직합 문서 원본 보기

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'''직합'''(直合, {{llang|en|direct sum}})은 [[추상대수학]]에서 여러 개의 [[아벨 군]](혹은 [[가군]])을 합쳐서 더 큰 아벨 군(혹은 가군)을 만드는 연산으로, [[직접곱]]의 쌍대 개념이다. 가군들의 직합은 [[쌍대곱|여곱]], 즉 그 가군들을 부분가군으로 포함하는 가장 작은 가군과 같다.

== 벡터 공간 및 아벨 군의 직합 ==
먼저 간단하게 두 벡터 공간의 직합 및 두 아벨 군의 직합을 정의해 보자. 더 일반적인 경우는 그 아래에서 다룬다.

=== 벡터 공간 ===
V와 W가 [[체 (수학)|체]] K 위의 [[벡터 공간]]일 때, 두 공간의 [[곱집합]] V × W에 연산을 정의해서 K 위의 벡터 공간으로 만들자. 임의의 V의 원소 v, v<sub>1</sub>, v<sub>2</sub>와 W의 원소 w, w<sub>1</sub>, w<sub>2</sub> 및 K의 원소 α에 대해,
*(v<sub>1</sub>, w<sub>1</sub>) + (v<sub>2</sub>, w<sub>2</sub>) = (v<sub>1</sub> + v<sub>2</sub>, w<sub>1</sub> + w<sub>2</sub>)
*α(v, w) = (αv, αw)
로 정의하면 이는 벡터 공간이 되며, 이를 V와 W의 '''직합'''이라 한다. 이를 기호로는 <math>V \oplus W</math>로 표시한다.

V ⊕ W의 부분공간 V × {0}은 V와 동형이며, 많은 경우 이를 V와 같은 것으로 취급한다. ({0} × W와 W의 경우도 마찬가지.) 이렇게 하면 V ⊕ W의 모든 원소는 V의 원소 하나와 W의 원소 하나의 합으로 일의적으로 나타낼 수 있다. V ⊕ W의 차원은 V의 차원과 W의 차원을 합한 것 같다. 이 정의는 유한 개의 벡터 공간들의 직합으로 간단히 일반화할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[분해 불가능 대상]]
* [[합성열]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Direct sum}}
* {{매스월드|id=DirectSum|title=Direct sum}}
* {{매스월드|id=ModuleDirectSum|title=Module direct sum}}

{{선형대수학}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:가군론]]