진자 문서 원본 보기

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[[파일:Simple gravity pendulum.svg|섬네일|300px]]
'''진자'''(振子, pendulum)는 진동자의 준말로 고정된 한 축이나 점의 주위를 일정한 주기로 진동하는 추이다. 단진자는 실의 맨 끝에 추를 달아서 연직면 내에서 진동하게 만든 것이며, 중력에 의해 평형점을 중심으로 진동운동을 반복한다. 주로 진자 시계에 이용되었으며, 가속도계와 지진계 등의 과학 도구에 사용되고 있다.

== 수학적 설명 ==
이상적인 진자의 운동은 다음 [[미분방정식]]의 형태로 표현된다.

<math>\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0</math>

이때 이상적인 진자란, 다음의 전제를 포함한다.

* 줄의 질량은 무시할 수 있을 정도로 작다.
* 추는 부피가 없는 하나의 질점으로 취급한다.
* 운동은 2차원에서만 일어난다.
* 저항이나 마찰력에 의해 에너지 손실이 없다.
* 균일한 중력장 속에서의 운동이다.
* 축은 움직이지 않는다.

=== 방정식의 유도 ===
[[파일:Pendulum.PNG|섬네일|진자에 작용하는 힘]]
오른쪽 그림과 같이 진자의 추에는 중력과 장력이 작용한다. 두 힘의 합력은 다음과 같이 나타난다.

<math>-mg\sin\theta</math>

한편, 미소 거리 <math>dx</math>는 미소 각 <math>d\theta</math>와 다음의 관계를 가진다.

<math>dx = ld\theta</math>

이때 <math>l</math>은 변하지 않기 때문에, 한 번 더 미분하면 다음 관계를 얻는다.

<math>d^2x = ld^2\theta</math>

따라서 뉴턴의 제 2법칙(<math>F = ma = m\frac{d^2x}{dt^2}</math>)에 의해,

<math>-mg\sin\theta = m\frac{ld^2\theta}{dt^2}</math>

정리하여 다음을 얻는다.

<math>\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0</math>


=== 진폭이 작은 진자의 운동 ===
진자의 운동을 기술하는 식 <math>\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0</math>에서, 진폭, 즉 각이 작다면 <math>\sin\theta \approx\theta</math>로 어림이 가능하다. 따라서 다음 식을 얻게 된다.

<math>\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\theta=0</math>

위 식은 단순 조화 운동의 방정식이다. 이 방정식의 해는 다음 꼴로 나타난다.
<math>\theta(t) = A\sin(\omega{}t - \phi)</math>

이때 각속도 <math>\omega = \sqrt{g/l}</math> 이고, 진폭 <math>A</math>와 위상 <math>\phi</math>는 진자의 초기 위치와 속도에 의해 결정되는 값이다.

===진동 주기===
진폭이 작을 때, 진자의 [[진동 주기]] <math>T</math>는 <math>2\pi / \omega</math>로 구해진다.

<math>T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}</math>

즉, 진자의 주기는 [[중력가속도]] <math> g </math>와 줄의 길이 <math> l </math>에만 의존하고, 추의 무게와는 관련이 없다.

진폭이 클 때, 주기는 진폭에 따라 점차 증가한다. 실제 주기는 여러 형태로 표현될 수 있으며 아래는 한가지 예이다.
:<math>
T = 2\pi \sqrt{L\over g} \left( 1+ \frac{1}{16}\theta_0^2 + \frac{11}{3072}\theta_0^4 + \cdots \right)
</math>

== 같이 보기 ==
[[조화 진동자]]

{{전거 통제}}

[[분류:고전역학]]
[[분류:진자| ]]