직선과 직선 사이의 거리 문서 원본 보기

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'''직선과 직선 사이의 거리'''는 [[평행]]한 두 직선 사이의 [[평면]]상에서 최단 거리를 말한다.

== 유도와 공식 ==

=== 유도와 공식1 ===
평행한 두 직선의 방정식을 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다..

: <math>y = mx+b_1\,</math>
: <math>y = mx+b_2</math>

두 직선이 평행하다고 가정했기 때문에, 한 직선에 수직한 선은 다른 한 직선에도 수직이다. 이 때 여러 수직선이 가능한데, 원점을 지나는 수직선을 잡아보자. 이 수직선의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: <math>y = -x/m </math>

두 직선 사이의 거리는 이 수직선이 두 직선과 만드는 교점 사이의 거리와 같다. 수직선과 두 직선 사이의 교점은 다음의 두 이원일차[[연립방정식]]을 풀어서 알 수 있다.

: <math>\begin{cases}
y = mx+b_1 \\
y = -x/m
\end{cases}</math>

: <math>\begin{cases}
y = mx+b_2 \\
y = -x/m
\end{cases}</math>

계산을 통해 얻은 교점은 다음과 같다.

: <math>\left( x_1,y_1 \right)\ = \left( \frac{-b_1m}{m^2+1},\frac{b_1}{m^2+1} \right)</math>

: <math>\left( x_2,y_2 \right)\ = \left( \frac{-b_2m}{m^2+1},\frac{b_2}{m^2+1} \right)</math>

따라서 두 점 사이의 거리는 [[피타고라스 정리]]를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다. 

: <math>d = \sqrt{\left(\frac{b_1m-b_2m}{m^2+1}\right)^2 + \left(\frac{b_2-b_1}{m^2+1}\right)^2}</math>

이를 정리하면 다음과 같다.

: <math>d = \frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{m^2+1}}</math>

=== 공식2 ===
두 직선의 방정식을 각각 다음과 같이 써보자.

: <math>ax+by+c_1=0\,</math>
: <math>ax+by+c_2=0</math>

그러면 위에서 구한 공식에 새로 정의한 상수를 집어넣으면 다음과 같이 정리된다.

: <math>d = \frac{|c_2-c_1|}{\sqrt {a^2+b^2}}.</math>

== 같이 보기 ==
* [[점과 직선 사이의 거리]]

== 참고 문헌 ==

* ''Abstand'' In: ''Schülerduden – Mathematik II''. Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, 2004, {{ISBN|3-411-04275-3}}, pp. 17-19 (German)
* Hardt Krämer, Rolf Höwelmann, Ingo Klemisch: ''Analytische Geometrie und Lineare Akgebra''. Diesterweg, 1988, {{ISBN|3-425-05301-9}}, p. 298 (German)

[[분류:유클리드 기하학]]
[[분류:거리]]