차 (수학) 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''차'''(次, {{lang|en|degree}}) 또는 '''차수'''(次數, exponent)는 문자를 포함한 항에서 '''문자가 곱해진 개수'''를 의미한다. 어떤 대상이 가진 성질의 정도를 나타내는 것으로 보통 [[이차방정식]]이나 [[삼차방정식]], 이차확대체처럼 [[다항식]]의 종류나 [[확대체]]의 종류를 나타낼 때 자주 쓰인다.

== 다항식의 차수 ==

=== 정의 ===
다항식을 [[동류항]]끼리 계산하여 간단히 하는 것을 "다항식을 정리한다"라고 한다. 다항식을 어떤 문자에 대해 정리하였을 때, 그 문자의 가장 큰 거듭제곱 지수를 그 다항식의 '''차수'''라 한다. 다항식 <math>f</math>의 차수는 보통 <math>\deg \, f</math>로 나타낸다.

예를 들어, <math>x^2+10x+16</math>의 차수는 2이므로, 이 다항식은 2차식이다. 다항식 <math>(x^3+2x^2+3)-(x^3+2x+3)</math>은 <math>x^3</math>을 포함하고 있지만, 동류항을 묶어 식을 정리하면
:<math>(x^3+2x^2+3)-(x^3+2x+3)=2x^2-2x</math>
이므로, 이 다항식의 차수는 2이다.

=== 문자가 여러 개인 다항식의 차수===
두 개 이상의 문자에 대한 다항식은, 각 항마다 각 문자에 대한 지수를 더하여 생각한다.

예를 들어, 두 문자 <math>x</math>와 <math>y</math>에 대한 다항식 <math>x^2y^3+x^3+y^4+1</math>에서 각 항의 차수는 다음과 같다.
{| class="wikitable"
!항!!(<math>x</math>의 지수)+(<math>y</math>의 지수)
|-align="right"
|<math>x^2y^3</math> || 5
|-align="right"
|<math>x^3 = x^3y^0</math> || 3
|-align="right"
|<math>y^4 = x^0y^4</math> || 4
|-align="right"
|<math>1 = x^0y^0</math> || 0
|}
가장 큰 값이 5이므로, 이 다항식의 차수는 5가 된다.

=== 차수의 성질 ===
일반적으로 두 다항식 <math>f</math>와 <math>g</math>에 대하여 다음이 성립한다.

:<math>\deg(f+g) \leq \max(\deg f, \deg g)</math>
:<math>\deg(fg) = \deg \, f + \deg \, g</math>

예를 들어, <math>f(x) = x^2+1, g(x) = x+2</math>일 때,
:<math>f(x)+g(x) = x^2+x+3</math>
:<math>f(x)g(x) = x^3+2x^2+x+2</math>
이므로 위의 성질이 성립한다.

상수의 차수는 0이지만, 예외적으로 상수 0의 차수를 <math>-\infty</math>로 생각하면 편리한 경우가 많다. 이 경우, 임의의 음이 아닌 정수 <math>a</math>에 대하여
:<math>-\infty < a,\ -\infty + a = -\infty</math>
이므로 차수에 대한 위의 두 성질이 다항식에 0을 더하거나 곱하는 경우에도 성립한다.

== 확대체의 차수 ==
[[체 (수학)|체]] <math>F</math>와 그 [[확대체]] <math>K</math>에 대하여, <math>K</math>를 <math>F</math>위에서 정의된 [[벡터 공간]]으로 생각할 수 있다. 이때 <math>K</math>의 차원 <math>\dim_F{K}</math>을 확대체 <math>K</math>의 <math>F</math>에 대한 '''차수'''라 하며 <math>[K:F]</math>로 나타낸다. 예를 들어 <math>[\mathbf{Q}(\sqrt{2}):\mathbf{Q}]=2</math>이므로 <math>\mathbf{Q}(\sqrt{2})</math>는 <math>\mathbf{Q}</math>의 이차확대체이다.

==[[그래프 이론]]의 차수==
[[그래프#정의|무향 그래프]]에서, 한 꼭짓점에 이어져있는 변의 개수

== 위상수학에서의 차수 ==
{{본문|연속함수의 차수}}


[[분류:다항식]]