집합 문서 원본 보기

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[[파일:Example of a set.svg|대체글=큰 원 안에 다각형들을 감싸 집합을 나타낸 그림|섬네일|9개의 다각형의 집합을 나타낸 [[오일러 다이어그램]]]]
[[수학]]에서 '''집합'''(集合, {{llang|en|set}})은 어떤 명확한 조건을 만족시키는 서로 다른 대상들의 모임이다. [[게오르크 칸토어]]의 설명에 따르면, 집합은 “하나로 간주한 여럿”이다. 임의의 대상이 집합에 속하는지 여부는 명확해야 하며, 집합 위에는 순서나 연산 따위의 구조가 주어지지 않는다. 집합은 현대 수학에서 가장 기본적인 개념이다. [[집합론]]은 19세기 말에 개발되어 다른 수학 이론들에 비해 젊은 편이나, 거의 모든 수학 이론을 전개하는 토대로 삼을 수 있다.

[[소박한 집합론]]은 집합을 정의하는 조건에 제한을 가하지 않는다. 즉, 임의의 성질에 대하여 이 성질을 만족시키는 대상들의 집합이 존재한다고 가정한다. 이러한 가정은 [[모순]]을 일으키며, 모순을 유도하는 가장 쉬운 방법은 [[러셀의 역설]]이다. 오늘날 역설을 해결하는 다양한 집합론이 개발되어 있으며, 이 가운데 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]이 기본적으로 쓰인다. 이 집합론은 이미 알려진 모든 역설을 회피했지만, 그 밖의 모순이 존재할 가능성까지 배제한 것은 아니다. 또한, 이 이론의 무모순성을 증명하는 것은 무모순성 여부와 관계 없이 어떤 의미에서 불가능하다 ([[괴델의 불완전성 정리]]). 즉, [[앙리 푸앵카레]]의 비판을 인용하면 “양 떼를 보호하기 위해 울타리를 쳤지만, 울타리 안에 늑대가 없으리라는 법은 없는 꼴”이다.

대개 집합은 대문자 <math>A,B,C,\dots</math>로 표기하며, 원소는 소문자 <math>a,b,c,\dots</math>로 표기한다. <math>a</math>가 <math>A</math>의 원소임을 <math>a\in A</math>와 같이 표기하며, <math>a</math>가 <math>A</math>의 원소가 아님을 <math>a\notin A</math>와 같이 표기한다. 또한 '12보다 크고 7보다 작은 자연수들의 모임'같은 원소가 0개일 경우, φ으로 표기한다.

== 표현 ==
집합을 표현하는 방법에는 여러 가지가 있다. 하나는 집합에 속하는 원소들을 일일이 나열하는 것이다. 또 하나는 집합에 속하는 원소들이 만족하여야 하는 조건을 제시하는 것이다. 문자를 쓰는 대신 도형을 그려 나타낼 수도 있다.

=== 원소 나열법 ===
'''[[원소 나열법]]'''은 말 그대로 집합의 원소를 나열하여 집합을 표현하는 방법이다. 중괄호 '{}' 속에 쉼표 ','로 구별하여 나열한다. 예를 들어, 다음과 같다.
* {1, 2, 3}
* {흰색, 검은색}
무한 개의 원소가 있거나 유한 개더라도 나열하기에 너무 많은 경우, 그 중의 몇 개를 나열하여 남은 원소들을 유추할 수 있게끔 한 뒤 줄임표 '...'를 쓴다. 예를 들어, 다음과 같다.
* {1, 2, 3, ..., 100}은 1부터 100까지의 모든 [[자연수]]의 집합이다.
* {2, 4, 6, 8, ...}은 모든 양의 [[짝수]]의 집합이다.
집합의 원소들 사이에 눈에 띄는 규칙이 없을 경우, 원소 나열법으로 표현하기 힘들다. 또한, 모든 [[실수]]의 집합을 비롯한 [[비가산 집합]]은 이러한 표현이 불가능하다.

=== 조건 제시법 ===
'''[[조건 제시법]]'''도 말 그대로 집합의 원소인지를 판단하는 조건을 제시하여 집합을 표현하는 방법이다. 중괄호 '{}' 속을 수직선 '|'이나 쌍점 ':'을 써서 두 구역으로 나눈 뒤, 왼쪽 구역에 집합의 원소를 나타내는 식을 적고, 오른쪽 구역에 원소가 만족시킬 조건을 적는다. 예를 들어, 다음과 같다.
* {''n''|''n''은 자연수, 1 ≤ ''n'' ≤ 5}는 1부터 5까지의 모든 자연수의 집합이다.
* {2''n''|''n''은 [[정수]]}는 모든 짝수의 집합이다.

=== 오일러 다이어그램 ===
[[파일:CirclesN4b.png|대체글=네 집합의 오일러 다이어그램|섬네일|네 집합의 오일러 다이어그램. 네 집합 모두에 속하는 부분이 없으므로, 벤 다이어그램이 아니다.]]
[[파일:Venn diagram coloured.svg|대체글=세 집합의 벤 다이어그램|섬네일|세 집합의 오일러 다이어그램. 벤 다이어그램이다.]]
'''[[오일러 다이어그램]]'''은 집합을 나타내는 원을 그려 집합을 표현하는 방법이다. 어떤 원의 안쪽은 그 원이 나타내는 집합에 속하는 부분, 바깥쪽은 그 집합에 속하지 않는 부분을 의미한다. 두 원이 겹치는 부분은 두 집합에 공통으로 속하는 부분을 나타낸다. 어떤 원이 다른 원의 안쪽에 놓인다면, 집합의 모든 원소가 다른 집합의 원소라는 의미인데, 이때 첫째 집합이 둘째 집합의 [[부분 집합]]이라고 한다. 원이 서로 겹치는 두 집합은 공통 원소가 있는 집합을 의미하며, 원이 서로 겹치지 않는 두 집합은 공통 원소가 없는 집합, 즉 [[서로소 집합]]을 의미한다.

'''[[벤 다이어그램]]'''은 더 강한 조건을 만족시키는 오일러 다이어그램이다. 즉, <math>n</math>개의 원으로 이루어진 벤 다이어그램은 총 <math>2^n</math>개의 영역으로 나뉘어야 한다. 예를 들어, 세 집합으로 이루어진 벤 다이어그램은 총 8개의 영역으로 나뉘며, 이들은 각각 다음과 같다.
* 세 집합 모두에 속하는 영역
* 첫째 집합에만 속하지 않는 영역
* 둘째 집합에만 속하지 않는 영역
* 셋째 집합에만 속하지 않는 영역
* 첫째 집합에만 속하는 영역
* 둘째 집합에만 속하는 영역
* 셋째 집합에만 속하는 영역
* 세 집합 모두에 속하지 않는 영역
수학 교육에서, 벤 다이어그램은 오일러 다이어그램의 동의어로 쓰이기도 한다.

== 연산 ==
둘 또는 더 많은 집합들로부터 새로운 집합을 만드는 연산은 여러 가지가 있다.

=== 합집합과 교집합과 곱집합 ===
[[파일:Venn0111.svg|대체글=두 집합의 합집합을 나타낸 오일러 다이어그램|섬네일|합집합]]
[[파일:Venn0001.svg|대체글=두 집합의 교집합을 나타낸 오일러 다이어그램|섬네일|교집합]]
[[파일:2D Cartesian.svg|대체글=데카르트 좌표 평면과 그 위의 한 점 (x,y)|섬네일|두 [[실수선]]의 곱집합은 [[데카르트 좌표계|데카르트 좌표 평면]]이다.]]
[[파일:3D Cartesian.svg|대체글=데카르트 좌표 공간과 그 위의 한 점 (x,y)|섬네일|세 [[실수선]]의 곱집합은 [[데카르트 좌표계|데카르트 좌표 공간]]이다.]]
일련의 집합들 <math>A_i</math> (<math>i\in I</math>)이 주어졌다고 하자. 여기서 <math>I</math>는 집합이며, 각 <math>i\in I</math>는 <math>A_i</math>를 식별하는 데 쓰이는 첨수이다.

집합들 <math>A_i</math> (<math>i\in I</math>)의 '''[[합집합]]'''은 이들 가운데 적어도 하나에 속하는 원소의 집합이다. 합집합을 나타내는 기호는 <math>\bigcup_{i\in I}A_i</math>이다.
:<math>\bigcup_{i\in I}A_i=\{x|\exists i\in I\colon x\in A_i\}</math>
특히, 두 집합 <math>A</math>와 <math>B</math>의 합집합을 나타내는 기호는 <math>A\cup B</math>이다.<ref name="kim">{{서적 인용|제목=수리통계학 입문|날짜=1995-03-10|쪽=7|판=1}}</ref>
:<math>A\cup B=\{x|x\in A\text{ or }x\in B\}</math>
예를 들어, 모든 [[오각형]]의 집합과 모든 [[정다각형]]의 집합의 합집합은, 정오각형이 아닌 오각형, 오각형이 아닌 정다각형, 그리고 정오각형으로 이루어진 집합이다. 또 한 가지 예를 들어, 두 집합
:<math>A=\{1,2,7,15,23\}</math>
:<math>B=\{2,15,16,27\}</math>
의 합집합은
:<math>A\cup B=\{1,2,7,15,16,23,27\}</math>
이다.

집합들 <math>A_i</math> (<math>i\in I</math>)의 '''[[교집합]]'''은 이들 모두에 속하는 원소의 집합이다. 교집합을 나타내는 기호는 <math>\bigcap_{i\in I}A_i</math>이다.
:<math>\bigcap_{i\in I}A_i=\{x|\forall i\in I\colon x\in A_i\}</math>
특히, 두 집합 <math>A</math>와 <math>B</math>의 교집합을 나타내는 기호는 <math>A\cap B</math>이다.<ref name="kim" />
:<math>A\cap B=\{x|x\in A\text{ and }x\in B\}</math>
예를 들어, 모든 오각형의 집합과 모든 정다각형의 집합의 교집합은, 모든 [[정오각형]]의 집합이다. 또한, 두 집합
:<math>A=\{1,2,7,15,23\}</math>
:<math>B=\{2,15,16,27\}</math>
의 교집합은
:<math>A\cap B=\{2,15\}</math>
이다.

집합들 <math>A_i</math> (<math>i\in I</math>)의 '''[[곱집합]]'''은 각 <math>i</math>-좌표를 <math>A_i</math>에서 취하는 [[튜플]]의 집합이다. 곱집합을 나타내는 기호는 <math>\prod_{i\in I}A_i</math>이다.
:<math>\prod_{i\in I}A_i=\{(x_i)_{i\in I}|\forall i\in I\colon x_i\in A_i\}</math>
특히, 두 집합 <math>A</math>와 <math>B</math>의 곱집합을 나타내는 기호는 <math>A\times B</math>이다.
:<math>A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}</math>
예를 들어, 두 집합
:<math>A=\{1,2,3\}</math>
:<math>B=\{4,5,6\}</math>
의 곱집합은
:<math>A\times B=\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}</math>
이다. 또한, [[실수]]의 집합 <math>\mathbb R</math>과 자기 자신의 곱집합은 [[2차원]] [[유클리드 공간]]
:<math>\mathbb R\times\mathbb R=\mathbb R^2=\{(a,b)|a,b\in\mathbb R\}</math>
이다. 이 집합과 <math>\mathbb R</math>의 곱집합은 [[3차원]] 유클리드 공간
:<math>\mathbb R\times\mathbb R\times\mathbb R=\mathbb R^3=\{(a,b,c)|a,b,c\in\mathbb R\}</math>
이다.

=== 차집합과 대칭차 ===
[[파일:Venn0010.svg|대체글=차집합을 나타낸 오일러 다이어그램|섬네일|차집합]]
[[파일:Komplement einer Menge.svg|대체글=여집합을 나타낸 오일러 다이어그램|섬네일|여집합]]
[[파일:Venn0110.svg|대체글=대칭차를 나타낸 오일러 다이어그램|섬네일|대칭차]]
집합 <math>A</math>와 집합 <math>B</math>의 '''[[차집합]]'''은 <math>A</math>에 속하지만 <math>B</math>에는 속하지 않는 원소의 집합이다. 차집합을 나타내는 기호는 <math>A\setminus B</math>나 <math>A-B</math>이다.
:<math>A\setminus B=\{x|x\in A\text{ and }x\not\in B\}</math>
예를 들어, 두 집합
:<math>A=\{1,2,7,15,23\}</math>
:<math>B=\{2,15,16,27\}</math>
의 차집합은
:<math>A\setminus B=\{1,7,23\}</math>
이다.

만약 <math>A</math>가 <math>B</math>의 모든 원소를 포함한다면, (즉, <math>B</math>가 <math>A</math>의 [[부분 집합]]이라면,) <math>A</math>와 <math>B</math>의 차집합을 <math>B</math>의 '''[[여집합]]'''이라고 한다. 여집합을 나타내는 기호는 <math>B^\operatorname C</math>나 <math>\bar B</math>이다.

집합 <math>A</math>와 집합 <math>B</math>의 '''[[대칭차]]'''는 <math>A</math>에 속하거나 <math>B</math>에 속하지만, 동시에 둘 다에 속하지는 않는 원소의 집합이다. 대칭차를 나타내는 기호는 <math>A\,\triangle\,B</math>이다.
:<math>A\,\triangle\,B=\{x|(x\in A\text{ and }x\not\in B)\text{ or }(x\not\in A\text{ and }x\in B)\}</math>
예를 들어, 두 집합
:<math>A=\{1,2,7,15,23\}</math>
:<math>B=\{2,15,16,27\}</math>
의 대칭차는
:<math>A\,\triangle\,B=\{1,7,16,23,27\}</math>
이다.

=== 항등식 ===
집합의 연산에 대한 여러 가지 항등식이 성립한다.
* ([[드모르간 법칙]]) <math>X\setminus\bigcup_{i\in I}A_i=\bigcap_{i\in I}{}(X\setminus A_i)</math>
* ([[드모르간 법칙]]) <math>X\setminus\bigcap_{i\in I}A_i=\bigcup_{i\in I}{}(X\setminus A_i)</math>

== 관계 ==
두 집합은 두 가지 방면에서 비교할 수 있다. 첫째는 혹여 한 집합의 모든 원소가 다른 한 집합의 원소이기도 한지, 즉 한 집합이 다른 한 집합에 완전히 포함되는지 살펴보는 것이고, 하나는 어느 집합의 원소가 더 많은지, 즉 어느 집합의 규모가 더 큰지를 비교하는 것이다.

=== 부분 집합 ===
{{본문|부분 집합}}
[[파일:Venn A subset B.svg|대체글=A가 B의 부분집합임을 나타낸 오일러 다이어그램|섬네일|부분 집합 관계]]
만약 집합 <math>A</math>에 속하는 모든 원소가 집합 <math>B</math>의 원소이기도 하다면, <math>A</math>를 <math>B</math>의 '''[[부분 집합]]'''이라고 한다. 이를 나타내는 기호는 <math>A\subseteq B</math>이다.

[[오일러 다이어그램]]에서, 두 집합 가운데 하나가 다른 하나의 부분 집합이라면, 이 부분 집합을 나타내는 원은 다른 한 집합을 나타내는 원의 안쪽에 놓인다.

예를 들어, <math>A</math>가 모든 [[삼각형]]의 집합, <math>B</math>가 모든 [[다각형]]의 집합이라면, <math>A</math>는 <math>B</math>의 부분 집합이다. 이는 모든 삼각형이 다각형이기 때문이다. 그러나, <math>A</math>가 모든 [[사각형]]의 집합, <math>B</math>가 모든 [[정다각형]]의 집합이라면, <math>A</math>는 <math>B</math>의 부분 집합이 아니다. 이는 가로 길이가 2, 세로 길이가 3인 사각형은 정사각형이 아니기 때문이다. 즉, 이러한 사각형은 <math>A</math>의 원소이지만, <math>B</math>의 원소가 아니다. 만약 <math>A=\{1,3,5\}</math>, <math>B=\{1,2,3,5\}</math>라면, <math>A\subseteq B</math>이다. 만약 <math>A=\{1,3,5\}</math>, <math>B=\{1,2,4,5\}</math>라면, <math>A\not\subseteq B</math>인데, 이는 3이 <math>A</math>의 원소이지만 <math>B</math>의 원소가 아니기 때문이다.

만약 <math>A</math>가 <math>B</math>의 부분 집합이면서, <math>B</math>가 <math>A</math>의 부분 집합이라면, <math>A</math>와 <math>B</math>의 원소는 완전히 같아진다. 이때 <math>A</math>와 <math>B</math>가 서로 같다고 하며, 이를 나타내는 기호는 <math>A=B</math>이다. 만약 <math>A</math>가 <math>B</math>의 부분 집합이면서, <math>A</math>와 <math>B</math>가 서로 같지는 않다면, <math>A</math>를 <math>B</math>의 '''[[진부분 집합]]'''이라고 한다. 이를 나타내는 기호는 <math>A\subsetneq B</math>이다.

집합 <math>A</math>의 모든 부분 집합을 모은 집합을 생각할 수 있다. 이를 <math>A</math>의 '''[[멱집합]]'''이라고 한다. 멱집합을 나타내는 기호는 <math>\mathcal P(A)</math>나 <math>2^A</math>이다. 예를 들어, <math>A=\{1,2\}</math>의 멱집합은
:<math>\mathcal P(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}</math>
이다.

=== 크기 비교 ===
{{본문|집합의 크기}}
[[파일:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva04.svg|대체글=음이 아닌 정수의 집합과 음이 아닌 짝수의 집합 사이의 일대일 대응|섬네일|음이 아닌 [[짝수]]의 집합은 [[음이 아닌 정수]]의 집합의 진부분 집합이지만, 이 두 집합 사이에는 일대일 대응이 존재한다. 따라서 이 두 집합의 크기는 같다.]]
두 집합 <math>A,B</math>가 모두 유한 개의 원소만을 가진다고 하자. 만약 <math>A</math>의 원소 개수가 <math>B</math>의 원소 개수보다 많다면, <math>A</math>가 <math>B</math>보다 크다고 한다. 반대로 만약 <math>A</math>의 원소 개수가 <math>B</math>의 원소 개수보다 적다면, <math>A</math>가 <math>B</math>보다 작다고 한다. 만약 <math>A</math>의 원소 개수가 <math>B</math>의 원소 개수와 같다면, <math>A</math>가 <math>B</math>와 크기가 같다고 한다.

예를 들어, <math>A</math>가 1부터 20까지의 자연수의 집합, <math>B</math>가 21부터 30까지의 자연수의 집합이라면, <math>A</math>의 원소 개수는 20, <math>B</math>의 원소 개수는 10이다. 20이 10보다 크므로, <math>A</math>의 크기는 <math>B</math>의 크기보다 크다.

두 집합 <math>A,B</math> 가운데 적어도 하나가 무한 개의 원소를 갖는다고 하여도, 이 두 집합의 크기를 비교할 수 있다. 만약 <math>A</math>의 서로 다른 원소와 <math>B</math>의 서로 다른 원소가 남김 없이 짝지어질 수 있다면, 다시 말해 <math>A</math>와 <math>B</math> 사이에 [[전단사 함수]]가 존재한다면, <math>A</math>와 <math>B</math>의 크기가 같다고 한다. 만약 <math>A</math>가 <math>B</math>의 어떤 진부분 집합과 크기가 같지만, <math>B</math>와 크기가 같지 않다면, <math>A</math>가 <math>B</math>보다 크기가 작다고 한다. 만약 <math>B</math>가 <math>A</math>의 어떤 진부분 집합과 크기가 같지만, <math>A</math>와 크기가 같지 않다면, <math>A</math>가 <math>B</math>보다 크기가 크다고 한다.

예를 들어, <math>A=\{1,2,3,\dots\}</math>이고, <math>B=\{2,3,4,\dots\}</math>라면, <math>B</math>는 <math>A</math>의 진부분 집합이지만,<math>A</math>와 <math>B</math>의 크기는 같다. 이는 <math>A</math>의 원소 <math>n</math>을 <math>B</math>의 원소 <math>n+1</math>에 대응시키는 함수가 전단사 함수이기 때문이다. 이 예가 보여주듯, 진부분 집합은 원래의 집합과 크기가 같을 수 있다.

집합의 크기는 [[기수 (수학)|기수]]로 양화될 수 있다. 집합 <math>A</math>의 크기를 나타내는 기호는 <math>|A|</math> 또는 <math>\#A</math>이다. 집합 <math>A</math>의 크기가 <math>B</math>의 크기보다 큼을 나타내는 기호는 <math>|A|\ge|B|</math> 또는 <math>\#A\ge\#B</math>이다.

== 예 ==
=== 수의 집합 ===
* <math>\mathbb N</math>은 모든 [[자연수]]의 집합이다. 문맥에 따라 0부터 시작할 수도 있고, 1부터 시작할 수도 있다.
* <math>\mathbb Z=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}</math>는 모든 [[정수]]의 집합이다.
* <math>\mathbb Q=\{m/n\colon m,n\in\mathbb Z,\;n\ne0\}</math>는 모든 [[유리수]]의 집합이다.
* <math>\mathbb R</math>는 모든 [[실수]]의 집합이다.
* <math>\mathbb C=\{a+bi\colon a,b\in\mathbb R\}</math>는 모든 [[복소수]]의 집합이다.
* <math>\mathbb H=\{a+bi+cj+dk\colon a,b,c,d\in\mathbb R\}</math>는 모든 [[사원수]]의 집합이다.
* <math>\mathbb O</math>는 모든 [[팔원수]]의 집합이다.
* <math>\mathbb S</math>는 모든 [[십육원수]]의 집합이다.
* T는 2의 배수이며 홀수인 수의 집합이다(=φ)

=== 집합족 ===
{{본문|집합족}}
집합 역시 또 다른 집합의 원소가 될 수 있으므로, 일정한 조건을 만족시키는 집합들을 모은 집합을 생각할 수 있다. 한 가지 예는 어떤 집합의 [[멱집합]]이다. 예를 들어, <math>A=\{-1,-2,-3\}</math>와 <math>B=\{1,2,3\}</math>이 집합이므로,
:<math>\{A,B\}=\{\{-1,-2,-3\},\{1,2,3\}\}</math>
는 집합족이다.

== 같이 보기 ==
* [[집합론]]
* [[모임 (집합론)]]
* [[조밀 집합]]
* [[집합족]]
* [[퍼지 집합]]
* [[부분론]]
* [[중복집합]]
* [[수학 원리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* {{eom|title=Set}}
* {{매스월드|id=Set|title=Set}}
* {{nlab|id=Set|title=Category of sets}}
* {{플래닛매스|urlname=set|title=Set}}
* {{proofwiki|제목=Definition:Set}}

{{수리 논리학}}
{{집합론}}
{{전거 통제}}

[[분류:집합론|*]]
[[분류:논리학 개념]]
[[분류:수학적 대상]]