차원 축소 (물리학) 문서 원본 보기

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[[이론물리학]]에서, '''차원 축소'''(次元縮小, {{llang|en|dimensional reduction}})는 고차원에 정의된 장론으로부터, 더 낮은 차원에 존재하는 장론을 구성하는 방법이다.

== 정의 ==
<math>D+n</math>차원에서, 어떤 장론이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 다음과 같은 과정을 가하자.
* 우선, 이 이론을 <math>M_D\times \Sigma_n</math>의 꼴의 공간 위에 정의한다 ([[축소화]]). 여기서 <math>\Sigma_n</math>은 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]]이며, 보통 <math>n</math>차원 [[원환면]]을 사용한다.
* 이제, <math>\Sigma_n</math>의 부피가 0이 되는 극한을 취한다. 그렇다면, 질량이 <math>\Sigma_n</math>의 크기의 역수에 비례하는 [[칼루차-클라인 이론|칼루차-클라인 장]]들은 무한대의 질량을 갖게 되어, 이론에서 적분하여 없앨 수 있다.
그렇다면, <math>M_D</math> 위에 정의되는 <math>D</math>차원 장론을 얻게 된다. 이를 원래 이론의 <math>D</math>차원 '''차원 축소'''라고 한다.

== 성질 ==
구체적으로, 장들은 차원 축소 아래 다음과 같은 표현을 갖는다. 여기서
* <math>M,N,\dotsc\in\{0,1,\dotsc,D+n-1\}</math>는 <math>D+n</math>차원에서의 벡터 지표이다.
* <math>\mu,\nu,\dotsc\in\{0,1,\dotsc,D-1\}</math>는 <math>D</math>차원에서의 벡터 지표이다.
* <math>i,j,\dotsc\in\{D,D+1,\dotsc,D+n-1\}</math>는 축소된 차원들의 지표이다.

=== 스칼라장 ===
스칼라장은 차원 축소 아래 하나의 스칼라장으로 남는다.

=== 양-밀스 장 ===
<math>D+n</math> 차원에서, [[게이지 군]] <math>G</math>에 대한 [[양-밀스 장]] <math>A^a_M</math>는 <math>D</math>차원에서 1개의 양-밀스 장 <math>A^a_\mu</math> 및 <math>n</math>개의 [[딸림표현]] 스칼라장 <Math>A_i^a</math>들로 분해된다.

=== 미분 형식 ===
<math>D+n</math>차원에서 <math>p</math>차 [[미분 형식 전기역학|미분 형식]] 게이지 장 <math>A_{M_1\dotsb M_p}</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는 <math>D</math>차원에서 다음과 같은 장들을 이룬다.
* 각 <math>k\in\{0,1,\dotsc,p\}</math>에 대하여, <math>\textstyle\binom n{p-k}</math>개의 <math>k</math>차 미분 형식 게이지장 <math>A_{\mu_1\dotso\mu_k i_{k+1}\dotso i_p}</math>
이때, <math>k</math>차 미분 형식 게이지장은 물론 쌍대화에 따라서 <math>D-2-k</math>차 미분 형식 게이지장과 동치이다.

=== 중력장 ===
<math>D+n</math>차원의 중력장 <math>g_{MN}</math>은 <math>D</math>차원에서 다음과 같이 분해된다.
* <math>n(n+1)/2</math>개의 스칼라장 <math>g_{ij}</math>. 이 가운데 하나는 [[딜라톤]]을 이룬다.
* 1개의 [[중력장]] <math>g_{\mu\nu}</math>
* <math>n</math>개의 U(1) 게이지장 <math>g_{\mu i}</math>. 그 [[게이지 대칭]]은 <math>D+n</math>차원 [[미분 동형 사상]] 게이지 대칭 가운데 <math>D</math>차원 미분 동형 사상 게이지 대칭에 속하지 않는 것들로 구성된다.

=== 페르미온 ===
페르미온은 차원 축소 아래 페르미온으로 남게 된다. 만약 <math>D</math>가 [[홀수]]일 때, <math>D+1</math>차원에서의 [[바일 스피너]]는 <math>D</math>차원에서의 [[디랙 스피너]]가 된다.

== 예 ==
4차원 [[일반 상대성 이론]]을 3차원으로 차원 축소한다고 하자. 이 경우, 4차원 중력장은 3차원에서 하나의 중력장과 하나의 게이지장 및 하나의 [[딜라톤]]으로 분해된다. 그런데 3차원은 다음과 같은 특별한 성질을 갖는다.
* 3차원에서 [[중력장]]은 국소 자유도를 갖지 않는다.
* 3차원에서 게이지장은 스칼라장과 동치이다.
즉, 이 경우 2개의 스칼라장만이 남게 되어, 일종의 [[시그마 모형]]으로 적을 수 있게 된다.<ref>{{저널 인용|url=
https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103905051 |제목=Classification of gravitational instanton symmetries|저널=Communications in Mathematical Physics|이름=G. W.|성=Gibbons|이름2=Stephen W.|성2=Hawking|저자링크2=스티븐 호킹|mr=0535152|권=66|호=3|날짜=1979|쪽=291–310|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Bernard|성=Julia|bibcode=1981sssg.conf..331J|장=Group disintegrations|제목=Superspace and Supergravity, Proceedings of the Workshop held in July 1980 in Cambridge, England|날짜=1981|editor1-first=Stephen W.|editor1-last=Hawking|editor1-link=스티븐 호킹|editor2-first=Martin|editor2-last=Roček|출판사=Cambridge University Press|쪽=331–350|언어=en}}</ref>

구체적으로, 4차원 [[필바인]] <math>E_M{}^A</math>을 다음과 같이 적자.
:<math>E_M{}^A = \begin{pmatrix}
e_\mu{}^\alpha /\sqrt\Delta &\sqrt\Delta A_\mu \\
0&\sqrt\Delta
\end{pmatrix}</math>
여기서
* <math>e_\mu{}^\alpha</math>는 3차원 필바인이다.
* <math>\Delta</math>는 [[딜라톤]]이다.
* <math>A_\mu</math>는 3차원의 [[게이지장]]이다.
이 경우, 작용은 다음과 같다.
:<math>S = \int_{M_3}\left(\det e)(-\frac14\operatorname{Ric}[e] 
-\frac1{16}\Delta^2 F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + \frac18\Delta^{-2} \partial^\mu\Delta\partial_\mu\Delta
\right)</math>
여기서 물론 지표의 올림과 내림은 3차원 계량 <math>g_{\mu\nu}=e_\mu{}^\alpha e_\nu{}^\beta\eta_{\alpha\beta}</math>에 의한 것이다.
이제, 게이지장을 다음과 같이 스칼라장으로 쌍대화할 수 있다. 게이지장의 [[가우스 법칙]]
:<math>\partial_\mu\left((\det e)\Delta^2 F^{\mu\nu}\right) = 0</math>
은 다음과 같은 [[자기 퍼텐셜]] 스칼라장
:<math>\partial_\mu B = \frac12 \epsilon_\mu{}^{\nu\rho}F_{\nu\rho}\Delta^2</math>
으로 (국소적으로) 풀 수 있다. 이를 대입하면, 다음과 같은 작용을 얻는다.
:<math>S = \frac18\int_{M_3} (\det e)\frac{\partial^\mu B\partial_\mu B + \partial^\mu\Delta\partial_\mu\Delta}{\Delta^2}</math>
이는 <math>(B,\Delta)</math>에 대한 [[시그마 모형]]이며, 이 시그마 모형의 과녁 공간인 [[리만 다양체]]는 2차원 [[쌍곡 평면]]이다.

물론, 3차원 중력장은 국소 자유도를 갖지 않지만, 대역적 (위상수학적) 자유도를 가질 수 있다. 즉, 위와 같은 분석은 국소적 자유도만을 고려한 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[축소화]]
* [[칼루차–클레인 이론]]
* [[초중력]]
* [[양자 중력]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Kaluza-Klein mechanism}}

[[분류:이론물리학]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:끈 이론]]