찬드라세카르 한계 문서 원본 보기

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'''찬드라세카르 한계'''({{llang|en|Chandrasekhar limit}})는 [[유체 정역학 평형]]에 있는 [[백색왜성]]의 최대 질량이다.  [[이상기체]]의 [[열압력]]으로 [[중력붕괴]]를 막는 [[주계열성]]과 달리, 백색왜성은 [[전자 축퇴압]]을 통해 중력붕괴를 이겨내고 있다. 찬드라세카르 한계 이상의 질량을 가지고 있으면, 항성의 핵 속의 전자축퇴압이 불충분해 [[항성]] 자체의 중력으로 인한 인력과 균형을 맞추지 못한다. 고로 한계 이상의 질량을 가진 백색 왜성은 중력붕괴가 계속 일어나 다른 형태의 [[밀집성]]([[중성자별]]이나 [[블랙홀]])으로 [[항성진화|진화]]하게 된다. 한계 이하의 질량을 가지고 있다면 백색왜성으로 안정적으로 남아 있을 수 있다.<ref name = DarkMatter>Sean Carroll, Ph.D., Cal Tech, 2007, The Teaching Company, ''Dark Matter, Dark Energy: The Dark Side of the Universe'', Guidebook Part 2 page 44, Accessed Oct. 7, 2013, “...Chandrasekhar limit: The maximum mass of a white dwarf star, about 1.4 times the mass of the Sun. Above this mass, the gravitational pull becomes too great, and the star must collapse to a neutron star or black hole...”</ref>

현재 받아들여지고 있는 한계값은 약 1.44 [[태양질량|<math>\begin{smallmatrix}M_\odot\end{smallmatrix}</math>]] ( 2.864 × 10<sup>30</sup> kg)이다.<ref>{{서적 인용|성=Israel|이름=edited by S.W. Hawking, W.|제목=Three hundred years of gravitation|연도=1989|출판사=[[케임브리지 대학교 출판부|Cambridge University Press]]|출판위치=Cambridge [Cambridgeshire]|isbn=0-521-37976-8|판=1st pbk. ed., with corrections.|이탤릭체=예}}</ref><ref>p. 55, How A Supernova Explodes, Hans A. Bethe and Gerald Brown, pp. 51–62 in ''Formation And Evolution of Black Holes in the Galaxy: Selected Papers with Commentary'', Hans Albrecht Bethe, Gerald Edward Brown, and Chang-Hwan Lee, River Edge, NJ: World Scientific: 2003. {{ISBN|981-238-250-X}}.</ref><ref>{{저널 인용|doi=10.1126/science.1136259 |arxiv=astro-ph/0702351|제목= A common explosion mechanism for type Ia supernovae|저널=Science|권=315|호=5813|쪽=825–828 |bibcode=2007Sci...315..825M|성=Mazzali|이름=Paolo A.|공저자=Friedrich K. Röpke, Stefano Benetti, Wolfgang Hillebrandt|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
'''찬드라세카르 한계'''는 수소 원자 [[페르미 기체]]로 구성된 안정된 구형 별이 가질 수 있는 최대 질량이다. 즉, 중력에 의한 압력이 [[페르미 기체]]의 [[전자 축퇴압]]을 능가하는 시점이다. 이 질량은 다음과 같다.
:<math> M_{\text{limit}} = \frac{\omega_3^0 \sqrt{3\pi}}{2}\left ( \frac{\hbar c}{G}\right )^{3/2}\frac1{m_{\mathrm H}^2}</math>
여기서 <math>\hbar</math>, <math>c</math>, <math>G</math>, <math>m_{\mathrm H}</math>는 각각 [[디랙 상수]], [[광속]], [[중력 상수]], [[수소 원자]] 질량이다. 또한,
:<math>\omega_3^0\approx2.018236</math>
는 상미분 방정식의 해에 등장하는 수학적 상수이다.

만약 백색왜성이 주로 수소로 구성돼 있지 않다면, <math>m_{\mathrm H}</math> 대신 전자당 평균 원자 질량을 사용한다. 예를 들어, 순수하게 [[헬륨-4]]로 구성된 경우 <math>m_{\mathrm{He}_4}/2\approx 2m_{\mathrm H}</math>를 사용한다.

== 유도 ==
구형 대칭을 가정하자. [[유체 정역학 평형]]에 있으려면 압력 <math>P(r)</math>가 중력과 평형을 이루어야 하므로, 다음과 같은 평형 방정식을 만족시킨다.
:<math>\frac d{dr}P(r)=-Gm(r)\rho(r)/r^2</math>
여기서 <math>m(r)</math>는 반지름 <math>r</math> 속에 있는 질량으로, 다음과 같다.
:<math>m(r_0)=\int_0^{r_0}\,4\pi r^2\rho(r)\,dr</math>
상대론적 전자 [[페르미 기체]]의 압력은 다음과 같다. 편의상 <math>c=\hbar=1</math>로 놓자.
:<math>P(r)=\frac1{3\pi^2}\int_0^{p_{\text{F}}(r)}p^4\sqrt{m_{\mathrm e}^2+p^2}\,dp</math>
여기서 <math>p_{\text{F}}(r)</math>는 페르미 운동량([[페르미 에너지]]에서의 운동량)이며, 이는 전자 입자수 밀도 <math>n_{\mathrm e}(r)=\rho(r)/m_{\mathrm H}</math>에 의해 다음과 같이 주어진다.
:<math>p_{\text{F}}(r)=2\pi\sqrt[3]{3n_{\mathrm e}(r)/8\pi }=2\pi\sqrt[3]{3\rho(r)/8\pi m_{\mathrm H}}</math>

이 식들을 정리하면 <math>m(r)</math>에 대한 2차 [[상미분 방정식]]을 얻는다. 이 경우 항성의 전체 질량은 <math>\rho(r)=0</math>이 되는 점 <math>r=r_0</math>에서의 질량 <math>M=m(r_0)</math>이다. 이 식은 2차 상미분 방정식이므로, 해는 두 개의 매개변수에 따라 결정된다. 이 경우, 하나는 초기 조건 <math>m(0)=0</math>에 의해서 고정되며, 다른 한 매개변수는 전체 질량 <math>M</math>으로 적을 수 있다. 이 경우, 일정 전체 [[질량]] 이상에서는 해가 존재하지 않는다. 이 값이 찬드라세카르 한계이다.

== 역사 ==
이 한계는 [[1929년]]에 [[빌헬름 안데르손]]과 [[에드문드 클리프턴 스토너]]가 처음 발표했으며, 그 뒤 1930년에 19세의 나이로 그 계산을 발전시킨 인도계 미국인 [[천체물리학자]] [[수브라마니안 찬드라세카르]]의 이름을 따 명명되었다. 이 한계 이론을 위해서는 [[블랙홀]]의 존재가 논리적으로 필요하나, 당시 블랙홀의 존재는 과학적으로 불가능하다고 여겨졌기에, 처음 발표되었을 때 학계에서 무시되었다.

== 참고 문헌 ==
<references/>

{{전거 통제}}

[[분류:천체물리학]]
[[분류:백색왜성]]
[[분류:중성자별]]