진비엘 대수 문서 원본 보기

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[[추상대수학]]에서, '''진비엘 대수'''({{llang|en|Zinbiel algebra}})는 [[라이프니츠 대수]]의 [[코쥘 쌍대성|코쥘 쌍대]]가 되는 [[대수 구조]]이다.<ref name="Loday01">{{서적 인용| first=Jean-Louis | last=Loday | authorlink=장루이 로데| title=Dialgebras and related operads | publisher=Springer-Verlag | series=Lecture Notes in Mathematics | year=2001 | url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0333/ | doi=10.1007/b80864 | volume=1763 | isbn= 978-3-540-42194-8 | 언어=en }}</ref>{{rp|7–66}}<ref>{{서적 인용 | 성=Zinbiel | 이름=Guillaume W. | editor1-last=Guo | editor1-first=Li | editor2-last=Bai | editor2-first=Chengming | editor3-last=Loday | editor3-first=Jean-Louis | title=Operads and universal algebra | url=http://www.worldscibooks.com/mathematics/8222.html | series=Nankai Series in Pure, Applied Mathematics and Theoretical Physics | isbn=9789814365116 | year=2012 | volume=9 | chapter=Encyclopedia of types of algebras 2010 | arxiv=1101.0267 | pages=217–298 | bibcode=2011arXiv1101.0267Z | 확인날짜=2020-02-22 | 보존url=https://web.archive.org/web/20120511192410/http://www.worldscibooks.com/mathematics/8222.html | 보존날짜=2012-05-11 | url-status=dead }}</ref>

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 '''진비엘 대수'''는 다음과 같은 데이터로 정의된다.
* <math>K</math>-[[가군]] <math>A</math>
* <math>K</math>-쌍선형 [[이항 연산]] <math>(\star)\colon A\otimes_KA\to A</math>
이 데이터는 다음과 같은 '''진비엘 항등식'''을 만족시켜야 한다.
:<math>(a\star b)\star c=a\star(b\star c)+a\star(c\star b)</math>

== 성질 ==
진비엘 대수 <math>(A,\star)</math>에 다음과 같은 곱셈을 부여하면, 이는 [[가환환|가환]] [[결합 대수]]를 이룬다.
:<math>ab = a\star b+b\star a</math>
즉, 진비엘 대수는 추가 구조를 갖춘 가환 결합 대수로 여길 수 있다. (이는 [[리 대수]]가 [[라이프니츠 대수]]의 특수한 경우라는 사실의 [[코쥘 쌍대성|코쥘 쌍대]]이다.) 특히, 만약 <math>\tfrac12\in K</math>라면, 반대칭 괄호
:<math>[a,b] = a\star b-b\star a</math>
를 정의하여
:<math>a\star b=\frac12(ab+[a,b])</math>
를 정의하여, 진비엘 대수를 위와 같은 반대칭 괄호를 갖춘 가환 결합 대수로 생각할 수 있다. 이 경우, 반대칭 괄호는
:<math>[a,b]c+[ab,c]+[[a,b],c] = 2[a,bc]+abc</math>
를 따른다. (특히, 괄호를 모두 0으로 놓을 수 없다.)

== 예 ==
체 위에서, 벡터 공간 <math>V</math>로 생성되는 자유 진비엘 대수는 등급 벡터 공간으로서 축소 [[텐서 대수]] (즉, 상수항을 생략한 것)
:<math>V \oplus V\otimes V\oplus V\otimes V\otimes V\oplus\dotsb </math>
이다. 이에 대응되는 가환 결합 대수 구조는 [[셔플 대수]]의 것이다.

== 역사 ==
[[장루이 로데]]가 1995년에 고안하였다.<ref>{{저널 인용| first=Jean-Louis | last=Loday | authorlink=장루이 로데| title=Cup-product for Leibniz cohomology and dual Leibniz algebras | journal=Mathematica Scandinavica | year=1995|url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0015/cup_product.pdf | volume= 77 | issue=2 | pages=189–196 |doi=10.7146/math.scand.a-12560|언어=en}}</ref> “진비엘 대수”({{llang|fr|algèbre de Zinbiel}})라는 이름은 장미셸 르메트르({{llang|fr|Jean-Michel Lemaire}})가 최초로 사용하였으며,<ref name="Loday01"/> [[라이프니츠 대수]]의 “[[고트프리트 라이프니츠|라이프니츠]]”({{llang|de|Leibniz}})의 철자를 뒤집은 것이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Zinbiel algebra}}

[[분류:대수 구조]]
[[분류:리 대수]]