질량-에너지 등가 문서 원본 보기

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{{다른 뜻 넘어옴|1 = E=mc²|조사=은}}
[[파일:Relativity3 Walk of Ideas Berlin.JPG|섬네일|350px|질량-에너지 등가를 나타내는 등식 E=mc²]]
{{특수상대론|consequences}}
'''질량–에너지 등가'''(質量–Energy等價, {{llang|en|mass-energy equivalence}})는 모든 [[질량]]은 그에 상당하는 [[에너지]]를 가지고 그 역 또한 성립한다(모든 [[에너지]]는 그에 상당하는 [[질량]]을 가진다)는 개념으로, 1905년 [[아인슈타인]]이 발표하였다. [[특수상대성이론]]에서 다음과 같은 같은 질량-에너지 등가 관계식으로 나타난다.

:<math>E = mc^2 \;</math>

여기서
:* ''E'' = [[에너지]]
:* ''m'' = [[질량]]
:* ''c'' = 진공 속의 [[빛의 속력]]
를 나타낸다. 즉,

:에너지 = 질량 × 광속의 제곱

이 공식에서 질량은 특수 상대성 이론에서의 두 가지 정의 모두 적용 가능하다. 질량이 정지질량이라면 에너지는 정지에너지라 불리고, 질량이 상대론적 질량이라면 에너지는 전체에너지이다. 이 공식은 알베르트 아인슈타인에 의해 유도된 것으로 1905년 “물체의 질량은 그 에너지량에 따르는가?” 라는 논문에 발표되었다.

이 공식에서는 c<sup>2</sup>이 질량의 단위를 에너지의 단위로 변환하는 데 필요한 변환계수이다. 이 공식은 특정 단위계에서만 성립하는 것은 아니다. 국제 공통 단위계에서는 에너지, 질량, 속도의 단위는 각각 줄(J), 킬로그램(kg),초당 미터(m/s)이다. 참고로, 1J은 1kg m<sup>2</sup>/s<sup>2</sup>에 해당한다. 국제 공통 단위계에서는 E(J) = m(kg) x(299,792,458 m/s)<sup>2</sup>이다.

정지 상태에서 1[[킬로그램|kg]]의 질량은
* 89,875,517,873,681,764[[줄 (단위)|줄]] 혹은
* 24,965,421,632[[와트시|kWh]] 혹은
* [[트라이나이트로톨루엔|TNT]] 21.48076431[[톤|메가톤]]
의 에너지와 동등하다.

== 질량과 에너지 보존 ==
질량-에너지 등가 개념은 [[질량 보존의 법칙]]과 [[에너지 보존]]을 하나로 묶는 것이다. [[정지질량]]을 그 질량을 유지한 채 등가 활성에너지로 ([[운동에너지]], 열, 또는 빛) 변환할 수 있으며 마찬가지로, 운동에너지나 복사 형태의 활성 에너지도 [[정지질량]]을 갖는 입자로 변환될 수 있다. 닫힌 계에서의 전체 질량/에너지는 일정하다. 왜냐하면 에너지는 생성되거나 사라질 수 없고 안에 갇힌 에너지는 어떠한 형태를 띠건 관계없이 질량을 갖기 때문이다. 상대론에서 질량과 에너지는 같은 무엇인가의 두 가지 형태로 어느 하나는 다른 하나와 반드시 함께 나타난다

=== 빛의 속도에 비해 무시할 수 없는 속도로 움직이는 물체 ===
힘이 물체의 운동 방향으로 작용하면, 물체의 [[운동량]]이 증가하고 힘이 일을 하므로 에너지도 증가한다. 그러나 아무리 많은 에너지를 물체가 흡수한다고 해도 [[빛의 속도]]에 다다를 수는 없다. 물체의 운동량과 에너지는 증가하지만 그 속도는 빛의 속도에 매우 가까이 접근할 뿐이다. 이는 상대성이론에서 물체의 운동량이 어떤 상수와 속도의 곱이 아니고, 운동에너지도 ½mv<sup>2</sup> 이 아님을 뜻한다. (후자는 느리게 움직이는 물체의 경우 잘 맞는다.)

상대론적 질량은 항상 전체 에너지를 c<sup>2</sup>로 나눈 것과 같다. 상대론적 질량과 정지질량 사이의 차는 상대론적 운동에너지(나누기 c<sup>2</sup>)이다. 상대론적 질량이 정확히 에너지에 비례하므로 상대론적 질량과 상대론적 에너지는 거의 같은 의미를 가진다. 유일한 차이는 그 단위다. 길이와 시간을 [[자연단위계]] 안에서 측정하고 빛의 속도를 1이라 한다면 이 차이 마저 사라진다. 이렇게 되면 질량과 에너지는 같은 단위를 가지고 항상 같은 값을 가지므로 상대론적 질량은 에너지의 다른 이름이 되어 따로 언급하는 것이 불필요하게 된다.

많은 이어진 부분들로 만들어진 계([[원자핵]], [[원자]], [[행성]], [[항성|별]], …)의 상대론적 질량은, 에너지는 합해지므로, 각 부분의 상대론적 질량의 합이다.

== 질량-에너지 등가 공식의 의미 ==
질량-에너지 등가에 따르면 어떤 물체(즉 질량)는 움직이고 있지 않다고 하더라도 어떤 에너지를 가진다. [[고전역학]]에서는 무게 있는 물체는 정지해 있을 때 운동에너지를 가지지 않고, 경우에 따라 (상대적으로 적은 양의) [[화학 에너지]], [[열에너지]], 등 내부적으로 저장된 에너지 또는 역장에서의 위치에 따른 [[위치에너지]]를 가진다. 뉴턴역학에서는 이 중 어떤 에너지도 질량에 영향을 끼치지 않는다.

상대론에서는 어떤 물체와 함께 움직이는 모든 에너지가 물체의 전체 에너지에 더해지고, 이는 상대론적 질량에 비례한다. 빈 공간을 가로지르는 한 개의 [[광자]]도 그 에너지(나누기 c<sup>2</sup>)만큼의 상대론적 질량을 가진다. 이상적인 거울상자 안에 빛이 담겨 있다면, 상자의 질량은 그 빛의 에너지만큼 증가한다. 상자의 전체 에너지가 그 질량이기 때문이다.

광자는 결코 정지하지 않지만 0이라는 값의 정지질량은 가진다. 만일 어떤 관찰자가 광자를 점점 더 빨리 추적하여 관찰자의 속도가 빛의 속도에 접근하면, 광자의 관측된 에너지는 [[적색 편이|0에 접근]]한다. 따라서 광자는 질량이 없는 것이다. 광자의 에너지와 [[상대론적 질량]]은 다양한 값을 가질 수 있지만 [[정지질량]]은 0이다. 그러나 (예를 들어 전자-양전자 쌍소멸에서처럼) 두 개나 그 이상의 광자가 다른 방향으로 움직이는 계의 경우, 전체 [[운동량]]은 0이 될 수 있다. 이 경우, 이 두 광자를 하나의 시스템으로 본다면 그 에너지 합은 [[불변질량]]인 m = E/c<sup>2</sup>에 이른다.

이 식으로 또한 에너지를 잃었을 때 물체의 질량 결손량 또한 알 수 있다. 화학 또는 원자핵 반응에서 열과 빛이 나오면 그 질량이 감소한다. 여기서 식의 E는 해방된 또는 잃어버린 에너지이고, m은 결손된 질량이다. 이러한 경우, 해방 또는 잃어버린 에너지는 결손 질량과 c<sup>2</sup>의 곱인 것이다. 마찬가지로 어떤 종류의 에너지가 정지한 물체에 깃들면 증가된 질량도 그 깃든 에너지 (나누기 c<sup>2</sup>)만큼이 된다.

그러나 계의 정지질량은 시스템에서 떼어낸 부분 하나하나의 정지질량의 합이 아니다. 계의 정지질량과 부분의 정지질량의 합은 시스템을 형성할 때 복사된 [[결합에너지]]만큼 차이가 난다.

그러나 계의 정지질량은, 그 계 전체가 정지상태인 [[질량 중심 좌표계|좌표계]] 안에서 항상 그 부분의 상대론적 질량의 합이다. 어떤 시스템의 관성(즉 상대론적 질량)은 항상 그 모든 부분의 관성(모든 부분의 상대론적 질량)의 합이기 때문이다. 그리고 어떤 물체의 정지질량은 그 물체가 정지해 있다는 특정한 경우의 상대론적 질량 값이라고 볼 수 있다.

== E=mc²의 증명 ==
*K.E=운동에너지
:<math> K. E. = \int_{0}^{s} F\,ds = \int_{0}^{s} dp/dt \, ds = \int_{0}^{s} d(\gamma mv)/dt \, ds = \int_{0}^{\gamma mv} v d(\gamma mv) \bigl(\because ds=vdt \bigr)</math><br />
위 식을 [[부분적분]]하여 간단히 하면 다음과 같이 된다.<br />
:<math> K. E. = \gamma mv^2 - m\int_{0}^{v} \gamma v \, dv</math>
:::<math>=\gamma mv^2 -m\int_{0}^{v}\frac{v}{\sqrt{1-\left ( \frac{v}{c} \right )^2}} \,dv</math>
:::<math>=\gamma mv^2 -mc\int_{0}^{v}\frac{v}{\sqrt{c^2-v^2}} \, dv</math>
:::<math> = \gamma mv^2 - mc[-\sqrt{c^2-v^2}]^v_0 </math>
:::<math> = \gamma mv^2 + mc[c / \gamma]^v_0 </math>
:::<math> = \gamma mv^2 + [mc^2/\gamma]^v_0 </math>
:::<math> = \gamma mc^2 - mc^2 </math><br />

따라서<br />
:<math> K.E. = (\gamma-1)mc^2 </math>.<br />

여기서 K. E. + 정지질량에너지 = 총 에너지 = <math>\gamma mc^2</math>라 볼 수 있으므로( <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>이다.)
<br />
∴ 정지질량에너지 = mc²으로 볼 수 있다. 그러므로 <math>E=mc^2</math>은 성립한다.

== 같이 보기 ==
* [[관성]]
* [[결합 에너지]]
* [[로런츠 변환]]

{{상대론}}

[[분류:특수 상대성이론]]
[[분류:방정식]]
[[분류:질량]]
[[분류:에너지]]
[[분류:알베르트 아인슈타인]]
[[분류:1905년 과학]]