집합론 문서 원본 보기

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'''집합론'''(集合論, {{llang|en|set theory}})은 추상적 대상들의 모임인 [[집합]]을 연구하는 [[수학]] 이론이다. 집합론은 [[술어논리학]]과 함께 대부분의 [[수학기초론]] 체계의 근본으로, 현대 수학을 논리적으로 지탱하는 밑바탕이 된다.

[[소박한 집합론]]에서는 집합을 단순히 대상들을 모아서 만들어지는 자명한 개념으로 이해한다. 중학교 및 고등학교 등의 교육과정에서 다루는 집합의 개념은 이에 해당한다.

소박한 집합론의 모순을 해결하기 위해 등장한 [[공리적 집합론]]은 집합들과 그 포함관계가 만족하는 [[공리]]들을 규정하는 방법으로 집합을 간접적으로 정의한다. 여기에서 집합과 그 포함관계는 [[유클리드 기하]]에서의 [[점 (수학)|점]]이나 [[직선|선]]과 같은 [[무정의 용어]]로 볼 수 있다. 공리적 집합론은 대부분의 경우 대학에서 수학을 전공하지 않는 이상 배우지 않는다.

== 공리적 집합론 ==
'''공리적 집합론'''은 술어논리를 이용하여 기술한 체계를 가지고 집합의 성질을 규명하는 수학의 한 분야이다.
=== 일차 술어논리를 사용한 공리적 집합론 ===
단항 술어기호 '<math>\mathrm{Set}</math>'과 양항 술어기호인 포함관계 기호 '<math>\in</math>'모두를 포함하거나 오로지 포함관계 기호만을 포함한 일차 술어논리 언어를 가지고 집합론을 구성할 수 있다.
일반적으로 대상 <math>x</math>가 <math>\mathrm{Set}(x)</math>를 만족하면 <math>x</math>를 집합이라 한다.
이 술어기호가 없는 집합론에서는 모든 대상을 집합으로 간주한다. 집합이 없는 대상을 원자(아톰, atom)이라 한다.
만일 <math>x \in X</math>이면 '<math>x</math>가 <math>X</math>의 원소다' 혹은 '<math>X</math>가 <math>x</math>를 포함한다((원소로) 가진다)'고 한다. 이는 기호로 표현한 것을 설명한다기보다는 자연어로 옮기는 방법을 서술한 것에 가깝다.

어떤 공리적 집합론에서도 보통 확장 공리는 채택하는 편이다.
확장 공리는 `집합 <math>X</math>와 <math>Y</math>가 가지는 원소가 서로 꼭 같다면 <math>X=Y</math>이다.'를 말한다.
기호로 <math>\forall X \forall Y ((\mathrm{Set}(X) \wedge \mathrm{Set}(Y)) \rightarrow (\forall z (z \in X \leftrightarrow z \in Y) \rightarrow (X=Y))</math>로 쓸 수 있다.

이제 소박한 집합론에서 말하는 '분명히 구별되는 대상들의 모임이 집합'이라는 정의를 공리적 집합론으로 가져오면 다음과 같이 표현할 수 있다.
'임의의 <math>(n+1)</math>개 자유변수 <math>\nu, \nu_1, \nu_2, \ldots, \nu_n</math>를 가지는 논리 공식 <math>\varphi</math>에 대하여 <math>\forall \nu_1 \forall \nu_2 \cdots \nu_n \exists X (\forall \nu (\nu \in X \leftrightarrow \varphi(\nu, \nu_1, \ldots, \nu_n))</math>가 성립한다'로 표현할 수 있다.
여기서 변수자리에 쓴 <math>\nu</math>는 그것이 어느 변수라도 될 수 있음을 표현하고자 한 것이다.
물론 변수 <math>X</math>는 <math>\nu</math>들 중 어느 하나라도 같아서는 안 된다.
그런데 이 공리는 도입하는 즉시 [[러셀의 역설]]과 유사한 역설에 직면하게 된다.
이를 피하기 위해 여러 방법이 사용되는데, 크게 세 가지로 구분된다.
하나는 분리공리만을 허용하는 것이고, 또 하나는 변수의 타입을 집합과 유로 구분하는 것이고, 또 하나는 사용할 수 있는 논리 공식에 제한을 두는 것이다.
[[ZFC]]에서는 분리공리만을 허용하며, 변수 타입을 집합과 유로 구분하는 것은 [[폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론|NBG]], 논리 공식에 제한을 두는 것은 New foundation에서 볼 수 있다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[게오르크 칸토어]] ([[1845년]]-[[1918년]]) - [[독일]]의 [[수학자]] 및 [[철학자]]로, 집합론의 창시자로 잘 알려져 있다.
* [[주세페 페아노]] ([[1858년]]-[[1932년]]) - [[이탈리아]]의 수학자 및 철학자로, [[합집합]]과 [[교집합]] 기호를 발명했고 [[산술]]을 형식화했다.
* [[소박한 집합론]]
* [[공리적 집합론]]
* [[집합]]
* [[체르멜로 집합론]]은 독일의 수학자 [[에른스트 체르멜로]]가 개발한 공리계이다.
* [[체르멜로-프렝켈 집합론]]은 가장 널리 사용되는 집합론의 공리계이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자=최창선|제목=수학, 철학, 전산학, 언어학도를 위한 집합론 입문|출판사=경문사|날짜=2006|isbn=89-7282-777-0|url=http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=4599|언어=ko|access-date=2014-11-19|archive-date=2014-11-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20141129034347/http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=4599|url-status=}}
* {{서적 인용|저자=이식|제목=집합론|isbn=978-89-6105-051-7|출판사=경문사|url=http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=2966|날짜=2007|언어=ko|access-date=2014-11-19|archive-date=2014-11-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20141129034349/http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=2966|url-status=}}
* {{서적 인용|저자=허걸|제목=집합론|isbn=89-7282-702-9|출판사=경문사|url=http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=3547|날짜=2008|언어=ko|access-date=2014-11-19|archive-date=2014-11-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20141129034344/http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=3547|url-status=}}
* {{서적 인용|저자=이병무|제목=쉬운 설명 다양한 예제 집합론의 이해|isbn=978-89-6105-234-4|출판사=경문사|url=http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=6569|날짜=2009|언어=ko|access-date=2014-11-19|archive-date=2014-11-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20141129034412/http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=6569|url-status=}}
* {{서적 인용 | last=Jech | first=Thomas | title=Set theory | url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4 | publisher= Springer-Verlag | series=Springer Monographs in Mathematics | 날짜=2003 | doi=10.1007/3-540-44761-X | issn= 1439-7382 | 판 = 3 | isbn= 978-3-540-44085-7 | zbl = 1007.03002 | 언어=en | id={{iaid|settheory0000jech_f7i4}}}}
* {{서적 인용
  | last = Roitman
  | first = Judith
  | title = Introduction to modern set theory
  | 날짜 = 2011
  | zbl=0689.0400
  | publisher = Virginia Commonwealth University Press
  | 판=2판
  | isbn = 978-0-9824062-4-3 | 언어=en }}
* {{서적 인용 | 성=Halmos | 이름=Paul R. | 저자링크=헐모시 팔 | 제목=Naive set theory | url=https://archive.org/details/naivesettheory0000halm_r6r4 | isbn=978-0-387-90092-6| 날짜=1974 | publisher=Springer-Verlag | doi=10.1007/978-1-4757-1645-0 | issn=0172-6056|총서=Undergraduate Texts in Mathematics|zbl=0287.04001|mr=0453532 |언어=en}}
* {{서적 인용|title=Set theory: an introduction to independence proofs|성=Kunen|이름=Kenneth|저자링크=케네스 쿠넌|publisher=North-Holland|날짜=1980|isbn=978-0-444-86839-8|url=http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|총서=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|권=102|zbl=0534.03026|mr=597342|언어=en|확인날짜=2016-08-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160911102401/http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|보존날짜=2016-09-11|url-status=dead}}
* {{서적 인용|제목=Set theory: exploring independence and truth|이름=Ralf|성=Schindler|doi=10.1007/978-3-319-06725-4|출판사=Springer-Verlag|총서=Universitext|날짜=2014|issn=0172-5939|isbn=978-3-319-06724-7|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Set theory}}
* {{eom|title=Axiomatic set theory}}
* {{eom|title=Descriptive set theory}}
* {{eom|title=Alternative set theory}}
* {{매스월드|id=SetTheory}}
* {{웹 인용|url=http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/|제목=Set theory|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy|날짜=2014-10-08|성=Bagaria|이름=Joan|언어=en}}
* {{nlab|id=set theory|title=Set theory}}
* {{웹 인용|url=http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=332498|날짜=2011|제목=집합론 및 실습|저자=이석종|출판사=Korea Open Courseware|언어=ko}}

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