집합-부분합 정리 문서 원본 보기

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= 집합-부분합 정리 =
집합-부분합 정리(Set-Partial Sum Theorem)이란 [[실수]] 전체의 [[부분집합]]에 대하여, 해당 집합과 그 부분집합의 관계에 관한 정리이며, 아래와 같이 정의된다.

<blockquote>실수 전체의 원소가 <math>n</math>개인 부분집합 <math>X</math>에 대하여 <math>X</math>의 원소 중 오직 <math>r</math>개<math>(0\leq r\leq n)</math>의 원소만을 포함하는 모든 부분집합의 원소의 합을 <math>S</math>라 할 때, <math>X</math>의 모든 원소의 합 <math>S_x</math>에 대하여 <math>S=S_x\times {r\times nCr \over n}</math>이 성립한다.<ref>{{저널 인용|제목=Theorem About the Sum of a Set’s Component and that of Its All Subsets|저널=Figshare|성=Lee|이름=Shawn|url=https://figshare.com/articles/thesis/Theorem_About_the_Sum_of_a_Set_s_Component_and_that_of_Its_All_Subsets/20406999|날짜=2022-07-31}}</ref></blockquote>

== 증명 ==

# <math>n</math>개의 원소를 가진 실수 전체의 부분집합 <math>X</math>에 대하여 <math>X</math>의 원소 중 오직 <math>r(0\leq r\leq n)</math>개의 원소만을 포함하는 <math>X</math>의 부분집합의 개수는 <math>nCr</math>개이다.
# <math>r</math>개의 원소를 가진 모든 부분집합에 대하여 집합 <math>X</math>의 원소들은 모두 <math>r\times nCr</math>개 존재한다.
# <math>X</math>의 원소가 <math>n</math>개이므로 각각의 <math>X</math>의 원소에 대하여 원소의 개수가 <math>r</math>개인 모든 부분집합에서 각각의 <math>X</math>의 원소들은 <math>{r\times nCr \over n}</math> 개 존재한다.
# 3에 의해서, 집합 <math>X</math>의 모든 원소의 합을 <math>S_x</math>라 하고, 원소의 개수가 <math>r</math>개인 모든 부분집합의 합을 <math>S</math>라 하면, <math>S=S_x\times {r\times nCr \over n}</math>이 성립한다.

== 각주 ==
<references />



[[분류:집합론]]