진약수의 합 문서 원본 보기

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[[정수론]]에서, 양의 정수 ''n'' 에 대한 '''진약수의 합''' ''s''( ''n'' )은, ''n''의 자기 자신을 제외한 ''n'' 에 대한 모든 약수(진약수)의 합이다. 이를 수식으로 표현하면,

: <math>s(n)=\sum\nolimits_{d|n,\ d\ne n}d.</math>

[[소수 (수론)|소수]], [[완전수]], [[사교수]], [[부족수]], [[과잉수]], [[불가촉 수]]를 묘사할 수 있으며, 진약수의 합 수열을 정의하는 데 사용할 수 있다.

== 예시 ==
예를 들어, 12의 진약수(즉, 12를 제외한 12의 양의 약수)는 1, 2, 3, 4, 6이므로, 12에 대한 진약수의 합은 16이다. (1 + 2 + 3 + 4 + 6).

''n'' = 1, 2, 3, ...에 대한 ''s''(''n'')의 값은 다음과 같다.

: 0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ... {{OEIS|A001065}}

== 숫자들 집단의 특징화 ==
진약수의 합은 특정 숫자 집단을 묘사하는 데 사용할 수 있다.

* 1은 진약수의 합이 0인 유일한 수다. 어떤 숫자가 진약수의 합이 1인 경우에만 [[소수 (수론)|소수]]다.{{R|pp}}
* [[완전수]]는 진약수의 합이 자기 자신과 같고, [[부족수]]는 진약수의 합이 자기 자신보다 작으며, [[과잉수]]는 진약수의 합이 자기 자신보다 크다.{{R|pp}}
* [[준완전수]](이러한 수가 존재하는 경우)는 진약수의 합이 ''n&nbsp;+&nbsp;1'' 과 같은 숫자 ''n 이다''. 근완전수 (2의 거듭제곱 포함되며, 지금까지 알려진 유일한 숫자)는 진약수의 합이 ''n&nbsp;&#x2212;&nbsp;1'' 과 같은 숫자 ''n''이다.{{R|pp}}
* [[불가촉 수]]는 진약수의 합의 값으로 표현할 수 없는 수이다. 적어도 2와 5는 진약수의 합의 결과로 나올 수 없다고 관찰한 연구 Abu Mansur al-Baghdadi (서기 1000년경)도 있다.{{R|pp|s}} 그리고 [[에르되시 팔|Paul Erdős]]는 불가촉 수가 무한하다는 것을 증명했다.{{R|e}} 5가 진약수의 합으로 유일하게 건드릴 수 없는 홀수라는 추측은 아직 증명되지 않았지만, 준소수 ''pq에'' 대해 진약수의 합은 ''p'' + ''q'' + 1이라는 관찰과 함께 [[골드바흐의 추측|Goldbach의 추측]] 형식에서 따를 것이다.{{R|pp}}

{{하버드 인용 본문|Pollack|Pomerance|2016}}에서 수학자 Erdős의 "가장 좋아하는 조사 주제" 중 하나가 진약수의 합이라고 언급했다.

== 반복 ==
음이 아닌 정수 ''n'' 에 대한 진약수의 합 함수를 반복하면, 진약수의 합 수열 ''n'', ''s'' (''n''), ''s''(''s''(''n'')), ...이 생성된다 (이 수열에서는 ''s'' (0) = 0을 정의한다). 이러한 수열이 항상 [[소수 (수론)|소수]]로 끝나는지, [[완전수]]인지, [[사교수]]의 주기적인 수열로 끝나는지는 알 수 없다.<ref>{{매스월드|제목=Catalan's Aliquot Sequence Conjecture}}</ref>

== 관련 정보 ==

* [[약수 함수]] : 숫자의 (''x'' 의 거듭제곱) 양의 약수의 합
* William of Auberive, 진약수의 합에 관심이 있는 중세시대의 수비학자

== 같이 보기 ==
* [[약수 함수]]
== 각주 ==
{{각주|refs=<ref name=e>{{인용
 | last = Erdős | first = P. | authorlink = Paul Erdős
 | journal = Elemente der Mathematik
 | mr = 0337733
 | pages = 83–86
 | title = Über die Zahlen der Form <math>\sigma(n)-n</math> und <math>n-\phi(n)</math>
 | url = https://users.renyi.hu/~p_erdos/1973-27.pdf
 | volume = 28
 | year = 1973}}</ref>

<ref name=pp>{{인용
 | last1 = Pollack | first1 = Paul
 | last2 = Pomerance | first2 = Carl | author2-link = Carl Pomerance
 | doi = 10.1090/btran/10
 | journal = Transactions of the American Mathematical Society
 | mr = 3481968
 | pages = 1–26
 | series = Series B
 | title = Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function
 | volume = 3
 | year = 2016| doi-access = free
 }}</ref>

<ref name=s>{{인용
 | last = Sesiano | first = J.
 | issue = 3
 | journal = Archive for History of Exact Sciences
 | jstor = 41133889
 | mr = 1107382
 | pages = 235–238
 | title = Two problems of number theory in Islamic times
 | volume = 41
 | year = 1991
 | doi = 10.1007/BF00348408| s2cid = 115235810
 }}</ref>}}

== 외부 링크 ==

* {{매스월드|id=RestrictedDivisorFunction|제목=Restricted Divisor Function}}

[[분류:완전수]]
[[분류:수론적 함수]]