질량껍질 문서 원본 보기

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{{양자장론}}
[[특수 상대성 이론]]에서 '''질량껍질'''(質量-, {{lang|en|mass shell}}) 또는 '''질량 쌍곡면'''(質量雙曲面, {{lang|en|mass hyperboloid}})은 주어진 [[질량]]을 가진 입자가 가질 수 있는 [[4차원 운동량]]의 집합이다. 상대론에서는 4차원 운동량 ''k''와 질량 ''m''과는 <math>k^2=m^2</math>라는 관계가 성립하기 때문에, 질량껍질은 <math>\{k\in\mathbb R^{1,3}: k^2=m^2\}</math>이다.

[[양자장론]]에서는 실재(實在) 입자는 질량껍질 위에 있어야 하지만, [[불확정성 원리]]에 따라 단시간에만 존재하는 [[가상 입자]]는 질량껍질 위에 있을 필요는 없다. 즉 [[경로적분]]에서는 질량껍질 위의 운동량뿐만 아니라, 모든 임의의 4차원 운동량을 걸쳐 적분한다. 마찬가지로 [[파인먼 도형]]에서는 바깥다리(external leg)의 입자는 질량껍질 위에 있어야만 하지만, 도형 안에만 존재하는 가상입자는 임의의 운동량을 가질 수 있다. 다만 [[전파인자]]에 따라 운동량이 질량껍질에서 멀어질수록 그 가상 입자의 확률도 작아진다.

== 자유도 ==
양자장의 '''껍질 위 자유도'''({{lang|en|on-shell degrees of freedom}})는 질량껍질 위에 존재하는 고전적인 진동 모드의 수이고, '''껍질 밖 자유도'''({{lang|en|off-shell degrees of freedom}})는 질량껍질 밖에 존재하는 (고전적 [[운동 방정식]]을 만족하지 않는) 성분도 포함한다. 즉,
:껍질 위 자유도 = 장의 성분 수 &minus; 게이지 변환 성분 수 &minus; 운동 방정식에 의한 제약의 수
:껍질 밖 자유도 = 장의 성분 수 &minus; 게이지 변환 성분 수
이다. 예를 들어, [[광자]]의 경우 [[4차원 벡터]]로 나타내므로 그 장은 4개의 성분을 가지고, 또한 하나의 [[게이지 변환]]을 가지므로 껍질 밖 자유도는 세 개이다. 여기에 [[맥스웰 방정식]]에 의한 제약을 빼면 두 개의 껍질 위 자유도를 가지는 것을 알 수 있다. 이는 전자기파의 두 개의 [[편광]] 모드에 해당한다.

마찬가지로, [[중력자]]의 경우 4×4 대칭 텐서로 나타내므로 총 10개의 성분을 가진다. 그러나 중력자는 [[미분동형사상]]을 게이지 변환으로 가지므로 껍질 밖 자유도는 6개이다. 여기에 [[아인슈타인 방정식]]에 의한 제약을 빼면 두 개의 껍질 위 자유도를 가진다.

일반적으로, <math>D</math>차원 [[시공간]]에서 각종 장들의 자유도는 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|제목={{lang|en|Lectures on supergravity}}
|이름=Friedemann|성=Brandt|arxiv=hep-th/0204035|bibcode=2002ForPh..50.1126B|doi=10.1002/1521-3978(200210)50:10/11%3C1126::AID-PROP1126%3E3.0.CO;2-B
|저널={{lang|de|Fortschritte der Physik}}|권=50|호=10–11|쪽=1126–1172|날짜=2002-10|언어=en
}}</ref>
{| class="wikitable"
|-
! 입자 종류 !! 껍질 밖 자유도 !! 껍질 위 자유도
|-
| 실수 스칼라 || 1 || 1
|-
| 복소 스칼라 || 2 || 2
|-
| 디랙 [[스피너]] || <math>2^{\lfloor D/2\rfloor+1}</math> || <math>2^{\lfloor D/2\rfloor}</math>
|-
| 바일 또는 마요라나 [[스피너]] || <math>2^{\lfloor D/2\rfloor}</math> || <math>2^{\lfloor D/2\rfloor-1}</math>
|-
| 마요라나-바일 [[스피너]] || <math>2^{\lfloor D/2\rfloor-1}</math> || <math>2^{\lfloor D/2\rfloor-2}</math>
|-
| [[게이지 보손]] || <math>D-1</math> || <math>D-2</math>
|-
| <math>p</math>차 [[미분형식 전기역학|미분형식 게이지장]] || <math>\binom{D-1}p</math> || <math>\binom{D-2}p</math>
|- 
| [[프로카 방정식|유질량 벡터 보손]] || <math>D</math> || <math>D-1</math>
|-
| [[그래비티노]] || 스피너 자유도 <math>\times (D-1)</math> || 스피너 자유도 <math>\times(D-3)</math>
|-
| [[중력자]] || <math>D(D-1)/2</math> || <math>(D-3)D/2</math>
|-
|}
<math>D=2(p+1)</math>차원에 존재하는 ''p''차 미분형식 퍼텐셜의 경우, <math>F_{p+1}=\pm*F_{p+1}</math>과 같은 조건을 부여할 수 있다. (예를 들어, IIB형 초중력의 4차 미분형식 [[라몽-라몽 장]]이 이와 같다.) 이 경우 자유도는 위 표의 값의 절반이 된다.

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:특수 상대성이론]]
[[분류:양자장론]]