직접곱 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수학]]에서 '''직접곱'''(直接곱, {{llang|en|direct product}})은 여러 개의 [[대수 구조]]들의 [[곱집합]] 위에 표준적으로 정의되는 대수 구조이다. 예를 들어, 여러 [[군 (수학)|군]]들의 직접곱이나 [[가군]]들의 직접곱을 정의할 수 있다.

== 정의 ==
같은 부호수 <math>\sigma</math>의 [[대수 구조]]들의 집합 <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>의 '''직접곱'''
:<math>\prod_{i\in I}A_i</math>
는 다음과 같은 <math>\sigma</math>-대수 구조이다.
* [[집합]]으로서, <math>\prod_{i\in I}A_i</math>는 <math>A_i</math>들의 [[곱집합]]이다.
* <math>\sigma</math>의 각 <math>n</math>항 연산 <math>m</math>은 <math>\textstyle\prod_{i\in I}A_i</math> 위에 성분별로 정의된다. 즉, 구체적으로 다음과 같다.
::<math>\left(m_{\prod_{i\in I}A_i}(a^{(1)},a^{(2)},\dots,a^{(n)})\right)_i=m_{A_i}(a_i^{(1)},a^{(2)}_i,\dots,a^{(n)}_i)\qquad\forall i\in I,\,\forall a^{(1)}\dots,a^{(n)}\in\prod_{i\in I}A_i</math>
유한 개의 대수 구조들의 직접곱의 경우,
:<math>\prod_{i=1}^kA_i=A_1\times A_2\times\cdots\times A_k</math>
와 같이 쓴다.

[[대수적 구조 다양체]]의 범주에서, 이는 [[곱 (범주론)|범주론적 곱]]과 같다.

== 예 ==
=== 군의 직접곱 ===
[[군 (수학)|군]]의 경우, 직접곱은 [[반직접곱]]의 특수한 경우다. 즉, 반직접곱 <math>N\rtimes_\phi H</math>에서, [[군의 작용]] <math>\phi\colon H\to\operatorname{Aut}(N)</math>이 자명한 작용([[항등 함수]])라면, 이는 직접곱이 된다.

유한 개의 아벨 군들의 직접곱은 [[직합]]과 같다. 그러나 무한 개의 [[아벨 군]]들의 직접곱은 같은 아벨 군들의 직합과 일반적으로 다르며, 직합은 직접곱의 부분군을 이룬다.

=== 가군의 직접곱 ===
주어진 [[환 (수학)|환]]에 대한 (좌) [[가군]]의 경우, 유한 개의 직접곱은 [[직합|직합과]] 같다. 그러나 무한 개의 가군들의 직접곱은 일반적으로 같은 가군들의 직합과 다르며, 직합은 직접곱의 부분 가군을 이룬다.

=== 집합의 직접곱 ===
자명한 [[대수 구조]]로 간주하였을 때, 집합의 직접곱은 [[곱집합]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[반직접곱]]
* [[곱 (범주론)]]
* [[직합]]
* [[자유곱]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자링크=서지 랭|이름=Serge|성=Lang|제목=Algebra|판=3|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=211|출판사=Springer|zbl=0984.00001|mr=1878556|날짜=2002|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|isbn=978-1-4612-6551-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Direct product}}
* {{매스월드|id=DirectProduct|title=Direct product}}
* {{매스월드|id=GroupDirectProduct|title=Group direct product}}
* {{매스월드|id=RingDirectProduct|title=Ring direct product}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/direct+product|제목=Direct product|웹사이트=nLab|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:추상대수학]]
[[분류:군론]]