천-베유 준동형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''천-베유 준동형'''([陳]-Weil準同型, {{llang|en|Chern–Weil homomorphism}})은 [[리 군]]의 [[군의 작용|작용]]에 대하여 불변인 [[리 대수]] 변수 [[다항식]]을 [[드람 코호몰로지]] [[동치류]]에 대응시키는 [[환 준동형]]이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[연결 공간|연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]]의 복소화인 복소수 [[리 군]] <math>G</math>
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
* <math>G</math>의 [[복소수 리 대수]] <math>\mathfrak g=\operatorname{Lie}(G)</math>
* <math>\mathfrak g</math> 위의 [[다항식환]] <math>\mathbb C[\mathfrak g]</math>
* <math>\mathbb C[\mathfrak g]</math> 위의 <math>G</math>의 [[딸림표현]] [[군의 작용|작용]]. 이에 따라 <math>\mathbb C[\mathfrak g]</math>는 [[군환]] <math>\mathbb C[G]</math>의 [[왼쪽 가군]]을 이룬다.
*:<math>(g\cdot p)(x) = p(\operatorname{Ad}_gx)\qquad(g\in G,\;p\in\mathbb C[\mathfrak g],\;x\in\mathfrak g)</math>
* <math>G</math>의 [[군의 작용|작용]]에 대한 불변량 부분 대수 <math>\mathbb C[\mathfrak g]^G</math>.
*:<math>\mathbb C[\mathfrak g]^G = \left\{p\in\mathbb C[\mathfrak g]\colon p=g\cdot p\right\}</math>
* <math>G</math>의 불변량 부분 대수는 [[동차 다항식]] 부분 공간들의 합으로 다음과 같이 분해된다.
*:<math>\mathbb C[\mathfrak g]^G = \bigoplus_{k=0}^\infty \mathbb C_k[\mathfrak g]^G</math>
*:<math>p\in \mathbb C_k[\mathfrak g]^G \iff\forall \lambda\in\mathbb C,\;x\in\mathfrak g\colon p(\lambda x)=\lambda^kp(x)</math>
* 동차 다항식 <math>p\in \mathbb C_k[\mathfrak g]^G</math>에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 <math>k</math>개의 변수를 갖는 함수 <math>\bar p\colon\mathfrak g^{\oplus k}\to\mathbb C</math>가 존재한다.
*:<math>\bar p(x,\dotsc,x)=p(x)\qquad\forall x\in\mathfrak g</math>
*:<math>\bar p(x_1,\dotsc,x_k) = \bar p(x_{\sigma(1)},\dotsc,x_{\sigma(k)})\qquad\forall\sigma \in \operatorname{Sym}(k),\;(x_i)_{1\le i\le k}\in\mathfrak g^{\oplus k}</math>

또한, 다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* <math>G</math>-[[매끄러운 주다발]] <math>\pi\colon P\twoheadrightarrow M</math>
그렇다면, '''천-베유 준동형'''은 다음과 같은 <math>\mathbb C</math>-[[결합 대수]] [[준동형]]이다.
:<math>\mathbb C[\mathfrak g]^G \to \operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)</math>

=== 추상적 정의 ===
[[리 군]] <math>G</math>에 대하여, [[분류 공간]] <math>\mathrm EG\twoheadrightarrow\mathrm BG</math>를 생각하자. (<math>G</math>의 [[기본군]]은 상관이 없다.) 그렇다면, [[리 대수 코호몰로지]]를 통해 다음이 성립함을 보일 수 있다.
:<math>\operatorname H^\bullet(\mathrm BG;\mathbb C) \cong \mathbb C[\mathfrak g]^G</math>
([[복소수]] 계수이므로, 좌변은 <math>G</math>의 [[기본군]]에 더 이상 의존하지 않는다.) 이 동형에서, 우변의 등급([[동차 다항식]]의 차수)은 좌변의 등급([[코호몰로지류]]의 차수)의 절반이다.

이에 따라, <math>G</math>-[[주다발]] <math>P</math>는 어떤 [[연속 함수]]
:<math>f\colon M\to\mathrm BG</math>
에 의하여
:<math>P = f^*\mathrm EB</math>
로서 주어진다. 또한, 이 <math>f</math>는 [[코호몰로지 환]]의 [[등급환]] [[준동형]]
:<math>f^*\colon \mathrm H^\bullet(\mathrm BG;\mathbb Z)\to\operatorname H^\bullet(M;\mathbb Z)</math>
을 정의한다. 이를 정수 계수 대신 복소수 계수로 취하면, <math>f^*</math>는 [[등급환]] [[준동형]]
:<math>\mathbb C[\mathfrak g]^G \to \operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)</math>
을 정의한다. 이를 '''천-베유 준동형'''이라고 한다.

콤팩트 실수 [[리 군]] <math>G</math>은 그 복소화와 [[호모토피 동치]]이므로, 복소수 리 군 대신 콤팩트 실수 [[리 군]]을 사용해도 좋다.

=== 구체적 정의 ===
천-베유 준동형은 구체적으로 다음과 같이 주어진다. 우선, <math>P</math> 위의 임의의 [[주접속]]을 고르고, 그 [[곡률]]이
:<math>F\in\Omega^2(P;\mathfrak g)</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>p\in\mathbb C_k[\mathfrak g]^G</math>에 대하여 다음을 정의하자.
:<math>p(F) \in \Omega^{2k}(P;\mathfrak g)</math>
:<math>p(F)(v_1,\dotsc,v_{2k}) = \frac1{(2k)!} \sum_{\sigma\in\operatorname{Sym}(2k)} (-)^\sigma \bar p\left(F(v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)}),\dotsc,F(v_{\sigma(2k-1)},v_{\sigma(2k)})\right)</math>
여기서 사용된 기호는 다음과 같다.
* <math>s\in P</math>는 [[주다발]] 전체 공간의 점
* <math>v_1,\dotsc,v_{2k} \in \mathrm T_sP</math>는 주다발의 한 [[접공간]]의 <math>2k</math> 개의 벡터들
* <math>(-)^\sigma</math>는 [[순열]]의 부호수
* <math>\operatorname{Sym}(2k)</math>는 크기 <math>(2k)!</math>의 [[대칭군 (군론)|대칭군]]
그렇다면, 다음을 보일 수 있다.
* <math>p</math>의 <math>G</math>-불변성에 의하여, <math>p(F)</math>는 <math>P</math> 위의 [[닫힌 미분 형식]]이다. 즉, <math>\mathrm dp(F) = 0</math>이다.
* <math>p(\Omega) = \pi^*\alpha_F</math>가 되는 유일한 [[미분 형식]] <math>\alpha_F\in\Omega^{2k}(M;\mathbb C)</math>가 존재하며, 이 또한 [[닫힌 미분 형식]]이다.
* 또한, <math>\alpha_F</math>는 사용된 [[주접속]]에 의존하지만, 그 [[드람 코호몰로지]] [[동치류]] <math>[\alpha_F]\in\operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)</math>는 [[주접속]]에 의존하지 않는다.
이에 따라, '''천-베유 준동형'''은 다음과 같다.
:<math>\mathbb C[\mathfrak g]^G \to \operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)</math>
:<math>p \mapsto [\alpha_F]</math>

== 예 ==
=== 1차 천 특성류 ===
{{본문|천 특성류}}
<math>\operatorname{GL}(1;\mathbb C) = \mathbb C^\times</math> (또는 이에 대응하는 콤팩트 군 <math>\operatorname U(1)</math>)을 생각하자. 그 [[분류 공간]]은 무한 차원 [[복소수 사영 공간]]
:<math>\mathrm B\operatorname U(1)\simeq\operatorname{\mathbb CP}^\infty</math>
이며, 그 유리수 계수 [[코호몰로지]]는 [[설리번 대수]]
:<math>\operatorname H^\bullet(\operatorname{\mathbb CP}^\infty;\mathbb C) = \operatorname{Span}_{\mathbb C}\{1,x,x^2,\dotsc\}</math>
:<math>\deg x=2</math>
:<math>\mathrm dx=0</math>
이다.

<math>\mathbb C^\times</math>는 [[아벨 군]]이므로, 모든 다항식이 불변량이다. 즉, 이 경우
:<math>\mathbb C[x] \cong \operatorname H^\bullet(\operatorname{\mathbb CP}^\infty;\mathbb C)</math>
이다.

<math>\mathbb C^\times</math>-[[주다발]]은 [[연관 벡터 다발]] 구성을 통하여 복소수 [[선다발]]과 동치이며, 이 경우 천-베유 특성류는 1차 [[천 특성류]]
:<math>p(x) \mapsto p(\operatorname c_1(F))</math>
로서 주어진다.

=== 천 특성류 ===
{{본문|천 특성류}}
보다 일반적으로, <math>G=\operatorname{GL}(n;\mathbb C)</math>-[[매끄러운 주다발]]을 생각하자. 그렇다면, 다음을 생각하자.
:<math>p(x) = \det\left(1-\frac x{2\pi\mathrm i}\right)\qquad(x\in\mathfrak{gl}(n;\mathbb C)) </math>
:<math>p\in \mathbb C[\mathfrak{gl}(n;\mathbb C)]^{\operatorname{GL}(n;\mathbb C)}</math>
그렇다면, 이에 대응하는 [[특성류]]는 '''총 [[천 특성류]]'''
:<math>\operatorname c(P) \in \operatorname H^\bullet(M;\mathbb Z)</math>
이다. 물론, 이를 차수별로 분해하여
:<math>\sum_{k=0}^nt^kp_k(x) = \det\left(1-\frac{tx}{2\pi\mathrm i}\right)\qquad(t\in\mathbb C,\;x\in\mathfrak{gl}(n;\mathbb C))</math>
:<math>p_k \in \mathbb C_k[\mathfrak{gl}(n;\mathbb C)]^{\operatorname{GL}(n;\mathbb C)}</math>
<math>k</math>차 '''[[천 특성류]]'''
:<math>\operatorname c_k(P) \in \operatorname H^{2k}(M;\mathbb Z)</math>
를 정의할 수 있다.

이 경우, <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb C)</math>-[[주다발]] <math>P</math> 대신, 이에 대한 (정의 표현에 대한) [[연관 다발]]
:<math>E = P\times_{\operatorname{GL}(n;\mathbb C)}\mathbb C^n</math>
을 사용하여
:<math>\operatorname c_k(E)=\operatorname c_k(P) \in \operatorname H^{2k}(M;\mathbb Z)</math>
로 적을 수 있다.

== 역사 ==
1940년대 말에 [[천싱선]]과 [[앙드레 베유]]가 도입하였다. 이 내용은 천싱선의 1951년 [[프린스턴 고등연구소]] 강의록에서 최초로 출판되었으며,<ref name="Chern">{{서적 인용|성=Chern|이름=Shiing-shen|저자링크=천싱선|제목=Topics in differential geometry|출판사=The Institute for Advanced Study|날짜=1951|url=https://hdl.handle.net/2027/mdp.39015020207661|언어=en}}</ref>{{rp|64–65, §Ⅲ.6}} 이 강의록의 서문에서 천싱선은 베유의 공헌을 다음과 같이 인정하였다.

{{인용문2|
나는 또한 앙드레 베유씨와 자주 대화를 나눌 수 있었던 특권에 대하여 언급하고 싶습니다. 그의 미출판 원고는 [천-베유 준동형을 다루는] 3장의 전개에 크게 영향을 끼쳤습니다.<br>
{{lang|en|I wish also to acknowledge my privilege of having frequent conversations with André Weil. An unpublished manuscript of his has greatly influenced the presentation in Chapter Ⅲ.}}|<ref name="Chern"/>{{rp|0, §Introduction}}}}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{인용|last=Bott|first=R.|authorlink=라울 보트|title=On the Chern–Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups|journal=Advances in Mathematics| year=1973|volume=11|pages=289–303|doi=10.1016/0001-8708(73)90012-1}}.
* Shiing-Shen Chern, ''Complex Manifolds Without Potential Theory'' (Springer-Verlag Press, 1995) {{ISBN|0-387-90422-0}}, {{ISBN|3-540-90422-0}}.
* {{인용|last1=Chern|first1=S.-S.|authorlink1=천싱선|last2=Simons|first2=J|authorlink2=제임스 해리스 사이먼스|title=Characteristic forms and geometric invariants|journal=Annals of Mathematics |series=Second Series|volume=99|number=1|year=1974|pages=48–69|jstor=1971013}}.
* {{인용|last1=Kobayashi|first1=S.|last2=Nomizu|first2=K.|title=Foundations of Differential Geometry, Vol. 2|publisher=Wiley-Interscience|year=1963|publication-date= 2004|edition=new}}.
* {{인용|last1=Narasimhan|first1=M.|last2=Ramanan|first2=S.|title=Existence of universal connections|journal=Amer. J. Math.|volume=83|year=1961|pages=563–572|jstor=2372896|doi=10.2307/2372896}}.
* {{인용|last1=Morita|first1=Shigeyuki|title=Geometry of Differential Forms|journal=Translations of Mathematical Monographs|volume=201|year=2000}}.

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Chern-Weil theory}}
* {{nlab|id=Chern-Weil homomorphism}}
* {{nlab|id=splitting principle|title=Splitting principle}}
* {{웹 인용|url=https://math.berkeley.edu/~alanw/240papers03/han.pdf | 제목=Chern–Weil theory and some results on classical genera | 이름=Fei | 성= Han | 날짜=2003-11-01 | 언어=en}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:특성류]]