집합족 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''집합족'''(集合族, {{llang|en|family of sets}})은 [[집합]]들을 원소로 하여 구성된 [[집합]]이다.

== 정의 ==
집합 <math>X</math> 속의 '''집합족'''은 <math>X</math>의 (일부 또는 전체) [[부분 집합]]들로 이루어진 집합을 뜻한다. 즉, 집합 <math>X</math> 속의 집합족은 <math>X</math>의 [[멱집합]] <math>\mathcal P(X)</math>의 [[부분 집합]] <math>\mathcal F\subseteq\mathcal P(X)</math>을 뜻한다.

== 종류 ==
집합 <math>X</math> 속의 집합족 <math>\mathcal F\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.
* '''집합 반환'''(集合半環, {{llang|en|semiring of sets}}): <math>\varnothing\in\mathcal F</math>이며, 유한 [[교집합]]에 대하여 닫혀 있으며, 임의의 <math>A,B\in\mathcal F</math>에 대하여, <math>A\setminus B=C_1\cup\cdots\cup C_n</math>인 유한 개의 [[서로소 집합]] <math>C_1,\dots,C_n\in\mathcal F</math>가 존재한다.<ref name="Billingsley">{{서적 인용
|성=Billingsley
|이름=Patrick
|제목=Probability and Measure
|url=https://archive.org/details/probabilitymeasu0000bill
|언어=en
|판=3
|총서=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics
|출판사=Wiley-Interscience
|위치=New York, N.Y.
|날짜=1995
|isbn=978-0-471-00710-4
}}</ref>{{rp|166, §11}}
* '''집합환'''(集合環, {{llang|en|ring of sets}}): <math>\varnothing\in\mathcal F</math>이며, 유한 [[합집합]], 유한 [[교집합]], [[차집합]]에 대하여 닫혀 있다.
* '''σ환'''(-環, {{llang|en|σ-ring}}): <math>\mathcal F</math>는 집합환이며, 가산 [[합집합]]에 대하여 닫혀 있다.
* '''δ환'''(-環, {{llang|en|δ-ring}}): <math>\mathcal F</math>는 집합환이며, 가산 [[교집합]]에 대하여 닫혀 있다.
* '''집합 반대수'''(集合半代數, {{llang|en|semialgebra of sets}}): <math>\mathcal F</math>는 집합 반환이며, <math>X\in\mathcal F</math>이다.
* '''집합 대수'''(集合代數, {{llang|en|algebra of sets}}) 또는 '''집합체'''(集合體, {{llang|en|field of sets}}): <math>\mathcal F</math>는 집합환이며, <math>X\in\mathcal F</math>이다. 즉, <math>\mathcal F</math>는 <math>\mathcal P(X)</math>의 [[부분 불 대수]]를 이룬다.
* '''[[시그마 대수]]'''(σ代數, {{llang|en|σ-algebra}}): <math>\mathcal F</math>는 σ환이자 δ환이며, <math>X\in\mathcal F</math>이다.
* '''π계'''(-系, {{llang|en|π-system}}): <math>\mathcal F</math>는 유한 [[교집합]]에 대하여 닫혀 있다.
* '''λ계'''(-系, {{llang|en|λ-system}}): <math>X\in\mathcal F</math>이며, [[여집합]]에 대하여 닫혀 있으며, 가산 개의 [[서로소 집합]]들의 [[합집합]]에 대하여 닫혀 있다. 이와 동치로, <math>X\in\mathcal F</math>이며, 만약 <math>A,B\in\mathcal F</math>이며 <math>A\subseteq B</math>라면 <math>B\setminus A\in\mathcal F</math>이며, 만약 <math>A_1,A_2,\dots\in\mathcal F</math>이며 <math>A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots</math>라면 <math>\textstyle\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal F</math>이다.
* '''단조류'''(單調類, {{llang|en|monotone class}}): 만약 <math>A_1,A_2,\dots\in\mathcal F</math>이며 <math>A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots</math>라면 <math>\textstyle\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal F</math>이며, 만약 <math>A_1,A_2,\dots\in\mathcal F</math>이며 <math>A_1\supseteq A_2\supseteq\cdots</math>라면 <math>\textstyle\bigcap_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal F</math>이다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
| π계 || ⇐ ||  집합 반환  || ⇐ ||  집합환   || ⇐ || σ환 또는 δ환
|-
|      ||    ||             ||    ||           ||    ||       ⇑
|-
|      ||    ||      ⇑      ||    ||     ⇑     ||    ||  σ환 + δ환 || ⇒ || 단조류
|-
|      ||    ||             ||    ||           ||    ||       ⇑      ||    ||   ⇑
|-
|      ||    || 집합 반대수 || ⇐ || 집합 대수 || ⇐ ||   시그마 대수 || ⇒ ||  λ계
|}

또한, 집합족에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* [[시그마 대수]]이다.
* 집합 대수이자 σ환이다.
* 집합 대수이자 δ환이다.
* π계이자 λ계이다.
* 집합 대수이자 단조류이다.

=== 집합족으로 생성된 집합환 ===
임의의 유한 또는 무한 개의 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류의 [[교집합]]은 각각 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류이다. 따라서, 임의의 집합 <math>X</math> 속의 집합족 <math>\mathcal F\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, <math>\mathcal F</math>를 포함하는 최소의 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류가 존재하며, 이는 각각 <math>\mathcal F</math>를 포함하는 모든 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류의 [[교집합]]과 같다. 이를 각각 <math>\mathcal F</math>로 생성된 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류라고 한다.

집합 <math>X</math> 속의 집합족 <math>\mathcal F\subseteq\mathcal P(X)</math>으로 생성된 집합 대수는
:<math>a(\mathcal F)=\left\{\bigcup_{i=1}^m\bigcap_{j=1}^nA_{ij}\colon m,n\in\mathbb N,\;A_{ij}\in\mathcal F\cup\{\varnothing\}\cup(X\setminus(\mathcal F\cup\{\varnothing\})\right\}</math>
이다.

반면, <math>\mathcal F</math>로 생성된 시그마 대수 <math>\sigma(\mathcal F)</math>는 명시적으로 나타낼 수 없다.

집합 <math>X</math> 속의 집합 반환 <math>\mathcal S\subseteq\mathcal P(X)</math>으로 생성된 집합환 <math>r(\mathcal S)</math>은 <math>\mathcal S</math> 속 유한 개의 [[서로소 집합]]들의 [[합집합]]으로 구성된다. 만약 <math>\mathcal S</math>가 집합 반대수라면, <math>r(\mathcal S)</math>는 집합 대수이다.<ref name="Athreya">{{서적 인용
|성1=Athreya
|이름1=Krishna B.
|성2=Lahiri
|이름2=Soumendra N.
|제목=Measure Theory and Probability Theory
|언어=en
|총서=Springer Texts in Statistics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2006
|isbn=978-0-387-32903-1
|issn=1431-875X
|doi=10.1007/978-0-387-35434-7
|zbl=1125.60001
}}</ref>{{rp|33, §1.5, Problem 1.19}}
:<math>r(\mathcal S)=\left\{\bigcup_{i=1}^nS_i\colon n\in\mathbb N,\;S_i\in\mathcal S,\;i=j\lor S_i\cap S_j=\varnothing\right\}</math>
{{증명}}
우선
:<math>\mathcal R=\left\{\bigcup\mathcal F\colon\mathcal F\subseteq\mathcal R_0,\;|\mathcal F|<\aleph_0\right\}</math>
라고 하고, <math>\mathcal R=r(\mathcal R_0)</math>임을 보이자. 자명하게 <math>\mathcal R\subseteq r(\mathcal R_0)</math>이므로, <math>\mathcal R</math>가 집합환을 이룸을 보이면 된다. 자명하게 <math>\mathcal R_0\subseteq\mathcal R</math>이며, 특히 <math>\varnothing\in\mathcal R</math>이다. 또한 <math>\mathcal R</math>는 유한 합집합에 대하여 닫혀 있다. 따라서 임의의 <math>A,B\in\mathcal R</math>에 대하여 <math>A\setminus B\in\mathcal R</math>임을 보이면 된다.
:<math>A=\bigcup\mathcal F</math>
:<math>B=\bigcup\mathcal G</math>
인 유한 서로소 집합 <math>\mathcal F,\mathcal G\subseteq\mathcal R_0</math>을 취하고, 임의의 <math>F\in\mathcal F</math> 및 <math>G\in\mathcal G</math>에 대하여
:<math>F\setminus G=\bigcup\mathcal H_{F,G}</math>
인 유한 서로소 집합 <math>\mathcal H_{F,G}\subseteq\mathcal R_0</math>을 취하자. 그렇다면
:<math>\begin{align}
A\setminus B
& = \bigcup_{F\in\mathcal F}\left(F\setminus\bigcup\mathcal G\right) \\
& = \bigcup_{F\in\mathcal F}\bigcap_{G\in\mathcal G}(F\setminus G) \\
& = \bigcup_{F\in\mathcal F}\bigcap_{G\in\mathcal G}\bigcup\mathcal H_{F,G} \\
& = \bigcup_{F\in\mathcal F}\bigcup_{H\in\prod_{G\in\mathcal G}\mathcal H_{F,G}}\bigcap_{G\in\mathcal G}H_G\\
\end{align}</math>
이다. 임의의
:<math>H=(H_G)_{G\in\mathcal G}\in\prod_{G\in\mathcal G}\mathcal H_{F,G}</math>
에 대하여,
:<math>\bigcap_{G\in\mathcal G}H_G\in\mathcal R_0</math>
이므로, <math>A\setminus B\in\mathcal R_0</math>이다.

이제, <math>r(\mathcal R_0)</math> 속 모든 원소 <math>A\in r(\mathcal R_0)</math>이 <math>\mathcal R_0</math> 속 서로소 원소의 유한 합집합임을 보이자.
:<math>A=\bigcup_{i=1}^nA_i</math>
인 유한 개의 서로소 원소 <math>A_1,\dots,A_n\in\mathcal R_0</math>을 취하고, 임의의 <math>i,j\in\{1,\dots,n\}</math>에 대하여
:<math>A_i\setminus A_j=\bigcup_{k=1}^{n_{ij}}B_{ijk}</math>
인 유한 개의 서로소 원소 <math>B_{ij1},\dots,B_{ijn_{ij}}\in\mathcal R_0</math>을 취하자. 그렇다면
:<math>\begin{align}
A
& = \bigsqcup_{i=1}^n\left(A_i\setminus\bigcup_{j=1}^{i-1}A_j\right) \\
& = \bigsqcup_{i=1}^n\bigcap_{j=1}^{i-1}(A_i\setminus A_j) \\
& = \bigsqcup_{i=1}^n\bigcap_{j=1}^{i-1}\bigsqcup_{k=1}^{n_{ij}}B_{ijk} \\
& = \bigsqcup_{i=1}^n\bigsqcup_{k_1=1}^{n_{i1}}\cdots\bigsqcup_{k_{i-1}=1}^{n_{i,i-1}}\bigcap_{j=1}^{i-1}B_{ijk_j}
\end{align}</math>
이며,
:<math>\left\{A_i\setminus\bigcup_{j=1}^{i-1}A_j\colon i\in\{1,\dots,n\}\right\}</math>
:<math>\left\{\bigcap_{j=1}^{i-1}B_{ijk_j}\colon
\forall j\in\{1,\dots,i-1\}\colon k_j\in\{1,\dots,n_{ij}\}
\right\}\qquad(i\in\{1,\dots,n\})</math>
는 모두 서로소 집합족이므로,
:<math>\left\{\bigcap_{j=1}^{i-1}B_{ijk_j}\colon
i\in\{1,\dots,n\},\;\forall j\in\{1,\dots,i-1\}\colon k_j\in\{1,\dots,n_{ij}\}
\right\}</math>
역시 서로소 집합족이다.
{{증명 끝}}

'''딘킨 π-λ 정리'''(-定理, {{llang|en|Dynkin π–λ theorem}})에 따르면, 임의의 π계 <math>\mathcal P</math> 및 λ계 <math>\mathcal L</math>에 대하여, 만약 <math>\mathcal P\subseteq\mathcal L</math>라면, <math>\sigma(\mathcal P)\subseteq\mathcal L</math>이다. '''단조류 정리'''(單調類定理, {{llang|en|monotone class theorem}})에 따르면, 임의의 집합 대수 <math>\mathcal A</math> 및 단조류 <math>\mathcal M</math>에 대하여, 만약 <math>\mathcal A\subseteq\mathcal M</math>이라면, <math>\sigma(\mathcal A)\subseteq\mathcal M</math>이다.

== 예 ==
집합 <math>\{\{2,\{3\}\},\{1\},\{5,6\}\}</math>은 모든 원소가 집합이므로 집합족이다. [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]과 같은 [[순수 집합론]]의 경우, [[논의 영역]] 속 모든 대상이 집합이므로, 집합족인 집합과 아닌 집합의 구분이 없다.

임의의 집합 <math>X</math>에 대하여, [[공집합]] <math>\varnothing</math>과 <math>X</math>의 [[멱집합]] <math>\mathcal P(X)</math>은 <math>X</math> 속의 집합족이다.

[[실수 구간]] <math>[0,1]\subseteq\mathbb R</math>의 [[부분 구간]]들의 집합족은 <math>[0,1]</math> 속의 집합 반대수를 이루며, 이는 집합 대수가 아니다.<ref name="Billingsley" />{{rp|166, §11}} [[실수선]] <math>\mathbb R</math> 속의 [[유계 집합]]들의 집합족은 <math>\mathbb R</math> 속의 δ환이지만, 집합 대수나 σ환이 아니다.<ref name="Bogachev">{{서적 인용
|성=Bogachev
|이름=Vladimir I.
|제목=Measure theory. Volume I
|출판사=Springer
|언어=en
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2007
|isbn=978-3-540-34513-8
|doi=10.1007/978-3-540-34514-5
|lccn=2006933997
}}</ref>{{rp|8, §1.2}}

== 같이 보기 ==
* [[슈페르너 족]]
* [[슈페르너 정리]]
* [[헬리 족]]
* [[헬리 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{집합론}}

[[분류:집합족| ]]