차분한 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''차분한 공간'''(-空間, {{llang|en|sober space}})은 모든 점들이 [[열린집합]]의 [[격자 (순서론)|격자]]로부터 결정되는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 공간을 '''차분한 공간'''이라고 한다.
* 모든 [[기약 공간|기약]] [[닫힌집합]]이 정확히 하나의 [[일반점]]을 갖는다.
* 점들은 그 [[열린집합]]들의 [[격자 (순서론)|격자]]로부터 재구성할 수 있다. 즉, <math>X</math>의 열린집합들의 [[완비 헤이팅 대수]] <math>\operatorname{Open}(X)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 두 [[집합]] 사이에 [[일대일 대응]]이 존재한다.
** <math>X</math>
** [[틀 사상]] <math>\operatorname{Open}(X)\to 2</math>들의 집합. 여기서 <math>2=\{0,1\}</math> (<math>0<1</math>)는 [[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math>의 열린집합들의 [[완비 헤이팅 대수]]이다.
* ('''호프만-미슬러브 정리''', {{llang|en|Hofmann–Mislove theorem}}) 다음 두 [[부분 순서 집합]] 사이에 순서 동형이 존재한다.<ref name="Gierz">{{서적 인용
|이름1=Gerhard
|성1=Gierz
|이름2=Karl
|성2=Hofmann
|이름3=Klaus
|성3=Keimel
|이름4=Jimmie
|성4=Lawson
|이름5=Michael
|성5=Mislove
|이름6=Dana S.
|성6=Scott
|저자링크6=데이나 스콧
|제목=Continuous lattices and domains
|언어=en
|총서=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications
|권=93
|출판사=Cambridge University Press
|위치=Cambridge
|날짜=2003
|isbn=978-0-521-80338-0
|doi=10.1017/CBO9780511542725
|mr=1975381
|zbl=1088.06001
}}</ref>{{rp|146}}<ref name="Keimel">{{저널 인용
|이름1=Klaus
|성1=Keimel
|이름2=Jan
|성2=Paseka
|제목=A direct proof of the Hofmann-Mislove theorem
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=120
|호=1
|쪽=301–303
|날짜=1994
|issn=0002-9939
|doi=10.2307/2160199
|mr=1195723
|zbl=0789.54030
|jstor=2160199
}}</ref>{{rp|301}}
** <math>\operatorname{Open}(X)</math>의 [[스콧 열린집합|스콧 열린]] [[필터 (수학)|필터]]들의 [[부분 순서 집합]]
** <math>X</math>의 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[포화 집합]]의 [[부분 순서 집합]]의 반대 순서 집합.
{{증명|제목=호프만-미슬러브 정리의 증명}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 모든 [[기약 공간|기약]] [[닫힌집합]]이 정확히 하나의 [[일반점]]을 갖는다고 하자. 호프만-미슬러브 조건을 보이려면, 다음 네 명제를 보이면 족하다.
* 임의의 [[스콧 열린집합|스콧 열린]] [[필터 (수학)|필터]] <math>\mathcal F\subseteq\operatorname{Open}(X)</math>에 대하여, <math>\textstyle\bigcap\mathcal F</math>는 <math>X</math>의 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[포화 집합]]이다.
* 임의의 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[포화 집합]] <math>K\subseteq X</math>에 대하여, 그 [[열린 근방]] [[필터 (수학)|필터]] <math>\mathcal U(K)</math>는 <math>\operatorname{Open}(X)</math>의 [[스콧 열린집합|스콧 열린]] [[필터 (수학)|필터]]이다.
* 임의의 [[스콧 열린집합|스콧 열린]] [[필터 (수학)|필터]] <math>\mathcal F\subseteq\operatorname{Open}(X)</math>에 대하여, <math>\textstyle\mathcal U\left(\bigcap\mathcal F\right)=\mathcal F</math>
* 임의의 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[포화 집합]] <math>K\subseteq X</math>에 대하여, <math>\textstyle\bigcap\mathcal U(K)=K</math>

세 번째 명제의 증명. 자명하게 <math>\textstyle\mathcal F\subseteq\mathcal U\left(\bigcap\mathcal F\right)</math>이다. 이제, <math>U</math>가 [[열린집합]]이며, <math>\textstyle\bigcap\mathcal F\subseteq U</math>라고 하자. [[귀류법]]을 사용하여, <math>U\not\in\mathcal F</math>라고 하자. <math>\mathcal F</math>가 [[스콧 열린집합]]이므로, 이러한 <math>U</math>들의 임의의 [[사슬 (순서론)|사슬]]이 [[상계 (수학)|상계]]를 가짐을 보일 수 있다. [[초른 보조정리]]에 따라, <math>U</math>가 <math>\textstyle\bigcap\mathcal F\subseteq U</math>이지만 <math>U\not\in\mathcal F</math>인 [[극대 원소|극대]] [[열린집합]]이라고 가정하자. 그렇다면, 극대성에 따라 <math>X\setminus U</math>는 <math>X</math>의 [[기약 공간|기약]] [[닫힌집합]]이다. <math>X\setminus U=\operatorname{cl}\{x\}</math>인 유일한 <math>x\in X</math>를 취하자. 그렇다면, 임의의 <math>V\in\mathcal F</math>에 대하여, <math>V\not\subseteq U</math>이므로, <math>x\in V</math>이다. 따라서, <math>\textstyle x\in\bigcap\mathcal F\subseteq U</math>이며, 이는 모순이다.

첫 번째 명제의 증명. <math>\textstyle\bigcap\mathcal F</math>는 자명하게 [[포화 집합]]이다. 이제, <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>가 <math>\textstyle\bigcap\mathcal F</math>의 임의의 [[열린 덮개]]라고 하자. 즉, <math>\textstyle\bigcap\mathcal F\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i</math>이다. 세 번째 명제에 따라, <math>\textstyle\bigcup_{i\in I}U_i\in\mathcal F</math>이다. <math>\mathcal F</math>가 <math>\operatorname{Open}(X)</math>의 [[스콧 열린집합]]이며, 유한 개의 덮개 원소의 합집합들의 집합이 <math>\operatorname{Open}(X)</math>의 [[상향 집합]]이므로, <math>\textstyle U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup\dotsb\cup U_{i_n}\in\mathcal F</math>인 유한 개의 덮개 원소 <math>i_1,i_2,\dots,i_n\in I</math>가 존재한다. 따라서, <math>\textstyle\bigcap F\subseteq U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup\dotsb\cup U_{i_n}</math>이다. 즉, <math>\{U_{i_1},U_{i_2},\dots,U_{i_n}\}</math>은 <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>의 유한 부분 덮개이다.

두 번째 명제의 증명. <math>\mathcal U(K)</math>는 자명하게 <math>\operatorname{Open}(X)</math>의 [[필터 (수학)|필터]]를 이룬다. 이제, <math>\mathcal D</math>가 <math>\operatorname{Open}(X)</math>의 [[상향 집합]]이며, <math>\textstyle\bigcup\mathcal D</math>가 <math>K</math>의 [[열린 근방]]이라고 하자. <math>\mathcal D\cap\mathcal U(K)\ne\varnothing</math>을 보이면 족하다. <math>\mathcal D</math>는 <math>K</math>의 [[열린 덮개]]이므로, 유한 부분 덮개 <math>\mathcal D'\subseteq\mathcal D</math>가 존재한다. <math>\mathcal D</math>가 [[상향 집합]]이므로, <math>\mathcal D'</math>의 [[상계 (수학)|상계]] <math>U\in\mathcal D</math>가 존재한다. 이 경우 <math>\textstyle K\subseteq\bigcup\mathcal D'\subseteq U</math>이며, 따라서 <math>U\in\mathcal D\cap\mathcal U(K)</math>이다.

네 번째 명제의 증명. 자명하게 <math>\textstyle K\subseteq\bigcap\mathcal U(K)</math>이다. <math>\textstyle K=\bigcap S</math>인, [[열린집합]]들의 집합 <math>\mathcal S</math>를 취하자. 그렇다면, <math>\mathcal S\subseteq\mathcal U(K)</math>이므로, <math>\textstyle\bigcap\mathcal U(K)\subseteq\bigcap\mathcal S=K</math>이다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[콜모고로프 공간]](T<sub>0</sub>)  ⊋ 차분한 공간 ∪ [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] ⊋ 차분한 공간 ∩ [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] ⊋ [[하우스도르프 공간]](T<sub>2</sub>)
그러나 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이 아닌 차분한 공간이 존재하며, 반대로 차분하지 않는 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]도 존재한다.

[[가환환]]의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]은 항상 차분한 공간이다. 또한, 모든 [[스킴 (수학)|스킴]]은 차분한 공간이다. (그러나 이는 대개 [[하우스도르프 공간]]이 아니다.)

차분한 공간과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Sober}</math>는 모든 위상 공간의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>의 [[반사 부분 범주]]이다. 즉, 포함 함자
:<math>I\colon\operatorname{Sober}\to\operatorname{Top}</math>
는 [[왼쪽 수반 함자]]를 갖는다.
:<math>S\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Sober}</math>
:<math>S\dashv I</math>
위상 공간 <math>X</math>에 대하여, <math>S(X)</math>를 <math>X</math>의 '''차분화'''({{llang|en|soberification}})라고 한다.

=== 장소와의 관계 ===
{{본문|장소 (수학)}}
차분한 공간의 범주는 [[장소 (수학)|장소]]의 범주 <math>\operatorname{Loc}</math>의 어떤 [[쌍대 반사 부분 범주]]와 [[범주의 동치|동치]]이다. (구체적으로, 이는 점을 충분히 가지는 장소들의 범주 <math>\operatorname{ptLoc}</math>이다.) 이에 따라, 수반 함자의 쌍
:<math>\operatorname{Top}{\to\atop\hookleftarrow}\operatorname{Sober}\simeq\operatorname{ptLoc}{\hookrightarrow\atop\leftarrow}\operatorname{Loc}</math>
이 존재하며, 이를 합성하면 수반 함자 <math>\operatorname{Top}\rightleftarrows\operatorname{Loc}</math>를 얻는다. 즉, 차분한 공간은 [[장소 (수학)|장소]]로서 그 구조가 충실하게 나타내어지는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 예 ==
=== T<sub>1</sub> 공간이 아닌 차분한 공간 ===
[[극대 아이디얼]]이 아닌 [[소 아이디얼]]을 갖는 [[가환환]] <math>R</math>의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}R</math>는 차분한 공간이지만, 소 아이디얼이 닫힌 점이 아니므로 T<sub>1</sub> 공간이 아니다. 이러한 가장 간단한 경우는 [[시에르핀스키 공간]]이다.

=== 차분하지 않은 T<sub>1</sub> 공간 ===
다음과 같은 [[단사 함수]]를 생각하자.
:<math>\mathbb R^2\to\mathbb A_{\mathbb R}^2=\operatorname{Spec}\mathbb R[x,y]</math>
:<math>(a,b)\mapsto\left((x-a)(x-b)\right)\subset\mathbb R[x,y]</math>
그렇다면, 이 단사 함수의 [[상 (수학)|상]]에, [[아핀 스킴]] <math>\mathbb A_{\mathbb R}^2</math>의 (자리스키 위상의) 부분 공간 위상을 주자. 그렇다면 이는 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이지만, 차분한 공간이 아니다. 이 공간의 차분화는 <math>\mathbb A_{\mathbb R}^2</math> 전체이다.

다른 예로, 임의의 [[무한 집합]] 위에 쌍대 유한 위상([[닫힌집합]]이 [[유한 집합]]인 위상)을 주자. 이는 T<sub>1</sub>이지만 차분한 공간이 아니다. (공간 전체는 [[닫힌집합]]이자 [[기약 공간]]이지만, 이는 [[일반점]]을 갖지 않는다.)

=== 하우스도르프 공간이 아닌 차분한 T<sub>1</sub> 공간 ===
실수선 <math>\mathbb R</math>에 새로운 점 <math>\bullet</math>을 추가하고, 여기에 다음과 같은 위상을 주자.
* <math>\mathbb R</math>의 위상에서 열린집합 <math>U</math>는 <math>\mathbb R\sqcup\{\bullet\}</math>에서도 열린집합이다.
* <math>S\subset\mathbb R</math>가 [[유한 집합]]이라면, <math>(\mathbb R\setminus S)\sqcup\{\bullet\}</math>은 열린집합이다.
그렇다면 <math>\mathbb R\sqcup\{\bullet\}</math>은 T<sub>1</sub> 공간이며 차분한 공간이지만 [[하우스도르프 공간]]이 아니다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Sober space}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/sober+topological+space|제목=Sober topological space|웹사이트=nLab|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상 공간의 성질]]