짜임새 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[물리학]]과 [[수학]]에서 '''짜임새 공간'''(-空間, {{lang|en|configuration space}}) 또는 '''배위 공간'''(配位空間)은 [[계 (물리학)|계]]의 [[일반화 좌표]]가 가질 수 있는 모든 값들로 이루어진 [[매끄러운 다양체]]다. 다시 말해, 계의 구속 조건을 만족시키는 모든 가능한 위치로 이루어진 공간이다. 그 차원은 계의 [[자유도]]의 수와 같다. [[라그랑주 역학]]은 짜임새 공간 위에서 정의된다. (반면, [[해밀턴 역학]]은 [[일반화 좌표]] 뿐만 아니라 [[일반화 속도]]도 포함하는 공간인 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]] 위에서 정의된다.)

예를 들어, 구속받지 않는 하나의 입자의 짜임새 공간은 <math>\mathbb R^3</math>이고, 구속받지 않는 <math>n</math>개의 입자들의 짜임새 공간은 <math>\mathbb R^{3n}</math>이다. 반면 어떤 곡선이나 곡면 <math>M</math>에 구속된 하나의 입자의 짜임새 공간은 <math>M</math>이며, <math>M</math>에 구속된 <math>n</math>개의 입자들의 짜임새 공간은 <math>M^n</math>이다. 한 입자는 <math>M</math>에 구속되었지만, 다른 입자는 구속되지 않으면 그 짜임새 공간은 <math>M\times\mathbb R^3</math>이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 <math>n</math>개의 점들의 '''짜임새 공간''' <math>\operatorname{Conf}^nX</math>은 집합으로서 <math>X</math> 속의, <math>n</math>개 이하의 원소들을 갖는 [[부분 집합]]들의 집합이다.

이는 다음과 같은 [[몫공간]]으로 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname{Conf}^nX=X^n/\operatorname{Sym}(n)</math>
여기서 <math>\operatorname{Sym}(n)</math>은 <math>n</math>개의 원소 위의 [[대칭군 (군론)|대칭군]]이며, [[몫공간]]은 <math>\operatorname{Sym}(n)</math>의 <math>X^n</math> 위의 표준적인 [[군의 작용|작용]] (각 성분들의 [[순열]])에 대한 몫공간이다. 만약 <math>X</math>가 [[다양체]]라면, 그 위의 짜임새 공간은 [[오비폴드]]를 이룬다.

짜임새 공간 속에서, 좌표가 중복되지 않는 부분 공간
:<math>\operatorname{Conf_{nonsing}}^nX=\{(x_1,\dots,x_n)\in X^n\colon \forall i\ne j\colon x_i\ne x_j\}/\operatorname{Sym}(n)\subseteq\operatorname{Conf}^nX</math>
을 '''비특이 짜임새 공간'''({{llang|en|nonsingular configuration space}})이라고 한다. 만약 <math>X</math>가 다양체라면 비특이 짜임새 공간 역시 다양체이다. (이름과 달리, 짜임새 공간 자체가 특이점을 갖지 않을 수 있다. 예를 들어, 평면이나 구 위의 짜임새 공간은 특이점을 갖지 않는다.)

[[점을 가진 공간]] <math>(X,\bullet)</math>의 거듭 [[곱공간]]에 대하여, 표준적인 포함 사상들의 열
:<math>X^0\cong \{\bullet\}\subseteq X\cong X\times\{\bullet\}\subseteq X^2\cong X^2\times\{\bullet\}\subseteq X^3\cong X^3\times\{\bullet\}\subseteq\cdots</math>
이 존재한다. 이에 따라 짜임새 공간들의 포함 사상
:<math>\operatorname{Conf}^0X\hookrightarrow \operatorname{Conf}^1X\hookrightarrow\operatorname{Conf}^2X\hookrightarrow\operatorname{Conf}^3X\hookrightarrow\cdots</math>
이 존재한다. 이들의 [[귀납적 극한]]을 '''무한 짜임새 공간'''({{llang|en|infinite configuration space}})
:<math>\operatorname{Conf}^\infty X=\varinjlim_{n\to\infty}\operatorname{Conf}^nX</math>
이라고 한다.

== 성질 ==
'''돌트-톰 정리'''({{llang|en|Dold–Thom theorem}})에 따르면, [[점을 가진 공간|점을 가진]] [[연결 공간|연결]] [[CW 복합체]] <math>X</math>의 무한 짜임새 공간 <math>\operatorname{Conf}^\infty X</math>의 <math>i</math>차 [[호모토피 군]] <math>\pi_i(\operatorname{Conf}^\infty X)</math>은 <math>X</math>의 <math>i</math>번째 [[축소 호몰로지|축소]] [[특이 호몰로지]] <math>\operatorname{\tilde H}_i(X;\mathbb Z)</math>와 동형이다.
:<math>\pi_i(\operatorname{Conf}^\infty X)\cong \operatorname{\tilde H}_i(X;\mathbb Z)</math>
특히, 무한 짜임새 공간의 [[기본군]]은 항상 [[아벨 군]]이다.

== 예 ==
<math>\operatorname{Conf}^0X</math>는 항상 [[한원소 공간]]이다. <math>\operatorname{Conf}^1X</math>는 <math>X</math>와 같다.

=== 전순서 집합 위의 짜임새 공간 ===
[[파일:Standardsimplex.svg|섬네일|오른쪽|3차원 [[단체 (수학)|단체]] <math>\triangle^3</math>. 이는 [[닫힌구간]] <math>[0,1]</math> 위의 3차 짜임새 공간 <math>\operatorname{Conf}^3[0,1]</math>이다.]]
[[전순서 집합]] <math>(L,\le)</math> 위에 [[순서 위상]]을 주자. 그렇다면, <math>L</math> 위의 <math>n</math>차 짜임새 공간 <math>\operatorname{Conf}^nL</math>은 [[곱공간]] <math>L^n</math>의 [[부분 공간]]
:<math>\{(a_1,a_2,\dots,a_n)\in L^n\colon a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\}\subseteq L^n</math>
으로 여길 수 있다.

예를 들어, [[닫힌구간]] <math>[0,1]</math> 위의 <math>n</math>차 짜임새 공간은 <math>n</math>차원 [[단체 (수학)|단체]]
:<math>\triangle^n=\{(t_1,t_2,\dots,t_n)\in[0,1]^n\colon t_1\le t_2\le\cdots\le t_n\}</math>
이며, [[반직선]] <math>\mathbb R_{\ge0}</math> 위의 <math>n+1</math>차 짜임새 공간은 <math>n</math>차원 [[단체 (수학)|단체]] 위의 무한 뿔
:<math>\operatorname{Conf}^{n+1}\mathbb R_{\ge0}\cong\frac{\triangle^n\times\mathbb R_{\ge0}}{\triangle^n\times\{0\}}
=\{(tr_1,tr_2,\dots,tr_n,t)\colon (r_1,\dots,r_n)\in\triangle^n,t\in\mathbb R^+\}\sqcup\{(0,0,\dots,0)\}</math>
이다.

=== 평면 위의 짜임새 공간 ===
[[유클리드 평면]] <math>\mathbb R^2</math> 위의 <math>n</math>개 입자의 짜임새 공간 <math>\operatorname{Conf}^n\mathbb R^2</math>를 생각해 보자.

[[유클리드 평면]]을 [[복소평면]] <math>\mathbb C</math>로 생각하자. [[대수학의 기본 정리]]에 따라, 복소수 계수 <math>n</math>차 [[다항식]]
:<math>p(z)=c_0+c_1z+c_2z^2+\cdots+z^n</math>
은 <math>n</math>개의 (중복될 수 있는) 근을 갖는다. 반대로, <math>n</math>개의 복소수들의 [[중복집합]] <math>(z_1,z_2,\dots,z_n)</math>이 주어진다면, 이들을 근으로 하는 다항식
:<math>p(z)=(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n)</math>
을 재구성할 수 있다. 따라서, <math>\operatorname{Conf}^n\mathbb C</math>는 <math>n</math>차 복소수 [[일계수 다항식]]들의 [[모듈라이 공간]]
:<math>\mathbb C^n</math>
과 [[위상 동형]]이다. 특히 이는 [[매끄러운 다양체]]로 나타낼 수 있다.
:<math>\operatorname{Conf}^n\mathbb R^2\cong\mathbb R^{2n}</math>

짜임새 공간과 달리, 평면 위의 비특이 짜임새 공간
:<math>\operatorname{Conf_{nonsing}}^n\mathbb R^2\subseteq\mathbb R^{2n}</math>
은 <math>n\ge 2</math>일 경우 [[축약 가능 공간]]이 아니며, 그 [[기본군]]을 '''[[꼬임군 (위상수학)|꼬임군]]'''
:<math>\pi_1(\operatorname{Conf_{nonsing}}^n\mathbb R^2)=\operatorname{Braid}(n)</math>
이라고 한다.

=== 구 위의 짜임새 공간 ===
[[구 (기하학)|구]] <math>\mathbb S^2</math> 위의 <math>n</math>개의 입자의 짜임새 공간 <math>\operatorname{Conf}^n\mathbb S^2</math>를 생각하자. [[구 (기하학)|구]]를 [[리만 구]] <math>\mathbb{CP}^1=\mathbb C\sqcup\{\widehat\infty\}</math>로 여길 수 있다.

[[복소수 사영 공간]] 속의 임의의 점 <math>[c_0:c_1:\cdots:c_n]\in \mathbb{CP}^n</math>에 대하여, 다항식
:<math>p(z)=c_0+c_1z+\cdots+c_nz^n</math>
을 정의하자.
* 만약 <math>c_n\ne0</math>이라면 이는 <math>n</math>개의 (유한한) 근들을 가진다.
* 만약 <math>c_n=0</math>이지만 <math>c_{n-1}\ne0</math>이라면 이는 <math>n-1</math>개의 유한한 근들을 가진다. 이 경우, <math>\widehat\infty\in\mathbb{CP}^1</math>를 무한한 "근"으로 정의하여, <math>n</math>개의 (유한하거나 무한한) 근들을 가지게 할 수 있다.
* 일반적으로, 임의의 <math>k\in\{0,1,2,3,\dots,n\}</math>에 대하여 <math>0=c_{k+1}=c_{k+2}=\cdots</math>이지만 <math>c_k\ne0</math>이라면, 이는 <math>k</math>개의 유한한 근들과 <math>n-k</math>개의 무한한 근들을 가진다.
반대로, <math>a_1/b_1,\dots,a_n/b_n\in\mathbb C\sqcup\{\infty\}=\mathbb{CP}^1</math>이 주어졌을 때
:<math>p(z)=(b_1z-a_1)(b_2z-a_2)\cdots(b_nz-a_n)</math>
은 이들을 (유한하거나 무한한) 근으로 하는 다항식을 이룬다. 따라서, 초구 위의 짜임새 공간은 [[복소수 사영 공간]]
:<math>\operatorname{Conf}^n\mathbb S^2\cong\mathbb{CP}^n</math>
이다.

돌트-톰 정리에 따라, 초구 위의 무한 짜임새 공간은 [[무한 순환군]]의 [[에일렌베르크-매클레인 공간]]을 이룬다.
:<math>\operatorname{Conf}^\infty\mathbb S^n\simeq K(\mathbb Z,n)</math>
특히, <math>K(\mathbb Z,2)</math>는 무한 차원 [[복소수 사영 공간]]이다.
:<math>\mathbb{CP}^\infty\cong \operatorname{Conf}^\infty\mathbb S^2\simeq K(\mathbb Z,2)</math>

=== 원 위의 짜임새 공간 ===
원 위의 <math>n</math>차 짜임새 공간
:<math>\operatorname{Conf}^n(\mathbb S^1)</math>
은 <math>(n-1)</math>차원 [[단체 (수학)|단체]]의 기둥에서, 윗면과 아랫면을 뒤틀림을 가해 붙이는 [[오비폴드]]이다.<ref>{{저널 인용|성=Tymoczko|이름=Dmitri|날짜=2006-07-07|제목=The Geometry of Musical Chords|저널=Science|권=313|호=5783|쪽=72–74|pmid=16825563|doi=10.1126/science.1126287|url=http://www.brainmusic.org/EducationalActivitiesFolder/Tymoczko_chords2006.pdf|언어=en}}</ref> 즉, 단체
:<math>\triangle^{n-1} = \left\{(t_1,\dots,t_n)\in[0,1]^n \colon \sum_{i=1}^nt_i = 1 \right\}</math>
의 자기 동형
:<math>\sigma \colon \triangle^{n-1}\to\triangle^{n-1}</math>
:<math>\sigma \colon (t_1,\dotsc,t_n) \mapsto (t_2,t_3,\dotsc,t_n,t_1)</math>
을 생각하면,
:<math>\operatorname{Conf}^n(\mathbb S^1) = \frac{\triangle^{n-1}\times[0,1]}{\triangle^{n-1}\times\{0\} \sim_\sigma\triangle^{n-1}\times\{1\}}</math>
이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
원
:<math>\mathbb S^1=\mathbb R/\mathbb Z</math>
에 임의의 [[방향 (다양체)|방향]]을 주자. 이제, <math>n</math>개의 점 가운데 임의의 한 점 <math>x_0\in\mathbb S^1</math>을 고르고, 나머지 점들을 반시계 방향으로
:<math>x_0,x_1,\dotsc,x_n=x_0\in\mathbb S^1</math>
이라고 부르자. 이제, 서로 이웃하는 점 사이의 거리
:<math>t_i=x_i-t_{i-1}\in[0,1]</math>
를 생각하자. 그렇다면,
:<math>\sum_{i=1}^nt_i=1</math>
이므로, 이들은 <math>(n-1)</math>차원 [[단체 (수학)|단체]]의 좌표를 이룬다.

그렇다면, <math>\mathbb S^1</math> 위의 <math>n</math>개의 점들의 배열은 <math>n-1</math>차원 단체의 한 점 <math>t\in\triangle^{n-1}</math> 및
<math>x_0\in\mathbb S^1</math>의 위치로 나타내어지므로,
:<math>\triangle^{n-1}\times\mathbb S^1</math>
의 특정한 [[몫공간]]이다. 여기서 취하는 몫은 <math>x_0</math>의 선택을 바꾸는 것에 대한 것이며, 이는 점들의 번호를 순환적으로 1만큼 변하게 된다. </div></div>

예를 들어, 원 <math>\mathbb S^1</math> 위의 2차 짜임새 공간
:<math>\operatorname{Conf}^2(\mathbb S^1)</math>
은 [[뫼비우스 띠]]이다. 구체적으로, [[뫼비우스 띠]]의 (유일한) 경계는 두 점이 일치하는 부분 공간이다.

마찬가지로, 원 위의 3차 짜임새 공간
:<math>\operatorname{Conf}^3(\mathbb S^1)</math>
은 [[정삼각형]] 기둥에서, 윗면과 아랫면을 60도 뒤틀어 붙여 얻는 [[오비폴드]]이다. 이는 (원과 동형인) 하나의 1차원 경계 및 ([[뫼비우스 띠]]와 동형인) 하나의 2차원 경계를 갖는데, 이는 각각 3개의 점이 일치하는 부분 공간과 2개의 점이 일치하는 부분 공간에 해당한다.

== 역사 ==
돌트-톰 정리는 [[알브레히트 돌트]]와 [[르네 톰]]이 1958년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Albrecht|성=Dold|저자링크=알브레히트 돌트|이름2=René|성2=Thom|저자링크2=르네 톰|제목=Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte|저널=Annals of Mathematics|권=67|호=2|날짜=1958-03|쪽=239–281|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/doldthom.pdf|jstor=1970005|doi=10.2307/1970005 |issn=0003-486X|zbl=0091.37102|언어=de}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[라그랑주 역학]]
* [[위상 공간 (물리학)]]
* [[힐베르트 스킴]]
* [[저우 다양체]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Geometry and topology of configuration spaces|성= Fadell|이름=Edward R.|성2=Husseini|이름2=Sufian Y. |doi=10.1007/978-3-642-56446-8|isbn=978-3-540-66669-1|출판사=Springer|총서=Springer Monographs in Mathematics|issn=1439-7382|날짜=2001|zbl=0962.55001|언어=en}}
* {{서적 인용|성=Hansen|이름=Vagn Lundsgaard|제목=Braids and coverings: selected topics |총서=London Mathematical Society Student Texts|권=18|출판사=Cambridge University Press|날짜=1989|isbn=978-052138479-7|mr=1247697|doi=10.1017/CBO9780511613098|zbl=0692.57001|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Configuration Spaces: Geometry, Combinatorics and Topology|편집자=Anders Björner, Fred Cohen, Corrado De Concini, Claudio Procesi, Mario Salvetti|doi=10.1007/978-88-7642-431-1|출판사=Springer|총서=CRM Series
|권=14|날짜=2012|zbl=1253.00010|언어=en}}
* {{저널 인용|url=https://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2011/Nov11/TechPaperWesterland.pdf|제목=Configuration spaces in topology and geometry|이름=Craig|성=Westerland|쪽=279–283|저널=Gazette of the Australian Mathematical Society|날짜=2011-11|권=38|호=5|zbl= 1257.55013|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=configuration space|title=Configuration space}}
* {{nlab|id=Dold-Thom theorem}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/106779/beginning-reference-for-configuration-spaces|제목=Beginning reference for configuration spaces|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/182823/why-the-dold-thom-theorem|제목=Why the Dold-Thom theorem?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:고전역학]]
[[분류:다양체]]
[[분류:위상수학]]
[[분류:대수적 위상수학]]