집합의 크기 문서 원본 보기

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[[파일:Platonic Solids Transparent.svg|섬네일|정다면체의 집합 {{mvar|S}}는 원소가 5개이다. 즉 <math>|S|=5</math>이다.]]
[[집합론]]에서, [[집합]]의 '''크기'''({{llang|en|cardinality}}) 또는 '''농도'''(濃度)는 집합의 "[[원소 (수학)|원소]] 개수"에 대한 척도이다. [[유한 집합]]의 크기의 표현은 [[자연수]]로 충분하다. 임의의 집합의 크기는 [[단사 함수]] 및 [[전단사 함수]]를 통해 비교할 수 있으며, [[기수 (수학)|기수]]로서 대상화할 수도 있다. 집합 ''A''의 크기는 |''A''| 또는 n(''A''), <span style="border-top: 3px double black;">''A''</span>, card(''A''), # ''A''로 표기한다.

== 정의 ==
두 집합 <math>A</math>와 <math>B</math> 사이에 만약 [[전단사 함수]] <math>f\colon A\to B</math>가 존재한다면, <math>|A|=|B|</math>라고 하고, 두 집합이 서로 '''대등'''(對等, {{llang|en|equinumerous}})하다고 한다.

두 집합 <math>A</math>와 <math>B</math> 사이에 만약 [[단사 함수]] <math>f\colon A\to B</math>가 존재한다면, <math>|A|\le|B|</math>라고 하고, <math>A</math>의 크기가 <math>B</math>의 크기보다 작거나 같다고 한다.

두 집합 <math>A</math>와 <math>B</math> 사이에 만약 [[단사 함수]] <math>A\to B</math>가 존재하나, [[전단사 함수]] <math>A\to B</math>가 존재하지 않는다면, <math>|A|<|B|</math>라고 하고, <math>A</math>의 크기가 <math>B</math>의 크기보다 작다고 한다.

== 성질 ==
집합의 대등 <math>|A|=|B|</math>은 집합들에 대한 "[[동치 관계]]"이다. <math>|A|\le|B|</math>은 집합들에 대한 "[[반사 관계]]"이자 "[[추이 관계]]"이다.

[[칸토어-베른슈타인 정리]]에 따르면, 만약 <math>|A|\le|B|</math>이며 <math>|A|\ge|B|</math>이면, <math>|A|=|B|</math>이다.

임의의 두 집합에 대하여 <math>|A|\le|B|</math>이거나 <math>|A|\ge|B|</math>이다. 이는 [[선택 공리]]와 [[동치]]이다.

만약 [[전사 함수]] <math>B\to A</math>가 존재한다면, <math>|A|\le|B|</math>이다. 이는 선택 공리 가정 하에 성립한다.

집합의 크기 비교는 [[기수 (수학)|기수]]의 비교와 일치한다. 예를 들어 두 집합이 대등할 [[필요 충분 조건]]은 두 집합의 기수가 같다는 것이다.

정리하면, 집합의 크기 비교는 집합들에 대한 "[[원전순서]]"이며, 이에 대응하는 "[[동치 관계]]"는 집합의 대등, 이에 대응하는 "[[전순서]]"는 기수의 비교이다.

== 예 ==
[[유한 집합]]의 크기는 단순히 그 원소 개수이다. 예를 들어, <math>|\{0,1,2,3,4\}|=5</math>이다. [[무한 집합]]의 크기는 자연수로 표현할 수 없다.

[[자연수]] 집합과 대등한 집합을 [[가산 무한 집합]]이라고 한다. [[정수]] 집합이나 [[유리수]] 집합은 모두 가산 무한 집합이다. 즉, 이들은 모두 자연수와 일대일 대응한다.

자연수 집합과 대등하지 않은 무한 집합을 [[비가산 집합]]이라고 한다. [[실수]] 집합은 비가산 집합이다. 즉, 이는 자연수와 일대일 대응할 수 없다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[기수 (수학)]]
* [[알레프 수]]

== 참고 문헌 ==

{{수리 논리학}}
{{집합론}}
{{전거 통제}}

[[분류:기수]]
[[분류:집합론]]