이과 같은 구성은 임의의 [[L∞-대수]]에 대하여 그대로 일반화된다.

=== 리 대수 값 미분 형식의 천-사이먼스 형식 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* 유한 차원 [[실수 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>
* [[리 대수 값 미분 형식|<math>\mathfrak g</math>값의]] [[1차 미분 형식]] <math>A \in \Omega^1(P;\mathfrak g)</math>
그렇다면, <math>A</math>는 [[가환 미분 등급 대수]]의 [[준동형]]
:<math>\mathsf A\colon\operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname\Omega(M)</math>
과 같은 데이터를 갖는다. 구체적으로, <math>\mathfrak g</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 <math>(t_i)_{i\in I}</math>라고 하고, <math>\operatorname W(\mathfrak g)</math>의, 이에 대응하는 등급 1의 생성원을 <math>(t^i)_{i\in I} \subseteq \operatorname W(\mathfrak g)</math>라고 할 때, [[미분 등급 대수]] 준동형 <math>\mathsf A</math>에 대응하는 [[1차 미분 형식]]은
<math>A = t_i\mathsf A(t^i) \in \operatorname\Omega^1(M;\mathfrak g)</math>
이다.

이에 따라서, <math>\mathfrak g</math>의 <math>n</math>차 [[불변 다항식]] <math>p</math>에 대한 <math>\operatorname W(\mathfrak g)</math> 속의 대수적 천-사이먼스 원소
:<math>\mathsf c \in \operatorname W^{2n-1}(\mathfrak g)</math>
에 대하여, 그 [[상 (수학)|상]]
:<math>\operatorname{CS}(A,p) = \mathsf A(\mathsf c) \in \operatorname\Omega^{2n-1}(M)</math>
은 <math>M</math> 위의 <math>2n-1</math>차 [[미분 형식]]을 이룬다. 즉, 이는
:<math>\mathrm d\operatorname{CS}(A,p) = p(A)</math>
를 만족시킨다.

=== 주접속의 천-사이먼스 형식 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[리 군]] <math>G</math> 및 그 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>
* <math>G</math>-[[주다발]] <math>G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M</math>
* <math>P</math> 위의 [[주접속]] <math>A \in \Omega^1(P;\mathfrak g)</math>
그렇다면, <math>P</math>의 [[주접속]]의 공간은 <math>\operatorname\Omega^1(M;\mathfrak g)</math>에 대한 [[아핀 공간]]이지만, 이는 표준적인 원점을 갖지 않는다.

원점을 고르는 것은 [[주접속]] <math>P</math>의 임의의 자명화 및 각 자명화의 단면을 선택하는 것에 해당한다. 즉, 충분히 섬세한 [[열린 덮개]] <math>(U_\beta)_{\beta\in B}</math> 및 [[미분 동형]] <math>U_\beta \times G \to (P\restriction U_\beta)</math>들을 고르면, 주접속 <math>A</math>는 덮개의 각 원소 위의 [[리 대수 값 미분 형식|<math>\mathfrak g</math>값]] [[1차 미분 형식]]들의 모임
:<math>A\restriction U_\beta \in \operatorname\Omega^1(U;\mathfrak g)</math>
의 데이터로 주어진다. 이에 따라, 선택한 [[불변 다항식]] <math>p\in\operatorname{inv}(\mathfrak g)</math>에 대한 각 조각별 천-사이먼스 형식들을 정의하여 짜깁기하여 <math>M</math> 전체에 정의된 [[미분 형식]]
:<math>\omega_{2n-1} \in \operatorname\Omega^{2n-1}(M)</math>
을 얻을 수 있다.

이렇게 하여 얻은 미분 형식은 <math>p</math>가 게이지 불변이므로 무한소 게이지 변환(즉, [[항등 함수]]와 [[호모토픽]]한 게이지 변환 <math>\in\operatorname{Aut}(P) = \mathcal C^\infty(M,G)</math>)에 대하여 자동적으로 게이지 불변이다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환(즉, <math>\operatorname{Aut}(P) = \mathcal C^\infty(M,G)</math>의 자명하지 않은 [[연결 성분]])에 대하여 불변이지 않다. 즉, 이는 일반적으로 대역적으로 잘 정의되지 않는다.

다만, 만약 (예를 들어) <math>M</math>이 <math>2n-1</math>차원 [[매끄러운 다양체]]라면, 그 [[적분]]
:<math>S_{\operatorname{CS}}=\int_M\omega_{2n-1}\in\mathbb R</math>
을 생각할 수 있다. 이 경우, 큰 게이지 변환의 군
:<math>\pi_0(\mathcal C^\infty(M,G))</math>
은 이 값 위에 작용하게 된다. 만약 <math>\pi_0(\mathcal C^\infty(M,G))</math>의 작용이
:<math>S_{\operatorname{CS}} \mapsto S_{\operatorname{CS}} + (\Delta S_{\operatorname{CS}})\mathbb Z</math>
의 꼴이라면, 이 경우
:<math>\exp(2\pi\mathrm iS_{\operatorname{CS}}) \in \operatorname U(1)</math>
는 잘 정의된다. 이와 같은 구성은 이론물리학에서 [[천-사이먼스 이론]]의 정의에 사용되며, 큰 게이지 변환의 작용은 물리학적으로 [[천-사이먼스 이론]]의 전위({{llang|en|level}})의 양자화로 귀결된다.

== 성질 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[평탄 주접속]] <math>A</math>의 (임의의 [[불변 다항식]])에 대한) 천-사이먼스 형식은 (정의에 따라) [[닫힌 미분 형식]]이다. 마찬가지로, <math>n</math>차 [[불변 다항식]] <math>p</math>에 대하여, 만약
:<math>\dim M = 2n - 1</math>
이라면, 천-사이먼스 형식은 최고차이므로 닫힌 미분 형식이다. 이와 같은 경우, 천-사이먼스 형식은 실수 계수 [[코호몰로지류]]를 정의한다.

== 예 ==
가장 자주 사용되는 천-사이먼스 형식은 다음과 같다.

리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 유한 차원 [[리 대수의 표현|표현]]
:<math>\rho \colon \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(N;\mathbb R)</math>
이 주어졌을 때,
:<math>p_n(x^i) = \operatorname{tr}\left(\left(\sum_ix^i\rho(t_i)\right)^n\right)</math>
는 [[대각합]]의 순환성에 의하여 항상 <math>2n</math>차 불변 다항식이다.

따라서, 이에 대한 <math>2n-1</math>차 천-사이먼스 형식 <math>\omega_{2n-1}</math>을 정의할 수 있다. 즉,
:<math>\omega_{2n-1} = \operatorname{tr}(\rho(F)^n)</math>
이 된다. 여기서 <math>\rho(F)^n</math>이란 <math>\rho</math>를 사용하여 <math>t_i\mathsf A(\delta t^i) = F \in \operatorname\Omega^2(M;\mathfrak g)</math>를 [[2차 미분 형식]]의 <math>N\times N</math> [[정사각 행렬]]로 간주한 뒤, 행렬 곱셈과 미분 형식 [[쐐기곱]]을 합성한 연산에 대한 제곱이다.

만약 <math>\mathfrak g=\mathfrak u(n)</math>일 때, <math>\omega_1,\omega_3,\dotsc,\omega_{2n-1}</math>들은 <math>\mathfrak u(n)</math>의 <math>n</math>개 [[불변 다항식]]에 각각 대응한다. (만약 <math>\mathfrak g=\mathfrak{su}(n)</math>일 경우, <Math>\omega_1 =0 </math>이 된다.)

이러한 7차 이하의 천-사이먼스 형식들은 다음과 같다.
:<math>\omega_1=\operatorname{tr}A</math>
:<math>\omega_3=\operatorname{tr}\left(F\wedge A-\frac13A\wedge A\wedge A\right)</math>
:<math>\omega_5=\operatorname{tr}\left(F\wedge F\wedge A-\frac12F\wedge A\wedge A\wedge A+\frac1{10}A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\right)</math>
:<math>\omega_7=\operatorname{tr}\left(\frac47A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+2dA\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+\frac83dA\wedge dA\wedge A\wedge A\wedge A+\frac43dA\wedge A\wedge dA\wedge A\wedge A+dA\wedge dA\wedge dA\wedge A\right)</math>

이러한 식에서, <math>\wedge</math>는 사실 ([[리 대수의 표현]]을 사용하여) [[미분 형식]]의 [[정사각 행렬]]로 간주한 것들의 행렬곱이다. 즉, 리 대수의 지표는 ([[정사각 행렬]]로 표현하여) 행렬곱을 취하고, 행렬의 각 성분인 [[미분 형식]]은 [[쐐기곱]]을 취하는 것이다.

=== 천-사이먼스 형식의 계산 ===
이러한 꼴의 불변 다항식에 대한 천-사이먼스 형식은 다음과 같이 대수적으로 모형화될 수 있다.

하나의 등급 1의 생성원 <math>\mathsf a</math>로 생성되는 [[유리수]] 계수 자유 [[미분 대수]]
:<math>\mathcal A = \mathbb Q\langle \mathsf a,\mathrm d\mathsf a\rangle</math>
를 생각하자. 이는 등급 가환 법칙을 따르지 않지만, [[미분 (대수학)|미분 연산]] <math>\mathrm d</math>는 멱영 연산이며 <math>\mathsf a</math>에 대한 곱셈과 등급 가환한다. 즉,
:<math>\mathrm d^2\mathrm a = 0</math>
:<math>\mathrm d \colon \mathsf a p \mapsto (\mathrm d\mathsf a) p-\mathsf a(\mathrm dp)\qquad\forall p\in A</math>
:<math>\mathrm d \colon (\mathrm d\mathsf a) p \mapsto (\mathrm d\mathsf a) (\mathrm dp) \qquad\forall p\in A</math>
이다.

이제, 다음과 같은 꼴의 항들로 생성되는 [[부분 벡터 공간]]을 생각하자.
:<math>V = \operatorname{Span}_{\mathbb Q}\left\{
pq
- (-)^{\deg p\deg q}
qp
\colon p,q \in\mathcal A
\right\}\subsetneq \mathcal A</math>
(이는 [[대각합]]의 순환성에 의하여 대각합을 취하면 0이 되는 항들의 공간이며, 특히 [[아이디얼]]이 아니다. 예를 들어, <math>\mathsf a^2\in V</math>이지만 <math>\mathsf a^3\not\in V</math>이다.) 그렇다면, 임의의 양의 정수 <math>k\in\mathbb Z^+</math>에 대하여,
:<math>\mathrm d\mathsf w_{2k-1} - (\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2)^k \in V</math>
가 되는 원소 <math>\mathsf w_{2k-1} \in \mathcal A</math>가 존재함을 보일 수 있으며, 그 [[동치류]] <math>\mathsf w_{2k-1} + V \in \mathcal A/V</math>는 유일하다. 이것이 <math>2n-1</math>차 천-사이먼스 형식이 된다.

특히, 천-사이먼스 형식을 계산할 때,
:<math>\mathsf a^{2k} \in V</math>
이라는 사실이 자주 사용된다.

이를 통해, 처음 몇 개의 천-사이먼스 형식을 다음과 같이 계산할 수 있다. 여기서 편의상 <Math>\mathsf f=\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2</math>이며, “대각합” <math>\operatorname{tr}(-)</math>은 <math>\mathcal A/V</math>로 [[동치류]]를 취하는 것이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''1차 천-사이먼스 형식의 계산:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>
\operatorname{tr}(\mathsf f) = \operatorname{tr}(\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2) = \operatorname{tr}(\mathrm d\mathsf a)
</math>
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''3차 천-사이먼스 형식의 계산:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>\begin{aligned}
\operatorname{tr}(\mathsf f^2) &= \operatorname{tr}\left(
(\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2)
(\mathrm d\mathsf a+\mathsf a^2)
\right) \\
&= \operatorname{tr}\left(\mathrm d\mathsf a^2+2(\mathrm d\mathsf a) \mathsf a^2\right) \\
&= \operatorname{tr}\left(\mathrm d((\mathrm d\mathsf a) \mathsf a)
+\frac23\mathsf a^3\right) \\
&= \operatorname{tr}\mathrm d\left((\mathrm d\mathsf a) \mathsf a+\frac23 \mathsf a^3\right)\\
&= \operatorname{tr}\mathrm d\left(
\mathsf f\mathsf a - \frac13 \mathsf a^3
\right)
\end{aligned}</math>
</div></div>

== 역사 ==
[[천싱선]]과 [[제임스 해리스 사이먼스]]가 1974년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Characteristic forms and geometric invariants|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1974-01_99_1/page/48|저자링크1=천싱선|이름1=Shiing-Shen |성1=Chern|저자링크2=제임스 해리스 사이먼스|이름2=James Harris|성2=Simons|저널=Annals of Mathematics|권=99|호=1|월=1|날짜=1974|쪽=48–69|doi=10.2307/1971013|mr=0353327|zbl=0283.53036|jstor=1971013|issn=0003-486X|언어=en}}</ref> 천싱선과 사이먼스는 [[리만 다양체]]의 [[폰트랴긴 특성류]]를 조합론적으로 계산하려고 하였는데, 이러한 공식의 존재에 대한 방해물로 천-사이먼스 형식을 발견하였다.

==물리학에 응용==
1978년 러시아 수리물리학자 [[알베르트 시바르츠]]는 천-사이먼스 형식을 이용하여 3차원 [[위상 양자장론]] 가운데 하나인 [[천-사이먼스 이론]]을 최초로 발견하였다.<ref>Schwartz, A. S. (1978). “The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants”. 《Letters in Mathematical Physics》 (English) 2 (3): 247–252. doi:10.1007/BF00406412.</ref> 이는 3차원 양자중력과도 연결되며<ref>Achúcarro, A.; Townsend, P. (1986). “A Chern–Simons action for three-dimensional anti-De Sitter supergravity theories”. 《Physics Letters B》 (영어) 180: 89. Bibcode:1986PhLB..180...89A. doi:10.1016/0370-2693(86)90140-1.</ref> [[분수 양자 홀 효과]]를 설명하기도 한다.<ref>Lopez, Ana; Eduardo Fradkin. “Fermionic Chern-Simons Field Theory for the Fractional Hall Effect” (영어). Bibcode:1997cond.mat..4055L.</ref> 또한 [[양-밀스 이론]]과도 연결되어 topologically massive Yang-Mills theory같은 물리학 이론을 만든다.

== 같이 보기 ==
* [[천-베유 준동형]]
* [[위상 양자장론]]
* [[존스 다항식]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Chern-Simons functional}}
* {{nlab|id=Chern-Simons form}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:끈 이론]]