채우기 문제 문서 원본 보기

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'''채우기 문제'''({{llang|en|packing problems}})는 물체를 용기에 채우는 [[수학]]의 [[최적화 문제]]이다. 목표는 하나의 용기에 물체를 가능한 한 빽빽하게 채우거나 모든 물체를 가능한 한 적은 용기에 채우는 것이다. 이 문제의 대부분은 실생활에 포장, 저장 그리고 수송 문제와 관계지을 수 있다. 각 채우기 문제는 이중 [[덮기 문제]]가 있다. 이것은 겹치는 것을 허용하여 용기의 모든 영역을 동일한 물체로 완전히 덮는데 몇 개가 들어가는지를 구하는 문제이다.

[[상자 채우기 문제]]는 다음이 주어진다:
* '용기' (보통 단일 2 또는 3차원 볼록한 영역이나 무한한 공간이다)
* 일부 또는 모두가 하나 이상의 용기에 들어가야 하는 '물체'의 집합. 집합은 크기가 정해진 다른 물체 또는 반복해서 사용할 수 있는 유일한 고정된 차원의 물체를 포함한다.
보통 채우기는 물건과 다른 물건 사이나 용기 벽 사이에 겹치는 일이 없어야 한다. 일부 변형에서 초점은 용기에 최대 밀도로 채우는 구성을 찾는 것이다. 더 일반적으로 목표는 가능한 적은 용기에 모든 물체를 담는 것이다.<ref>{{저널 인용|authors=Lodi, A., Martello, S., Monaci, M.|title=Two-dimensional packing problems: A survey|url=https://archive.org/details/sim_european-journal-of-operational-research_2002-08-16_141_1/page/n246|journal=European Journal of Operational Research|year=2002|publisher=Elsevier|doi=10.1016/s0377-2217(02)00123-6|volume=141|pages=241–252}}</ref> 어떤 변형에서 (물체와 물체간 그리고/또는 용기의 경계에서) 겹치는 것은 허락되지만 최소화되어야 한다.

== 무한 공간 채우기 ==
이 문제의 대부분에서 용기의 크기가 모든 방향으로 커질 때 무한 유클리드 공간을 최대한 빽빽하게 채우는 문제와 같아진다. 이 문제는 많은 과학 분야와 관련이 있으며 중대한 관심을 받고 있다. [[케플러의 추측]]은 구 채우기의 최적해를 몇백년 전에 제시되었고, [[토머스 캘리스터 헤일즈]](Thomas Callister Hales)가 증명했다. 타원체<ref>{{저널 인용|last1=Donev|first1=A.|last2=Stillinger|first2=F.|last3=Chaikin|first3=P.|last4=Torquato|first4=S.|title=Unusually Dense Crystal Packings of Ellipsoids|doi=10.1103/PhysRevLett.92.255506|journal=Physical Review Letters|volume=92|issue=25|year=2004|pmid=15245027|pmc=|arxiv=cond-mat/0403286|bibcode=2004PhRvL..92y5506D|page=255506}}</ref>, 사면체<ref>{{저널 인용|doi=10.1038/nature08641|last1=Haji-Akbari|first1=A.|last2=Engel|first2=M.|last3=Keys|first3=A. S.|last4=Zheng|pmid=20010683|first4=X.|last5=Petschek|first5=R. G.|last6=Palffy-Muhoray|first6=P.|last7=Glotzer|first7=S. C.|title=Disordered, quasicrystalline and crystalline phases of densely packed tetrahedra|year=2009|journal=Nature|volume=462|issue=7274|pages=773–777|bibcode=2009Natur.462..773H|arxiv=1012.5138}}</ref><ref>{{저널 인용|last1=Chen|first1=E. R.|last2=Engel|first2=M.|last3=Glotzer|first3=S. C.|title=Dense Crystalline Dimer Packings of Regular Tetrahedra|journal=Discrete & Computational Geometry|volume=44|issue=2|pages=253–280|year=2010|doi=10.1007/s00454-010-9273-0}}</ref>를 포함한 플라톤과 아르키메데스 다면체와 불평등 구형 이합체<ref>{{저널 인용|last1=Hudson|first1=T. S.|last2=Harrowell|first2=P.|doi=10.1088/0953-8984/23/19/194103|title=Structural searches using isopointal sets as generators: Densest packings for binary hard sphere mixtures|journal=Journal of Physics: Condensed Matter|volume=23|issue=19|pages=194103|year=2011|pmid=|pmc=}}</ref>와 같은 많은 모양들도 관심을 받았다.

=== 육각형 원 채우기 ===
[[파일:Circle_packing_(hexagonal).svg|오른쪽|섬네일|2차원 유클리드 평면에서 육각형 원 채우기이다.]]
이 문제는 수학적으로 [[원 채우기 정리]]의 아이디어와는 다르다. 관련된 [[원 채우기]] 문제는 평면이나 구의 표면에서 원의 크기가 다를 수 있는 원을 채우는 것을 다룬다.

다른 차원의 구는 일차원 보다 큰 차원에서 완벽히 효율적으로 채울 수 없다(일차원 우주에서, 원과 비슷한 것은 단지 두 점 뿐이다). 다시 말해, 원으로만 채울 때는 항상 사용하지 않은 공간이 있다. 원을 가장 효율적으로 채우는 방법인 [[원 채우기|육각형 채우기]]는 대략적으로 91%의 효율을 얻을 수 있다.<ref>http://mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html</ref>

=== 높은 차원에서 구 채우기 ===
3차원에서 [[등축정계|면심입방구조]]는 가장 좋은 격자 채우기이기 때문에 최적의 채우기라고 여겨진다. 3차원에서 '단순'한 구 채우기('단순' 은 조심스럽게 정의해야 한다)는 정의 가능한 9가지가 있다.<ref>Smalley, I.J. 1963. Simple regular sphere packings in three dimensions. Mathematics Magazine 36, 295-299. doi:10.2307/2688954</ref> 8차원 [[E8 격자]]와 24차원 [[리치 격자]]는 각각 실 차원 공간에서 최적으로 증명되었다.

=== 3차원에서 정다면체 채우기 ===
정육면체는 3차원 공간을 완전히 채우도록 배열할 수 있다, 가장 자연스러운 채우기는 [[정육면체 벌집]]이다. 다른 [[정다면체]]는 공간을 스스로 채울 수 없지만 몇 가지 예비 결과가 알려져 있다. [[정사면체 채우기|정사면체]]는 적어도 85%의 채우기를 할 수 있다. [[정십이면체]]의 최대 채우기는 앞에서 말한 [[면심 입방 격자]](FCC)를 기반으로 한다.

정사면체와 정팔면체는 [[정사면체-정팔면체 벌집]]으로 알려진 배열로 공간을 채울 수 있다.
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
! 물체
!격자 채우기의 최적 밀도
|-
| 정이십면체
| 0.836357...<ref name="Betke">Betke, U. & Henk, M. Densest lattice packings of 3-polytopes. ''Comput. Geom.'' '''16''', 157–186 (2000)</ref>
|-
| 정십이면체
| (5 + &#x221A;5)/8 = 0.904508...<ref name="Betke" />
|-
| 정팔면체
| 18/19 = 0.947368...<ref>Minkowski, H. Dichteste gitterfo¨rmige Lagerung kongruenter Ko¨rper. ''Nachr. Akad. Wiss. Go¨ttingen Math. Phys. KI. II'' 311–355 (1904).</ref>
|}
국소 발전 방법과 무작위 채우기를 결합한 시뮬레이션은 정이십면체, 정십이면체, 정팔면체에 대한 격자 채우기가 모든 채우기에서 최적이라는 것을 나타낸다.<ref name="Torquato">{{저널 인용|first1=S.|first2=Y.|last2=Jiao|title=Dense packings of the Platonic and Archimedean solids|url=https://archive.org/details/sim_nature-uk_2009-08-13_460_7257/page/n120|volume=460|last1=Torquato|journal=Nature|issue=7257|pages=876–879|date=Aug 2009|issn=0028-0836|pmid=19675649|doi=10.1038/nature08239|bibcode=2009Natur.460..876T|arxiv=0908.4107}}</ref>

== 3차원 용기에 채우기 ==

=== 입방체에 입방체 ===
주어진 입방체(3차원 직사각형)의 집합으로 채울 수 있는 최소 입방체 용기의 개수를 결정한다. 채우려는 육면체는 각 축을 기준으로 90도 회전시킬 수 있다.

=== 유클리드 공에 구 ===
<math>\scriptstyle k</math>개의 분리된 열린 단위 공으로 채울 수 있는 가장 작은 공을 찾는 문제는 <math>\scriptstyle k\leq n+1</math>이고 제한 없는 무한 차원의 힐베르트 공간에 있을 때, <math>\scriptstyle n</math>차원 유클리드 공간에서 간단하고 완벽한 답이 있다. 일반적인 문제의 취지를 밝히기 위해 자세히 설명할 필요가 있다. 이 경우에 <math>\scriptstyle k</math>쌍의 접하는 단위 공의 조합이 가능하다. 중심을 모서리가 2개인 <math>\scriptstyle(k-1)</math>차원 [[단체 (수학)|단체]]의 꼭짓점 <math>\scriptstyle a_1,..,a_k</math>에 두자; 이것은 쉽게 정규직교 기반에서 시작하는 것을 알 수 있다. 조금 계산해 보면, 무게중심에서 꼭짓점 까지의 거리는 <math>\scriptstyle\sqrt{2\big(1-\frac{1}{k} \big)}</math>이라는 것을 알 수 있다. 게다가, 공간의 다른 모든 점은 필연적으로 <math>\scriptstyle k</math>개의 정점 중 ''적어도'' 하나로부터 더 큰 거리를 갖는다. 공의 포함관계를 생각하면, <math>\scriptstyle a_1,..,a_k</math>를 중심으로 하는 <math>\scriptstyle k</math>개의 열린 단위 공은 이 조합에서 최소의 반경 <math>\scriptstyle r_k:=1+\sqrt{2\big(1-\frac{1}{k}\big)}</math>을 갖는 원에 들어있다.

이 조합이 최적임을 보이기 위해서, 중심이 <math>\scriptstyle x_{0}</math>이고 반지름이 <math>\scriptstyle r</math>인 원 안에 있는 <math>\scriptstyle k</math>개의 분리된 열린 단위 공의 중심을 <math>\scriptstyle x_1,...,x_k</math>이라고 하자. 유한집합 <math>\scriptstyle\{x_1,..x_k\}</math>에서 <math>\scriptstyle\{a_1,..a_k\}</math>로 대응시키자. 모든 <math>\scriptstyle 1\leq j\leq k</math>에 대해서 <math>\scriptstyle x_j</math>를 <math>\scriptstyle a_j</math>로 대응시키자. 모든 <math>\scriptstyle 1\leq i<j\leq k</math>에 대해서 <math>\scriptstyle \|a_i-a_j\|=2\leq\|x_i-x_j\|</math>일 때 이 대응은 1-Lipschitz 이고, Kirszbraun 정리에 의해서 이는 전역적으로 정의된 1-Lipschitz 매핑으로 확장된다; 특히, 모든 <math>\scriptstyle1\leq j\leq k</math>에 대해서 <math>\scriptstyle\|a_0-a_j\|\leq\|x_0-x_j\|</math>이기 때문에 또한 <math>\scriptstyle r_k\leq1+\|a_0-a_j\|\leq 1+\|x_0-x_j\|\leq r</math>인 점<math>\scriptstyle a_{0}</math>이 존재한다. 이것은 오직 <math>\scriptstyle r\geq r_{k}</math>일 때 만 <math>\scriptstyle k</math>개의 분리된 열린 단위 공들이 반지름이 <math>\scriptstyle r</math>인 공 안에 있을 수 있다는 것을 보여준다. 무한차원 힐베르트 공간에서 이것은 <math>\scriptstyle r\geq 1+\sqrt{2}</math>. 예를 들어, <math>\scriptstyle\sqrt{2}e_j</math>를 중심으로 가지고 <math>\scriptstyle\{e_j\}_j</math>은 정규 직교 기반인 단위 공은 원점을 중심으로 하고 반지름이 <math>\scriptstyle 1+\sqrt{2}</math>인 원에 분리되어서 포함되어있다. 게다가 <math>\scriptstyle r<1+\sqrt{2}</math>일 때는 반지름이 <math>r</math>인 공 안에 들어갈 수 있는 분리된 열린 단위 공의 최대 개수는 <math>\scriptstyle\big\lfloor \frac{2}{2-(r-1)^2}\big\rfloor</math>.

=== 입방체에 구 ===
{{개행 금지|''a'' × ''b'' × ''c''}}.의 크기를 가지는 [[직육면체|<span style="color:#0645ad;">직육면체</span>]]에 지름 ''d''인 [[구체]]가 몇 개가 들어갈 지를 결정한다.

=== 원기둥에 구 ===
반지름이 ''R'' 이고 반지름이 ''r'' (< ''R'')인 ''n''개의 구가 들어갈 원기둥의 높이 ''h''를 결정한다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1111/j.1475-3995.2009.00733.x|title=Packing identical spheres into a cylinder|journal=International Transactions in Operational Research|volume=17|pages=51–70|year=2010|last1=Stoyan|first1=Y. G.|last2=Yaskov|first2=G. N.}}</ref>

== 2차원 용기에 채우기 ==

=== 원 채우기 ===

==== 원에 원 ====
{{본문|원 안에 원 채우기}}
[[파일:Disk_pack10.svg|오른쪽|섬네일|120x120픽셀|원에 원 10개를 채우는 최적해이다]]
단위원 ''n''개로 가장 작은 [[원 (기하학)|원]]을 채운다. 이것은 단위원에 점을 퍼뜨려 가장 큰 점들간 최소거리 ''d''<sub>''n''</sub>를 찾는 문제와 매우 유사한 문제이다.

''n''&nbsp;≤&nbsp;13일 때와&nbsp;''n''&nbsp;=&nbsp;19일 때 최적해가 증명되었다.

==== 정사각형에 원 ====
{{본문|정사각형 안에 원 채우기}}
[[파일:Circles_packed_in_square_15.svg|오른쪽|섬네일|120x120픽셀|정사각형에 원 15개를 채우는 최적해이다]]
단위원 ''n''개로 가장 작은 [[정사각형]]을 채운다. 이것은 단위원에 점을 퍼뜨려 가장 큰 점들간 최소거리 ''d''<sub>''n''</sub>를 찾는 문제와 매우 유사한 문제이다.<ref name="upg">{{서적 인용|title=Unsolved Problems in Geometry|url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0000crof|last=Croft|first=Hallard T.|authorlink=|author2=Falconer, Kenneth J.|author3=Guy, Richard K.|year=1991|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=0-387-97506-3|pages=[https://archive.org/details/unsolvedproblems0000crof/page/n127 108]–110}}</ref> 이 두 문제를 변환하려면 단위 원이 있는 정사각형의 한 변의 길이는 ''L''&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;2/''d''<sub>''n''</sub>이다.

''n''&nbsp;≤&nbsp;30일 때 최적해가 증명되었다.<ref>{{웹 인용|url=http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/csq/csq.html|title=The best known packings of equal circles in a square|author=Eckard Specht|date=20 May 2010|work=|publisher=|accessdate=25 May 2010}}</ref>

==== 직각이등변삼각형에 원 ====
{{본문|직각이등변삼각형에 원 채우기}}
[[파일:6_cirkloj_en_45_45_90_triangulo.png|오른쪽|섬네일|120x120픽셀|직각이등변삼각형에 원 6개를 채우는 최적해이다]]
단위원 ''n''개로'' ''가장 작은 [[직각이등변삼각형]]에 채운다. ''n''<300일 때 좋은 근사가 알려져 있다.<ref>{{웹 인용|url=http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/crt/crt.html|제목=The best known packings of equal circles in an isosceles right triangle|성=Specht|이름=Eckard|날짜=11 March 2011|확인날짜=1 May 2011}}</ref>

==== 정삼각형에 원 ====
{{본문|정삼각형 안에 원 채우기}}
[[파일:5_cirkloj_en_60_60_60_triangulo_v1.png|오른쪽|섬네일|120x120픽셀|정삼각형에 원 5개를 채우는 최적해이다]]
단위원 ''n''개로 가장 작은 정삼각형을 채운다. ''n''<13일 때 최적해가 알려져 있고, ''n''&nbsp;<&nbsp;28일 때 추측 가능하다.<ref>{{저널 인용|last1=Melissen|first1=J.|title=Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle|url=https://archive.org/details/sim_discrete-mathematics_1995-10-13_145_1-3/page/n344|journal=Discrete Mathematics|volume=145|pages=333–342|year=1995|doi=10.1016/0012-365X(95)90139-C}}</ref>

=== 정사각형 채우기 ===

==== 정사각형에 정사각형 ====
[[파일:10_kvadratoj_en_kvadrato.svg|오른쪽|섬네일|120x120픽셀|정사각형에 정사각형 10개를 채우는 최적해이다]]
단위 정사각형 ''n''개를 가능한 작은 [[정사각형]]에 넣는다.

최적해는 ''n''&nbsp;=&nbsp;1–10, 14–16, 22–25, 33–36, 62–64, 79–81, 98–100, 그리고 모든 사각수일 때 증명되었다.<ref name="survey">Erich Friedman, [http://www.combinatorics.org/Surveys/ds7.html "Packing unit squares in squares: a survey and new results"] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20090727082435/http://www.combinatorics.org/Surveys/ds7.html}}, ''The Electronic Journal of Combinatorics'' '''DS7''' (2005).</ref><ref>{{저널 인용|제목=Optimal Packings of 22 and 33 Unit Squares in a Square|성=Wolfram Bentz|날짜=12 June 2016|arxiv=1606.03746}}</ref>

낭비되는 공간은 점근적으로 [[점근 표기법|O]](''a''<sup>7/11</sup>)이다.<ref>{{저널 인용|제목=On packing squares with equal squares|저널=Journal of Combinatorial Theory, Series A|성=Erdős|이름=P.|성2=Graham|이름2=R. L.|url=http://www.math.ucsd.edu/~ronspubs/75_06_squares.pdf|연도=1975|권=19|쪽=119–123|형식=PDF|doi=10.1016/0097-3165(75)90099-0}}</ref>

==== 원에 정사각형 채우기 ====
<span>정사각형 </span>''n''개를 가능한 작은 원에 넣는다.

최소해:<ref>{{웹 인용 |url=http://www2.stetson.edu/~efriedma/squincir/ |제목=보관된 사본 |확인날짜=2017-09-14 |archive-date=2017-09-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170914202441/http://www2.stetson.edu/~efriedma/squincir/ }}</ref>
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
! 정사각형의 개수
! 원의 반지름
|-
| 1
| 0.707...
|-
| 2
| 1.118...
|-
| 3
| 1.288...
|-
| 4
| 1.414...
|-
| 5
| 1.581...
|-
| 6
| 1.688...
|-
| 7
| 1.802...
|-
| 8
| 1.978...
|-
| 9
| 2.077...
|-
| 10
| 2.121...
|-
| 11
| 2.214...
|-
|12
| 2.236...
|}

=== 직사각형 채우기 ===

==== 직사각형에 크기가 동일한 직사각형 ====
크기가 (''l'',''w'')인 직사각형 여러개를 90° 회전을 허용하여 크기가 (''L'',''W'')인 큰 직사각형 안에 채우는 문제는 [[파렛트]]에 상자를 싣거나 특히 [[펄프|나무 펄프]] 보관 등의 적용이 있다.

예를 들어, 크기가 (137,95)인 직사각형 147개는 크기가 (1600,1230)인 직사각형을 채울 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=An effective recursive partitioning approach for the packing of identical rectangles in a rectangle|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-the-operational-research-society_2010-02_61_2/page/n132|저널=Journal of the Operational Research Society|성=Birgin|이름=E G|성2=Lobato|이름2=R D|연도=2010|권=61|쪽=306–320|doi=10.1057/jors.2008.141|성3=Morabito|이름3=R}}</ref>

==== 직사각형에 크기가 다른 직사각형 ====
다양한 너비와 높이를 가지는 직사각형들을 최소 면적의 (하지만 둘러싸는 직사각형의 너비와 높이에는 경계가 없는) 직사각형에 채우는 문제는 이미지들을 하나의 큰 이미지로 결합할 때 중요한 문제이다. 각각의 이미지를 웹 서버에 요청하기 때문에, 하나의 큰 이미지를 로딩하는 웹 페이지는 같은 페이지에서 여러 작은 이미지를 로딩하는 브라우저보다 빠르다.

다양한 너비와 높이를 가지는 직사각형들을 최소넓이의 직사각형에 채우는 빠른 알고리즘의 예는 [https://web.archive.org/web/20170914175015/https://www.codeproject.com/Articles/210979/Fast-optimizing-rectangle-packing-algorithm-for-bu 여기] 있다.

== 관련 분야 ==
타일링이나 [[테셀레이션]] 문제에서 틈이나 겹치는 것이 없어야한다. 이런 종류의 퍼즐의 대부분은 [[직사각형]]이나 [[폴리오미노]]를 큰 직사각형이나 사각형같은 모양에 채우는 문제와 관련되어있다.

직사각형(과 직육면체)를 직사각형 (직육면체)에 틈이나 겹침없는 타일링에 대해서는 상당히 많은 정리들이 있다:
: 오직'' a''가 ''n''으로 나눠지거나 ''b''가 ''n''으로 나눠질 때만 ''a'' &#xD7; ''b'' 의 직사각형은 1 &#xD7; ''n''의 띠로 채워진다.<ref name="Gems2">{{서적 인용|제목=Mathematical Gems II|성=Honsberger|이름=Ross|연도=1976|출판사=[[The Mathematical Association of America]]|쪽=67|isbn=0-88385-302-7}}</ref><ref name="Klarner">{{저널 인용|제목=Uniformly coloured stained glass windows|저널=Proceedings of the London Mathematical Society|성=Klarner|이름=D.A.|저자링크=David A. Klarner|성2=Hautus|이름2=M.L.J|연도=1971|총서=3|권=23|쪽=613–628|doi=10.1112/plms/s3-23.4.613}}</ref>
: [[드 브루인의 정리]]: 상자가 어떤 [[자연수]] ''p'', ''q'', ''r''에 대해 ''a p'' × ''a b q'' × ''a b c r'' 일 때(즉, 상자가 벽돌의 배 일 때) ''a'' &#xD7; ''a b'' &#xD7; ''a b c'' 의 [[드 브루인의 정리|조화 벽돌]]로 상자를 채울 수 있다.
폴리오미노 타일링 연구는 크게 두 종류의 문제로 나뉜다: 합동인 타일로 직사각형을 타일링 하고, 각 폴리오미노를 직사각형에 채운다.

두번째 종류의 고전 퍼즐은 펜토미노 12개 전부를 크기가 3×20, 4×15, 5×12 또는 6×10인 직사각형에 배열하는 것이다.

== 불규칙한 물체 채우기 ==
불규칙한 물체 채우기는 폐쇄적인 해결법에는 적합하지 않다; 하지만 실용 환경 과학에 적용은 매우 중요하다. 예를 들어, 불규칙한 모양의 흙 입자를 크기와 모양을 다양하게 채우기는 식물종의 뿌리 형성과 토양에서 물의 움직임에 중요하다.<ref>C.Michael Hogan. 2010. [http://www.eoearth.org/article/Abiotic_factor?topic=49461 ''Abiotic factor''. Encyclopedia of Earth. eds Emily Monosson and C. Cleveland. National Council for Science and the Environment]. Washington DC</ref>

== 같이 보기 ==
* [[집합 채우기]]
* [[상자 채우기 문제]]
* [[Slothouber–Graatsma 퍼즐]]<br>
* [[콘웨이 퍼즐]]
* [[테트리스]]
* [[덮기 문제]]
* [[배낭 문제]]
* [[정사면체 채우기]]
* [[원료 절단 문제]]
* [[입맞춤 수 문제]]
* [[구 채우기]]
* [[무작위 채우기]]

== 각주 ==
{{각주|2}}

== 외부 링크 ==
* [https://pdfs.semanticscholar.org/bb99/86af2f26f7726fcef1bc684eac8239c9b853.pdf?_ga=1.50320358.1394974689.1485463187 Optimizing Three-Dimensional Bin Packing] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20190303205438/https://pdfs.semanticscholar.org/bb99/86af2f26f7726fcef1bc684eac8239c9b853.pdf?_ga=1.50320358.1394974689.1485463187}}
* [http://www.3dbinpacking.com API for 3D bin packing]
* [https://web.archive.org/web/20190707220014/http://tlrun.com/ 3D Boxes and Cylinders packing with telescoping]
수학 잡지같이 많은 퍼즐 책은 채우기 문제를 포함하고 있다.
* [http://mathworld.wolfram.com/Packing.html Links to various MathWorld articles on packing]
* [http://mathworld.wolfram.com/SquarePacking.html MathWorld notes on packing squares.]
* [http://www.stetson.edu/~efriedma/packing.html Erich's Packing Center] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20100314130911/http://www.stetson.edu/~efriedma/packing.html}}
* [http://www.packomania.com/ www.packomania.com] 표, 그래프, 계산기, 참조 등이 있는 사이트이다.
* [http://demonstrations.wolfram.com/BoxPacking/ "Box Packing"] by Ed Pegg, Jr., the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
* [http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/cci/cci.html#overview Best known packings of equal circles in a circle, up to 1100]
* [http://apmonitor.com/me575/index.php/Main/CircleChallenge Circle packing challenge problem in Python]

{{테셀레이션}}

[[분류:채우기 문제]]