처짐각법 문서 원본 보기

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[[파일:The practical aspect of the slope deflection method and its application to the design of the Roosevelt Road Viaduct (1920) (14790638793).jpg|섬네일|500픽셀|The practical aspect of the slope deflection method and its application to the design of the Roosevelt Road Viaduct (1920)]]

'''처짐각법'''(-角法, Slope deflection method) 또는 '''요각법'''(撓角法)은 [[1915년]]에 [[미네소타 대학교]]의 조지 A. 매니 교수가 발표한 연속보와 [[뼈대 구조]]에 적용할 수 있는 [[구조해석]]법의 하나이다. [[모멘트 분배법]]이 발표되기 전까지 정확한 구조해석 방법의 한 가지로 널리 사용되었다. 기본적으로 [[절점]]과 부재의 회전각을 미지수로 하기 때문에, [[변위법]] 또는 [[강성도법]]에 속한다.

처짐각법에서는 [[모멘트]]로 인해 발생하는 부재의 [[휨]]과 [[처짐각]]을 고려하지만, 그 영향이 상대적으로 적은 [[전단]] 변형과 축방향 변형은 무시한다.

처짐각법은 소규모의 특정 구조물에 대한 효율적인 구조해석 방법이며, 모멘트 분배법을 이해하기 위한 기본이 되는 구조해석 방법이다. 또한 [[매트릭스 구조 해석]]과도 관련이 깊다.

== 개요 ==
절점의 회전각(처짐각)과 부재의 현회전각을 미지수로 하여 변위의 적합조건에 맞도록 하중을 나타낸 뒤, 힘의 평형조건을 만족시키는 해를 구한다. 해석 결과 직접적으로 얻는 해는 변위이다.

== 처짐각 방정식 ==
처짐각 방정식은 자유도에 해당하는 변위의 발생으로 부재단에 생기는 모멘트를 부재의 강성도와 부재 양단의 변위 즉 처침과 처짐각의 항으로 나타낸 식을 말한다. 부재ab의 a단과 b단에에 발생하는 모멘트는 각각 다음과 같이 표현된다.

:<math>M_{ab} = \frac{EI_{ab}}{L_{ab}} \left( 4 \theta_a + 2 \theta_b - 6 \frac{\Delta}{L_{ab}} \right)</math>
:<math>M_{ba} = \frac{EI_{ab}}{L_{ab}} \left( 2 \theta_a + 4 \theta_b - 6 \frac{\Delta}{L_{ab}} \right)</math>

여기서 <math>\theta_a</math>, <math>\theta_b</math>는 각각 a단과 b단의 처짐각이며 <math>\Delta</math>는 a와 b 지점의 상대변위이다.
처짐각 방정식은 종종 강도계수(stiffness factor) <math>K=\frac{I_{ab}}{L_{ab}}</math>와 현회전각 <math>\psi =\frac{ \Delta}{L_{ab}}</math>을 도입하여 다음과 같이 나타내어지기도 한다.

:<math>M_{ab} = 2EK \left( 2 \theta_a + \theta_b - 3 \psi \right)</math>
:<math>M_{ba} = 2EK \left( \theta_a + 2 \theta_b - 3 \psi \right)</math>

=== 처짐각 방정식의 유도 ===
경간 길이 <math>L_{ab}</math>, 휨강성 <math>EI_{ab}</math>인 단순보 AB의 양단에 각각 시계방향의 모멘트 하중 <math>M_{ab}</math>, <math>M_{ba}</math>가 작용하여, 하중의 작용 방향과 같은 방향으로 <math>\theta_a</math>, <math>\theta_b</math>의 처짐각이 발생하였고, 지점 AB의 상대 변위로 인한 시계방향의 현회전각이 <math>\Delta/L</math>라면, [[단위하중법]]이나 [[모멘트면적법]] 등을 이용하여 다음과 같은 관계식을 유도할 수 있다.

:<math>\theta_a - \frac{\Delta}{L_{ab}}= \frac{L_{ab}}{3EI_{ab}} M_{ab} - \frac{L_{ab}}{6EI_{ab}} M_{ba}</math>
:<math>\theta_b - \frac{\Delta}{L_{ab}}= - \frac{L_{ab}}{6EI_{ab}} M_{ab} + \frac{L_{ab}}{3EI_{ab}} M_{ba}</math>

위의 두 식을 연립하면 양단의 모멘트 <math>M_{ab}</math>, <math>M_{ba}</math>를 처짐각<math>\theta_a</math>, <math>\theta_b</math>와 현회전각 <math>\Delta/L_{ab}</math>로 표현한 처짐각 방정식을 얻는다.

== 평형 조건 ==
=== 절점 평형 ===
절점 평형 방정식은 각 부재의 재단 모멘트(member end moment)로 인한 각 절점에서의 모멘트의 평형을 나타내는 식이다. 즉, 절점의 [[고정단 모멘트]]와 그 절점에 연결된 각 부재의 재단 모멘트의 총 합에 대한 평형 조건식이다. 자유도를 갖는 각 절점에 대해 다음의 평형 조건을 만족해야 한다.
:<math>\Sigma \left( M^{f} + M_{member} \right) = \Sigma M_{joint}</math>

여기서 <math>M_{member}</math>는 부재의 재단 모멘트, <math>M^{f}</math>는 고정단 모멘트, <math>M_{joint}</math>는 절점에 재하된 모멘트이며, 동일한 부호체계로 나타내어진다.

=== 전단 평형 ===
횡방향 변위나 지점의 침하 등으로 인한 현회전각이 발생하는 구조물을 처짐각법으로 해석하는 경우 절점 평형 방정식에 더하여 [[전단력]]의 평형 조건이 필요하다.

== 예제 ==
[[파일:MomentDistributionMethod.jpg|섬네일|434px|right|예제 연속보]]
오른쪽 그림과 같은 연속보 구조물을 해석해 보자.
*부재 AB, BC, CD의 길이는 모두 <math> L = 10 \ m </math>로 같고,
*휨 강성은 각각 EI, 2EI, EI이다.
*부재 AB는 지점 A로부터 <math> a = 3 \ m </math>의 위치에 크기 <math> P = 10 \ kN </math>인 집중 하중이,
*부재 BC는 부재 전체에 걸쳐 <math> q = 1 \ kN/m</math>의 등분포 하중이,
*부재 CD는 중앙에 크기 <math> P = 10 \ kN </math>인 집중 하중이 재하되어 있다.
계산 과정에서, 시계 방향의 회전각과 모멘트를 양(+)으로 한다.

=== 자유도 ===
절점 A, B, C의 회전각 <math>\theta_A</math>, <math>\theta_B</math>, <math>\theta_C</math>을 미지수로 한다. 지점 침하등으로 인한 현회전각은 없다.

=== 고정단 모멘트 ===
고정단 모멘트는 다음과 같다.
:<math>M _{AB} ^f = - \frac{P a b^2 }{L ^2} = - \frac{10 \times 3 \times 7^2}{10^2} = -14.7 \ kN\cdot m</math>
:<math>M _{BA} ^f = \frac{P a^2 b}{L^2} = \frac{10 \times 3^2 \times 7}{10^2} = 6.3 \ kN\cdot m</math>
:<math>M _{BC} ^f = - \frac{qL^2}{12} = - \frac{1 \times 10^2}{12} = - 8.333 \ kN\cdot m</math>
:<math>M _{CB} ^f = \frac{qL^2}{12} = \frac{1 \times 10^2}{12} = 8.333 \ kN\cdot m</math>
:<math>M _{CD} ^f = - \frac{PL}{8} = - \frac{10 \times 10}{8} = -12.5 \ kN\cdot m</math>
:<math>M _{DC} ^f = \frac{PL}{8} = \frac{10 \times 10}{8} = 12.5 \ kN\cdot m</math>

=== 처짐각 방정식 ===
:<math>M_{AB} = \frac{EI}{L} \left( 4 \theta_A + 2 \theta_B \right) = 0.4EI \theta_A + 0.2EI \theta_B</math>
:<math>M_{BA} = \frac{EI}{L} \left( 2 \theta_A + 4 \theta_B \right) = 0.2EI \theta_A + 0.4EI \theta_B</math>
:<math>M_{BC} = \frac{2EI}{L} \left( 4 \theta_B + 2 \theta_C \right) = 0.8EI \theta_B + 0.4EI \theta_C</math>
:<math>M_{CB} = \frac{2EI}{L} \left( 2 \theta_B + 4 \theta_C \right) = 0.4EI \theta_B + 0.8EI \theta_C</math>
:<math>M_{CD} = \frac{EI}{L} \left( 4 \theta_C \right) = 0.4EI \theta_C </math>
:<math>M_{DC} = \frac{EI}{L} \left( 2 \theta_C \right) = 0.2EI \theta_C </math>

=== 절점 평형 방정식 ===
절점 A, B, C에서 각각 모멘트 평형을 만족해야 하므로,
:<math>\Sigma M_A = M_{AB} + M_{AB}^f = 0.4EI \theta_A + 0.2EI \theta_B  - 14.7 = 0</math>
:<math>\Sigma M_B = M_{BA} + M_{BA}^f + M_{BC} + M_{BC}^f = 0.2EI \theta_A + 1.2EI \theta_B + 0.4EI \theta_C - 2.033 = 0</math>
:<math>\Sigma M_C = M_{CB} + M_{CB}^f + M_{CD} + M_{CD}^f = 0.4EI \theta_B + 1.2EI \theta_C  - 4.167 = 0</math>

=== 절점 변위 ===
위의 평형 방정식을 연립하면, 다음과 같은 절점 변위를 얻는다.
:<math>\theta_A = \frac{40.219}{EI} </math>
:<math>\theta_B = \frac{-6.937}{EI} </math>
:<math>\theta_C = \frac{5.785}{EI} </math>

=== 재단 모멘트의 계산 ===
절점 변위를 이용해 재단 모멘트를 구한다.
:<math>M_{AB} = 0.4 \times 40.219 + 0.2 \times \left( -6.937 \right) - 14.7 = 0 </math>
:<math>M_{BA} = 0.2 \times 40.219 + 0.4 \times \left( -6.937 \right) + 6.3 = 11.57 </math>
:<math>M_{BC} = 0.8 \times \left( -6.937 \right) + 0.4 \times 5.785 - 8.333 = -11.57 </math>
:<math>M_{CB} = 0.4 \times \left( -6.937 \right) + 0.8 \times 5.785 + 8.333 = 10.19 </math>
:<math>M_{CD} = 0.4 \times 5.785 - 12.5 = -10.19 </math>
:<math>M_{DC} = 0.2 \times 5.785 + 12.5 = 13.66 </math>

== 참고 문헌 ==
*McCormac, Jack C.; James K. Nelson, Jr. (1997). ''Structural Analysis: A Classical and Matrix Approach'', 2nd, Addison-Wesley, 430-451.  {{ISBN|0-673-99753-7}}.
*양창현 (2001-01-10). 《[https://web.archive.org/web/20071008135424/http://www.cmgbook.co.kr/category/sub_detail.html?no=1017 구조역학]》, 4판, 청문각, 357-389. {{ISBN|89-7088-709-1}}.

== 같이 보기 ==
* [[모멘트 분배법]]
* [[고정단 모멘트]]

[[분류:구조역학]]