천–가우스–보네 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}

[[수학]]에서 '''천 정리'''({{llang|en|Chern theorem}} 또는 [[천싱선]], [[카를 프리드리히 가우스]] 및 피에르 오시안 보네 이후 '''천-가우스-보네 정리'''<ref>{{저널 인용|제목=The Higher-Dimensional Chern–Gauss–Bonnet Formula for Singular Conformally Flat Manifolds|저널=The Journal of Geometric Analysis|성=Buzano|이름=Reto|성2=Nguyen|이름2=Huy The|날짜=2019-04-01|권=29|호=2|쪽=1043–1074|언어=en|doi=10.1007/s12220-018-0029-z|issn=1559-002X}}</ref>)는 오일러-푸앵카레 특성(위상 불변량을 나타낸다. 닫힌 [[리만 다양체|짝수 차원 리만 다양체]]의 위상 공간의 [[베티 수]]의 교대 합으로 정의되는 곡률 형식([[해석적 불변량]])의 특정 다항식([[오일러 특성류]])의 [[적분]]과 같다.

이는 고전적인 [[가우스-보네 정리]](2차원 다양체/ 표면에 대한)를 더 높은 짝수 차원의 리만 다양체로 매우 간단하게 일반화한 것이다. 1943년에 Carl B. Allendoerfer와 [[앙드레 베유]]는 외재적 다양체의 특별한 사례를 입증했다. 1944년에 출판된 고전 논문에서 [[천싱선]]은 전역 위상과 국소적 [[기하학]]을 접속하는 완전한 일반성으로 정리를 증명했다.<ref name=":0"/>

[[리만-로흐 정리]]와 [[아티야-싱어 지표 정리]]는 가우스-보네 정리의 또 다른 일반화이다.

== 진술 ==
'''천 정리'''의 유용한 형식 중 하나는 다음과 같다.<ref name=":2"/><ref name=":1"/>

: <math>\chi(M) = \int_M e(\Omega) </math>

여기서 <math>\chi(M)</math>는 ''<math> M </math>''의 [[오일러 지표|오일러 특성]]을 나타낸다. [[오일러 특성류]]는 다음과 같이 정의된다.

: <math>e(\Omega) = \frac 1 {(2\pi)^n} \operatorname{Pf}(\Omega).</math>

여기서 <math>\operatorname{Pf}(\Omega)</math>는 [[파피안]]이고, ''<math> M </math>''는 경계가 없는 콤팩트 [[방향 (다양체)|유향]] ''2n'' 차원 [[리만 다양체]]이며, <math>\Omega</math>는 [[레비치비타 접속|레비-치비타 접속]]의 관련 곡률 형식이다. 이 정리는 <math> M </math>의 접다발 또는 다른 벡터 다발의 임의의 계량 접속 <math>\Omega</math>에 대해 성립한다.<ref>{{저널 인용|제목=The Gauss–Bonnet theorem for vector bundles|저널=Journal of Geometry|성=Bell|이름=Denis|날짜=September 2006|권=85|호=1–2|쪽=15–21|arxiv=math/0702162|doi=10.1007/s00022-006-0037-1}}</ref>

차원이 ''2n''이므로 다음을 얻는다. <math>\Omega</math>이다 <math>\mathfrak s\mathfrak o(2n)</math> -값이 [[미분 형식|2개인 미분 형식]] ''<math> M </math>'' ([[직교군|특수 직교 군]] 참조) 그래서 <math>\Omega</math> 는 항목이 2형식인 비대칭 대칭 ''2n'' × ''2n'' 행렬로 간주될 수 있으므로 [[가환환|가환 환]]에 대한 행렬이다. <math display="inline">{\bigwedge}^\text{even}\,T^*M</math> . 따라서 파피안은 ''2n'' 형이다. 이는 또한 [[불변 다항식]]이다.

그러나 일반적으로 천의 정리는 모든 닫힌 <math>C^\infty</math> 유향 ''n''차원 다양체 ''<math> M </math>''의 경우에 적용된다.<ref name=":2">{{서적 인용|url=https://archive.org/details/geometryofdiffer00mori|제목=Geometry of Differential Forms|성=Morita|이름=Shigeyuki|날짜=2001-08-28|총서=Translations of Mathematical Monographs|권=201|출판사=American Mathematical Society|위치=Providence, Rhode Island|doi=10.1090/mmono/201|isbn=9780821810453}}</ref>

: <math>\chi(M) = (e(TM), [M]) </math>

여기서 위의 쌍(,)은 [[접다발]] <math> TM </math>의 [[오일러 특성류]]를 갖는 [[교곱]]을 나타낸다.

=== 증명 ===
1944년, [[프린스턴 대학교]] 수학과에서 발행한 고전 논문에서 [[천싱선]]이 일반 정리를 처음으로 증명했다.<ref>{{저널 인용|제목=A Simple Intrinsic Proof of the Gauss-Bonnet Formula for Closed Riemannian Manifolds|저널=The Annals of Mathematics|성=Chern|이름=Shiing-Shen|url=http://dx.doi.org/10.2307/1969302|날짜=October 1944|권=45|호=4|쪽=747–752|doi=10.2307/1969302|issn=0003-486X|jstor=1969302}}</ref>

2013년에는 [[초대칭]] [[통계장론|유클리드 장론]]을 통한 정리 증명도 발견되었다.

== 특수한 상황들 ==
=== 4차원 다양체 ===
<math>2n=4</math>차원에서, 콤팩트 다양체에 대해 다음을 얻는다.

: <math>\chi(M) = \frac{1}{32\pi^2} \int_M \left( |\text{Riem}|^2 - 4 |\text{Ric}|^2 + R^2 \right) \, d\mu </math>

여기서 <math>\text{Riem}</math>는 [[리만 곡률 텐서]], <math>\text{Ric}</math>는 [[리치 곡률 텐서]], <math>R</math>은 [[스칼라 곡률]]이다. 이는 시공간이 4차원 다양체로 여겨지는 [[일반 상대성이론]]에서도 중요하다.

리만 곡률 텐서의 직교 리치 분해 측면에서 이 공식은 다음과 같이 작성할 수도 있다.

: <math>\chi(M) = \frac{1}{8\pi^2} \int_M \left( \frac{1}{4}|W|^2 - \frac{1}{2} |Z|^2 + \frac{1}{24}R^2 \right) \, d\mu </math>

여기서 <math>W</math>는 [[바일 곡률 텐서|바일 텐서]]이고 <math>Z</math>는 대각합 0인 리치 텐서이다.

=== 짝수 차원 초곡면 ===
 <math> \mathbb{R}^{n+1} </math> 안의 짝수 차원 콤팩트 초곡면 <math> M </math>에 대해<ref>{{서적 인용|제목=Differential topology|url=https://archive.org/details/differentialtopo0000guil|성=Guillemin|이름=V.|성2=Pollack|이름2=A.|연도=1974|출판사=Prentice-Hall|위치=New York, NY|쪽=[https://archive.org/details/differentialtopo0000guil/page/n215 196]|isbn=978-0-13-212605-2}}</ref>

: <math>\int_M K\,dV = \frac{1}{2}\gamma_n\,\chi(M) </math>

여기서 <math> dV </math>는 초곡면의 부피형식이다. <math>K</math>는 가우스 사상의 [[야코비 행렬|야코비안 행렬식]]이며, <math>\gamma_n</math>는 [[초구|단위 n-초규의 표면적]]이다.

=== 가우스-보넷 정리 ===
[[가우스-보네 정리]]는 2차원 리만 다양체에 대한 특별한 경우다. 이는 위상 지표가 [[베티 수]]로 정의되고 해석적 지표가 가우스-보네 적분으로 정의되는 특별한 경우로 발생한다.

2차원 가우스-보네 정리와 마찬가지로 [[다양체|경계가 있는 다양체]]에 대한 일반화가 있다.

== 추가 일반화 ==
=== 아티야-싱어 지표 정리 ===
[[아티야-싱어 지표 정리]]는 가우스-보네 정리의 광범위한 일반화이다.<ref name=":1">{{서적 인용|제목=Schrödinger operators, with applications to quantum mechanics and global geometry|날짜=1987|출판사=Springer-Verlag|위치=Berlin|기타=Cycon, H. L. (Hans Ludwig), 1942-, Simon, Barry, 1946-, Beiglböck, E., 1939-|isbn=978-0387167589|oclc=13793017}}</ref>

<math>D</math>를 벡터 다발 사이의 약한 [[타원형 미분 연산자|타원 미분 연산자]]라 하자. 이는 [[미분 연산자|주 기호]]가 [[동형 사상|동형사상]]이라는 것을 의미한다. 또한 강한 타원성은 기호가 [[양의 정부호]]이어야 함을 의미한다.

<math>D^*</math>를 [[에르미트 수반|수반 연산자]]라 하자. 그런 다음 '''해석 지표'''는 다음과 같이 정의된다.

: <math>\dim(\ker(D))-\dim(\ker(D^*))</math>

타원성에 따르면 이는 항상 유한하다. 지표 정리는 타원 연산자가 매끄럽게 변하기 때문에 이것이 일정하다고 말한다. 이는 [[오일러 특성류]]와 같은 [[특성류]]로 표현될 수 있는 '''위상 지표'''와 같다.

천-가우스-보네 정리는 [[디랙 연산자]]를 고려하여 도출된다.

: <math>D = d + d^*</math>

=== 홀수 차원 ===
홀수 차원에서는 [[오일러 지표|오일러 특성]]이 0이기 때문에 천 공식은 짝수 차원에서만 정의된다. 홀수 차원에 대해 자명하지 않은 결과를 제공하기 위해 [[K이론]]의 지표 정리를 '비틀기'에 대한 일부 연구가 진행되고 있다.<ref>{{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/q/163287|제목=Why does the Gauss-Bonnet theorem apply only to even number of dimensons?|날짜=June 26, 2012|웹사이트=Mathematics Stack Exchange|확인날짜=2019-05-08}}</ref>

[[오비폴드]]에 대한 천의 공식 버전도 있다.<ref>{{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/q/53302|제목=Is there a Chern-Gauss-Bonnet theorem for orbifolds?|날짜=June 26, 2011|웹사이트=MathOverflow|확인날짜=2019-05-08}}</ref>

== 역사 ==
[[천싱선]]은 [[프린스턴 고등연구소|고등연구소]]에 있는 동안 1944년에 정리에 대한 증명을 발표했다. 이것은 역사적으로 다양체가 유클리드 공간에 매장되어 있다고 가정하지 않고 공식이 증명된 최초의 사례였으며, 이는 "내재적"이라는 의미이다. [[초곡면]](n차원 유클리드 공간의 (n-1)차원 부분 다양체)에 대한 특수 사례는 [[하인츠 호프]]에 의해 입증되었으며, 여기서 피적분 함수는 가우스-크로네커 곡률(한 점에서 모든 주 곡률의 곱)이다. 이것은 1939년 Allendoerfer와 1940년 Fenchel에 의해 모든 여차원의 유클리드 공간의 리만 부분 다양체로 독립적으로 일반화되었으며, 이에 대해 그들은 리프시츠-킬환 곡률(단위에 대한 각 단위 법선 벡터를 따른 가우스-크로네커 곡률의 평균)을 사용했다. 일반 공간의 구; 짝수 차원 부분 다양체의 경우 이는 부분 다양체의 리만 계량에만 의존하는 불변량이다. [[내시 매장 정리|내쉬 매장 정리]]가 가정될 수 있다면 그들의 결과는 일반적인 경우에 유효할 것이다. 그러나 존 내쉬가 1956년에 리만 다양체에 대한 유명한 매장 정리를 발표했기 때문에 이 정리는 당시에는 사용할 수 없었다. 1943년에 Allendoerfer와 베유은 일반적인 경우에 대한 증명을 발표했는데, 여기서 그들은 먼저 H. 휘트니의 근사 정리를 사용하여 사례를 해석 리만 다양체로 축소한 다음, 다양체의 "작은" 이웃을 등장적으로 유클리드 공간에 매장했다. 카르탕-자네 국소 매장 정리의 도움으로 이러한 매장된 이웃을 함께 패치하고 위의 Allendoerfer 및 Fenchel 정리를 적용하여 전역 결과를 설정할 수 있다. 물론 이것은 정리가 다양체의 고유 불변량만을 포함하므로 정리의 타당성은 유클리드 공간에 포함되는 것에 의존해서는 안 되기 때문에 만족스럽지 않다. 베유은 천이 1943년 8월 도착한 후 프린스턴에서 천을 만났다. 그는 천에게 본질적인 증거가 있어야 한다고 믿었으며 천은 2주 이내에 이를 얻을 수 있었다. 그 결과는 내년에 Annals of Mathematics에 게재된 천의 고전 논문 "닫힌 리만 다양체에 대한 가우스-보네 공식의 간단한 고유 증명"이다. 이 문서에서는 천이 Allendoerfer, Fenchel, Allendoerfer 및 베유의 초기 작업을 인용했다. Allendoerfer와 베유의 작업은 동일한 주제와 관련된 천의 두 번째 논문에서도 인용되었다.<ref name=":0">{{저널 인용|제목=On the Curvatura Integra in a Riemannian Manifold|저널=The Annals of Mathematics|성=Chern|이름=Shiing-shen|날짜=October 1945|권=46|호=4|쪽=674–684|doi=10.2307/1969203|jstor=1969203}}</ref>

== 응용 ==
천-가우스-보네 정리는 [[특성류]] 이론의 특별한 사례로 볼 수 있다. 천 적분은 [[오일러 특성류]]이다. 이는 최고차 미분 형식이므로 닫힌 형식이다. 오일러 특성류의 [[자연 변환|자연성]]은 [[리만 다양체|리만 계량]]을 바꿀 때 [[코호몰로지|코호몰로지 특성류]]는 불변임을 뜻한다. 즉, 오일러 특성류의 적분은 계량이 바뀔 때 일정하게 유지되며 따라서 매끄러운 구조의 전역 불변량이다.<ref name=":1" />

이 정리는 또한 다음을 포함하여 [[물리학]]에서 수많은 응용을 발견했다:<ref name=":1" />

* [[기하학적 위상|단열 페이즈]] 또는 [[기하학적 위상|베리 페이즈]]
* [[끈 이론|끈이론]]
* [[응집물질물리학]]
* [[위상 양자장론]]
* 물질의 위상수학적 페이즈([[덩컨 홀데인|Duncan Haldane]] et al.의 2016년 노벨 물리학상 참조).

== 같이 보기 ==
* [[천-베유 준동형사상]]
* [[천 특성류]]
* [[천-사이먼스 형식]]
* [[천-사이먼스 이론]]
* 천 추측(아핀 기하학)
* [[폰트랴긴 수]]
* [[폰트랴긴 특성류]]
* [[드람 코호몰로지]]
* [[기하학적 위상|베리 페이즈]]
* [[아티야-싱어 지표 정리]]
* [[리만-로흐 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:미분기하학 정리]]