차원 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Dimension_levels.svg|572x572px|섬네일|오른쪽|0차원 [[점 (기하학)|점]]부터 1차원 [[선분]],  2차원 [[사각형]], 3차원 [[정육면체]]와 4차원 [[초입방체]]까지 전개하는 모습]]
[[파일:N-wymiarowe sześciany.svg|289x289px|섬네일|오른쪽|1차원부터 6차원까지의 초입방체의 모습]]

[[수학]]에서, 어떤 대상의 모든 원소들을, 몇 개 (또는 무한대)의 정해진 원소들 <math>x_1, x_2,\dots, x_n</math>을 조합해서 모두 나타낼 수 있을 때, 그 정해진 원소들을 '''기저'''라고 부르며, 기저 원소의 수를 '''차원'''(次元)이라고 한다. 이 개념은 수학의 여러 분야에서 각 분야에 맞게 정의되어 있다.

예를 들어, [[평면]]에 포함된 한 점의 위치를 지정하는 데에는 두 개의 숫자가 필요하다. (보다 구체적으로 말해, 지구의 일부분을 묘사한 [[지도]]에서 특정한 위치를 찾아내기 위해서는 [[위도]]와 [[경도]]라는 두 개의 숫자를 알아야 한다.) 이 경우 모두 2차원이다. 모든 2차 [[실수]] 계수 다항식들의 집합 <math>\{ax^2+bx+c\,|\,a,b,c\in\R\}</math>의 원소는 <math>x^2, x, 1</math>의 조합으로 모두 표현된다. 따라서 이 경우는 3차원이다.

== 차원의 종류 ==
수학에서 차원 개념이 정의된 분야는 아주 다양하며, 하나의 정의가 이 여러 필요를 전부 만족시키는 것은 불가능하다. 아래는 수학의 여러 분야에서 쓰이는 차원 개념들의 목록이다.

=== 벡터 공간 ===
{{참고|벡터 공간}}
[[선형대수학]]에서 다루는 공간은 '''선형 공간('''[[벡터 공간]])이다. 선형 공간에는 기저라는 부분 집합이 존재하며, 해당 선형 공간의 모든 원소들은 기저 원소들의 [[선형 결합]]이다. [[기저 (선형대수학)|'''기저''']]의 원소 수(보다 일반적으로는 기저의 [[기수 (수학)|기수]])를 그 선형 공간의 '''차원'''이라고 한다. 모든 2차원 실벡터들은 선형 공간 <math>\{(a,b)|\,a,b\in\R\}</math>이며, 모든 원소에 대해 <math>(a,b)=a(1,0)+b(0,1)</math>이 성립하므로 <math>\{(1,0), (0,1)\}</math>는 이 선형 공간의 기저이며 2차원이다. 모든 2차 실수 계수 다항식들은 선형 공간 <math>\{ax^2+bx+c\,|\,a,b,c\in\R\}</math>이며 <math>\{x^2, x, 1\}</math>는 이 공간의 기저가 되며 3차원이다.

=== 다양체 ===
{{참고|다양체}}
흔히 생각하는 기하학적 대상은 대부분 다양체이다. 이는 전부 근본적으로는 n차원 [[유클리드 공간]] E<sup>n</sup>의 차원 개념에서 유래한 것이다. 점 E<sup>0</sup>은 0차원이고, [[직선]] E<sup>1</sup>은 1차원이며, 평면 E<sup>2</sup>은 2차원이다. 보다 일반적으로, E<sup>n</sup>은 n차원이다. 또한 [[4차원]] [[초입방체]]는 4차원 대상의 좋은 예가 된다.

[[연결 공간|연결]] [[위상다양체]]는 국소적으로 n차원 유클리드 공간과 위상동형이며, 이때 이 다양체를 n차원이라고 한다. 이 방법으로, 모든 연결 위상다양체에 대해 차원이 유일하게 정의됨을 보일 수 있다.

[[위상수학]]에서 1차원 및 2차원의 다양체론은 대체로 간단하고, 차원이 5 이상인 경우는 많은 수의 차원 상에서의 작업을 통해 문제를 간략화시킬 수 있는 반면, 3차원과 4차원의 경우가 가장 어려운 경우가 많다. 이는 [[푸앵카레 추측]]을 비롯한 여러 경우에서 나타난 현상이다.

=== 하우스도르프 차원 ===
위상 공간 <math>S</math>와 반지름 <math>r</math>이 주어졌을 때, <math>S</math>를 <math>N(r)</math>개의 [[공 (수학)|공]]으로 덮을 수 있다고 하자. [[하우스도르프 차원]] <math>d</math>는 <math>r</math>이 <math>0</math>으로 갈 때 <math>N(r)</math>가 <math>r^{-d}</math>로 수렴하게 만드는 유일한 실수 <math>d</math>를 말한다.

=== 르베그 덮개 차원 ===
{{본문|르베그 덮개 차원}}
[[르베그 덮개 차원]]은 차원의 위상수학적 정의에 해당한다. [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''르베그 덮개 차원''' <math>\dim X</math>는 다음 조건을 만족시키는 최소의 [[정수]] <math>n\ge-1</math>이다.

* 임의의 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U</math>에 대하여, <math>\max_{x\in X}|\{C\in\mathcal C\colon x\in C\}|\le n+1</math>인 <math>\mathcal U</math>의 열린 [[세분 (위상수학)|세분]] <math>\mathcal C</math>가 존재한다.

만약 위 조건을 만족시키는 정수가 없다면, <math>\dim X=\infty</math>로 정의한다.

=== 크룰 차원 ===
{{본문|크룰 차원}}
[[가환환]]의 [[크룰 차원]]은 [[볼프강 크룰]] (Wolfgang Krull)의 이름을 따 지어진 개념으로, [[소 아이디얼]]들의 강한 포함관계(strict inclusion)에 의한 사슬의 길이가 가질 수 있는 극대값으로 정의된다.

== 낮은 차원 ==
=== ''0'' ===
0차원의 폴리토프는 점이다.<ref>{{콘퍼런스 인용|first1=Luke|last1=Wolcott|first2=Elizabeth|last2=McTernan|title=Imagining Negative-Dimensional Space|pages=637–642|book-title=Proceedings of Bridges 2012: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture|year=2012|editor-first1=Robert|editor-last1=Bosch|editor-first2=Douglas|editor-last2=McKenna|editor-first3=Reza|editor-last3=Sarhangi|isbn=978-1-938664-00-7|issn=1099-6702|publisher=Tessellations Publishing|location=Phoenix, Arizona, USA|url=http://bridgesmathart.org/2012/cdrom/proceedings/65/paper_65.pdf|accessdate=10 July 2015|archive-date=2015-06-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20150626111631/http://bridgesmathart.org/2012/cdrom/proceedings/65/paper_65.pdf|url-status=}}</ref>

== 수학 이외에서 차원 개념의 적용 ==

=== 물리학 ===

==== 공간 차원 ====
{{참고|데카르트 좌표계}}
[[고전 물리학]]은 물리 우주가 3개의 차원을 갖는 것으로 묘사한다. 공간의 각 점에서 움직일 수 있는 기본 방향을 위-아래, 왼쪽-오른쪽, 앞-뒤의 3가지로 생각하면 모든 그 이외 다른 방향으로의 움직임 또한 이 세 가지 방향으로의 움직임을 조합한 것으로 표현할 수 있기 때문이다. 특히 왼쪽을 양의 방향이라고 할 때, 오른쪽으로의 움직임은 왼쪽으로 [[음수]]만큼 움직이는 것과 같다고 본다. 즉, 고전 물리학은 3차원 유클리드 공간이라는 [[내적 공간]]을 물리적 공간의 수학적 구조로 보았다.

==== 시간 차원 ====
{{참고|특수상대성이론}}
흔히 시간을 네 번째 차원이라고 말하기도 한다. 하지만 모든 운동은 시간축 상에서 [[시간의 화살|한 방향]]으로만 일어나는 것으로 인식된다는 점에서 시간은 물리학적으로 상당한 차이점이 있다. 물론 수학적 구조상으로는 입자가 움직이는 공간의 세 축과 시간을 모두 실수 직선들로 보고 4차원 공간 <math>\R^4</math>로 보면 된다. 그러나 ,입자가 움직일 수 있는 공간과 시간은 물리학적 해석에 큰 차이가 있다. 따라서 [[아리스토텔레스]]와 이후의 [[고전 물리학]]에서는 시간을 네 번째 차원이라고 생각하지 않는다.

물리학에서 처음으로 시간 차원을 제 4차원으로 본 이론은 [[특수상대성이론]]이다. [[특수상대성이론]]에서는 4차원 다양체인 [[민코프스키 공간]]을 우주의 수학적 구조로 본다. [[민코프스키 공간]]은 <math>\R^4</math>에 민코프스키 내적을 부여한 공간이다. [[민코프스키 공간]]은 기하학적으로 유클리드 공간과 다르며, 특수상대성이론의 물리 현상들을 설명하기에 적절하다.

==== 추가 차원 ====
물리학의 [[끈 이론]]이나 [[M-이론]] 등은 우리 우주가 익히 알려진 입자가 움직일 수 있는 3개의 차원 외에 아원자 규모의 추가 차원을 갖고 있어서, 실제의 시공간이 10차원이나 11차원일 것으로 예측하고 있다. 이는 현 시점에서 실험적으로 검증되지 않았다.

칼루자-클라인 이론에 따르면 공간은 3차원이 아니라 5차원이라고 한다. 그들은 중력과 전자기력을 5차원 이론으로 통합하려고 했다.

=== 컴퓨터 그래픽 ===

== 같이 보기 ==
* [[벡터 공간|선형 공간]]
* [[다양체]]
* [[상대성이론]]
* [[일반상대성이론]]

== 각주 ==
<references/>

== 외부 링크 ==
* [https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3567144&cid=58941&categoryId=58960 네이버 캐스트:세상은 몇차원인가?]
* [https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3566872&cid=58944&categoryId=58970 네이버 캐스트:4차원의 세계]
{{차원}}
{{전거 통제}}

[[분류:차원| ]]
[[분류:수학 개념]]
[[분류:추상대수학]]
[[분류:기하적 측정]]
[[분류:물리학 개념]]