직선 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|직접 선거||선거 방식}}
[[파일:FuncionLineal01.svg|섬네일|[[직교 좌표 평면]] 위의 직선([[일차 함수]])의 예. 빨간 직선과 파란 직선은 [[기울기]]가 같고, 빨간 직선과 초록 직선은 ''y''절편이 같다.]]
{{기하학}}

[[기하학]]에서 '''직선'''(直線, {{llang|en|(straight) line}})은 곧게 뻗은 선을 추상화한 개념이다. 직관에 가장 가까운 [[유클리드 기하학]]은 직선에 정의를 두지 않으며, 대신 그 성질을 나타내는 공리를 세워 기술한다. 이 경우 직선은 점이 서로 반대인 두 방향으로 휘지 않고 무한히 뻗어나가 얻는 1차원 도형으로 해석된다. 유클리드 기하학의 표준 모형인 [[해석기하학]]에서 직선은 [[연립 일차 방정식]]의 특수한 경우로 주어진다. [[사영 평면]]의 직선은 유클리드 기하학의 직선에 [[무한원점]] 하나를 보탠 경우와 모든 무한원점으로 이루어진 직선([[무한원직선]])의 경우로 나뉘며, 3차원 공간의 고정된 점을 포함하는 평면들로 해석할 수도 있다. [[미분기하학]]에서 직선은 [[측지선]]의 개념을 통해 기술할 수 있다. [[결합기하학]]은 직선을 점들의 집합으로 생각하는 대신 점이 놓였는지(점을 지나는지)에 대한 관계를 논할 수 있는, 점과는 독립된 대상으로 간주한다.

== 정의 ==
[[유클리드 기하학]]을 처음 다룬 《[[에우클레이데스의 원론|원론]]》은 선을 "길이가 있되 너비가 없다"고 정의한 뒤 직선을 "그 위의 점이 평등히 놓인 선"이라고 정의하지만, 이는 오늘날의 기준에서 정의에 속하지 않는다. 직선을 기술하는 공리들 역시 정의되지 않은 용어를 사용한다는 점에서 엄밀하지 않다. [[힐베르트 공리계]]는 점과 직선의 관계에 대한 공리의 엄밀한 서술과 직선이 만족시켜야 하는 [[아르키메데스 성질]] 및 [[완비 거리 공간|완비성]]을 추가하여 유클리드 기하학을 엄밀화하였다. 3차원 [[직교 좌표 공간]] <math>\mathbb R^3</math> (또는 <math>\mathbb E^3</math>)은 유클리드 기하학의 모든 공리를 만족시키는 가장 통용되는 모형이며, 이 모형에서 직선을 비롯한 개념들을 [[직교 좌표계]]를 도구로 사용하여 [[대수학]]적으로 다룰 수 있다. 즉, 직교 좌표 공간 위의 점은 그 좌표와 일대일 대응하며, 직선은 어떤 [[일차 방정식]](들)을 만족시키는 좌표에 대응하는 점의 집합으로 해석할 수 있다. 더 추상적인 관점에서, 유클리드 기하학의 직선은 [[실수선]]과 동형인 [[거리 공간]]을 뜻하며, 이는 [[직교 좌표 평면]] 또는 [[직교 좌표 공간]] 또는 고차원 [[유클리드 공간]]에 매장된 경우를 포함한다.

== 평면 직선 ==
=== 방정식 ===
{{참고|일차 방정식#이변수 일차 방정식}}
[[직교 좌표계]] (또는 [[극좌표계]])를 갖춘 [[평면]] 위의 직선은 매개 변수를 사용하지 않는다면 하나의 이변수 일차 방정식으로 표현되며, 이러한 방정식에는 여러 가지 꼴이 있다. 가장 일반적인 형식은 다음과 같다.
:<math>Ax+By+C=0</math>
여기서 <math>(A,B)\ne(0,0)</math>이다. 모든 직선은 이러한 꼴의 방정식을 갖는다. [[기울기]]가 <math>m</math>, [[y절편|''y''절편]]이 <math>n</math>인 직선의 방정식은
:<math>y=mx+n</math>
이다. 수직선은 이러한 꼴의 방정식을 갖지 못한다. 점 <math>(x_1,y_1)</math>을 지나고 기울기가 <math>m</math>인 직선의 방정식은
:<math>y-y_1=m(x-x_1)</math>
이다. 수직선은 이렇게 나타낼 수 없다. 두 점 <math>(x_1,y_1)\ne(x_2,y_2)</math>을 지나는 직선의 방정식은
:<math>(y-y_1)(x_2-x_1)=(x-x_1)(y_2-y_1)</math>
이다. 이는 모든 직선에 적용할 수 있다. [[x절편|''x''절편]]이 <math>x_0\ne0</math>, ''y''절편이 <math>y_0\ne0</math>인 직선의 방정식은
:<math>x/x_0+y/y_0=1</math>
이다. 수평선이나 수직선이나 원점을 지나는 직선은 이러한 방정식을 가질 수 없다. 직선에 극좌표 방정식을 줄 수도 있다. 기울기와 절편을 사용하면
:<math>r\sin\theta=mr\cos\theta+n</math>
와 같은 꼴을 얻으며, 두 절편을 사용하면
:<math>1/r=\cos\theta/x_0+\sin\theta/y_0</math>
와 같은 꼴을 얻는다. 직선은 매개 변수 방정식이나 벡터 방정식으로 나타낼 수도 있으며, 이는 고차원 공간에서도 마찬가지다. 점 <math>P=(x_1,y_1)</math>를 지나고 [[방향 벡터]]가 <math>\mathbf u=(a,b)\ne(0,0)</math>인 직선은 매개 변수 방정식
:<math>\begin{matrix}x=x_1+at\\y=y_1+bt\end{matrix}\qquad(t\in\mathbb R)</math>
또는 매개 변수 벡터 방정식
:<math>\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+t\mathbf u\qquad(t\in\mathbb R)</math>
를 만족시키는 점 <math>Q=(x,y)</math>의 집합과 같다. 평면 직선의 한 가지 특수한 경우는 좌표축에 평행하는 직선이다. 점 <math>(x_1,y_1)</math>를 지나는 수직선(<math>y</math>축에 평행하는 직선)(<math>x</math>축에 수직인 직선)의 방정식은 <math>x=x_1</math>이다. 점 <math>(x_1,y_1)</math>를 지나는 수평선(<math>x</math>축에 평행하는 직선)(<math>y</math>축에 수직인 직선)의 방정식은 <math>y=y_1</math>이다.

=== 기울기와 절편 ===
평면 직선의 각종 방정식의 계수를 사용하여 직선의 각종 속성을 나타내는 공식은 다음과 같다. (분모가 0일 경우 존재하지 않는다고 생각하거나 무한대라고 생각할 수 있다.)
:{| class="wikitable"
! 직선의 방정식
| <math>Ax+By+C=0</math>
| <math>y=mx+n</math>
| <math>x/x_0+y/y_0=1</math>
|-
! 기울기
| <math>-A/B</math>
| <math>m</math>
| <math>-y_0/x_0</math>
|-
! ''x''절편
| <math>-C/A</math>
| <math>-n/m</math>
| <math>x_0</math>
|-
! ''y''절편
| <math>-C/B</math>
| <math>n</math>
| <math>y_0</math>
|}

=== 두 직선의 위치 관계 ===
평면 위의 두 직선의 위치 관계는 일치·평행·교차 세 가지뿐이다. 즉, 완전히 겹치거나, 교점이 없거나, 교점이 유일하다. 이는 더 높은 차원에서는 성립하지 않는다. 교차할 경우 [[수직]]인지(둘 사이의 각이 [[직각]]인지)를 논할 수도 있다. 각 위치 관계의 필요충분조건은 방정식의 계수를 통해 나타낼 수 있으며, 이는 다음과 같다.
:{| class="wikitable"
! 직선의 방정식
| <math>Ax+By+C=0</math>
| <math>y=mx+n</math>
| <math>\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+t\mathbf u</math>
|-
! 직선의 방정식
| <math>A'x+B'y+C'=0</math>
| <math>y=m'x+n'</math>
| <math>\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP'}+t\mathbf u'</math>
|-
! 일치
| <math>AB'=BA'</math>, <math>BC'=CB'</math>
| <math>m=m'</math>, <math>n=n'</math>
| <math>\mathbf u\parallel\mathbf u'\parallel\overrightarrow{PP'}</math>
|-
! 평행
| <math>AB'=BA'</math>, <math>BC'\ne CB'</math>
| <math>m=m'</math>, <math>n\ne n'</math>
| <math>\mathbf u\parallel\mathbf u'\nparallel\overrightarrow{PP'}</math>
|-
! 교차
| <math>AB'\ne BA'</math>
| <math>m\ne m'</math>
| <math>\mathbf u\nparallel\mathbf u'</math>
|-
! 수직
| <math>AA'+BB'=0</math>
| <math>mm'=-1</math>
| <math>\mathbf u\perp\mathbf u</math>
|}

== 공간 직선 ==
=== 방정식 ===
3차원 직교 좌표 공간부터는 직선이 낱개의 일차 방정식으로 주어지지 않는다. 이는 추상적인 관점에서 1차원 공간이 더 이상 [[초평면 (수학)|초평면]]이 아니기 때문이다.

점 <math>(x_1,y_1,z_1)</math>를 지나고 벡터 <math>(a,b,c)\ne(0,0,0)</math>와 평행한 직선의 매개 변수 방정식은 다음과 같다.
:<math>\begin{matrix}x=x_1+at\\y=y_1+bt\\z=z_1+ct\end{matrix}\qquad(t\in\mathbb R)</math>
이를 <math>\mathbf u=(a,b,c)</math>, <math>P=(x_1,y_1,z_1)</math>, <math>Q=(x,y,z)</math>와 같이 줄여 쓰면 다음과 같다.
:<math>\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+t\mathbf u\qquad(t\in\mathbb R)</math>
매개 변수를 쓰지 않는 방정식은 다음과 같다.
:<math>\frac{x-x_1}a=\frac{y-y_1}b=\frac{z-z_1}c</math>
단, <math>abc=0</math>인 경우 '1/0'은 '∞'로 이해하여야 하며, '(=)0/0(=)'는 '(∈)R(∋)'로 이해하여야 한다.

직선이 두 평면의 교선일 경우, 직선은 다음과 같이 각각 두 평면을 나타내는 두 일차방정식의 연립으로 나타낼 수 있다.
:<math>A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0</math>
:<math>A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0</math>
이러한 직선의 한 방향 벡터는 <math>(A,B,C)\times(A',B',C')</math>이다.

좌표 평면이나 좌표축에 평행하는 특수한 경우의 직선의 방정식은 다음과 같다.
:{| class="wikitable"
|-
! 지나는 점
! 좌표 평면 또는 좌표축
! 방향 벡터
! (매개 변수 없는) 방정식
|-
| rowspan="6" | <math>(x_1,y_1,z_1)</math>
| ''xy''평면
| <math>\mathbf u=(a,b,0)\ne(0,0,0)</math>
| <math>(x-x_1)/a=(y-y_1)/b</math><br /><math>z=z_1</math>
|-
| ''xz''평면
| <math>\overrightarrow{u}=(a,0,c)\ne(0,0,0)</math>
| <math>(x-x_1)/a=(z-z_1)/c</math><br /><math>y=y_1</math>
|-
| ''yz''평면
| <math>\mathbf u=(0,b,c)\ne(0,0,0)</math>
| <math>(y-y_1)/b=(z-z_1)/c</math><br /><math>x=x_1</math>
|-
| ''x''축
| <math>\mathbf u=(a,0,0)\ne(0,0,0)</math>
| <math>y=y_1</math><br /><math>z=z_1</math>
|-
| ''y''축
| <math>\mathbf u=(0,b,0)\ne(0,0,0)</math>
| <math>x=x_1</math><br /><math>z=z_1</math>
|-
| ''z''축
| <math>\mathbf u=(0,0,c)\ne(0,0,0)</math>
| <math>x=x_1</math><br /><math>y=y_1</math>
|}

=== 두 직선의 위치 관계 ===
3차원 공간 위의 두 직선의 위치 관계는 다음과 같이 네 경우로 나뉜다.
* 일치: 두 직선이 포함하는 점이 완전히 같다.
* 평행: 두 직선이 같은 평면 위에 놓이지만 교점이 없다.
* 교차: 두 직선이 단 하나의 교점을 갖는다.
** 수직: 두 직선이 교차하며, [[직각]]을 이룬다.
* 꼬인 위치: 두 직선이 같은 평면 위에 놓이지 않는다.
고차원의 경우 역시 성립하지만 꼬인 위치가 더 다양한 경우를 포함하게 된다. 3차원 공간 위의 두 직선의 위치 관계의 필요충분조건을 방정식을 통해 나타내면 다음과 같다.<ref name="youcy">{{서적 인용
|저자=尤承业
|제목=解析几何
|날짜=2004-01
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|isbn=978-7-301-04580-0
}}</ref>
:{| class="wikitable"
! 직선의 방정식
| <math>\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+t\mathbf u</math>
| <math>(x-x_1)/a=(y-y_1)/b=(z-z_1)/c</math>
| colspan="2" | <math>A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0</math><br /><math>A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0</math>
|-
! 직선의 방정식
| <math>\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP'}+t\mathbf u'</math>
| <math>(x-x_1')/a'=(y-y_1')/b'=(z-z_1')/c'</math>
| colspan="2" | <math>A_1'x+B_1'y+C_1'z+D_1'=0</math><br /><math>A_2'x+B_2'y+C_2'z+D_2'=0</math>
|-
! 일치
| <math>\mathbf u\parallel\mathbf u'\parallel\overrightarrow{PP'}</math>
| <math>\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b&c\\b'&c'\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\x_1'-x_1&y_1'-y_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b&c\\y_1'-y_1&z_1'-z_1\end{vmatrix}=0</math>
| rowspan="2" | <math>\begin{vmatrix}A_1&B_1&C_1\\A_2&B_2&C_2\\A_1'&B_1'&C_1'\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_1&B_1&C_1\\A_2&B_2&C_2\\A_2'&B_2'&C_2'\end{vmatrix}=0</math>
| rowspan="4" | <math>\begin{vmatrix}A_1&B_1&C_1&D_1\\A_2&B_2&C_2&D_2\\A_1'&B_1'&C_1'&D_1'\\A_2'&B_2'&C_2'&D_2'\end{vmatrix}=0</math>
|-
! 평행
| <math>\mathbf u\parallel\mathbf u'\nparallel\overrightarrow{PP'}</math>
| <math>\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b&c\\b'&c'\end{vmatrix}=0</math>, <math>\lnot\begin{vmatrix}a&b\\x_1'-x_1&y_1'-y_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b&c\\y_1'-y_1&z_1'-z_1\end{vmatrix}=0</math>
|-
! 교차
| <math>\mathbf u\nparallel\mathbf u'</math>, <math>\overrightarrow{PP'}\cdot(\mathbf u\times\mathbf u')=0</math>
| <math>\lnot\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b&c\\b'&c'\end{vmatrix}=0</math>, <math>\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\x_1'-x_1&y_1'-y_1&z_1-z_1'\end{vmatrix}=0</math>
| rowspan="3" | <math>\lnot\begin{vmatrix}A_1&B_1&C_1\\A_2&B_2&C_2\\A_1'&B_1'&C_1'\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_1&B_1&C_1\\A_2&B_2&C_2\\A_2'&B_2'&C_2'\end{vmatrix}=0</math>
|-
! 수직
| <math>\mathbf u\perp\mathbf u</math>, <math>\overrightarrow{PP'}\cdot(\mathbf u\times\mathbf u')=0</math>
| <math>aa'+bb'+cc'=0</math>, <math>\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\x_1'-x_1&y_1'-y_1&z_1-z_1'\end{vmatrix}=0</math>
|-
! 꼬인 위치
| <math>\mathbf u\nparallel\mathbf u'</math>, <math>\overrightarrow{PP'}\cdot(\mathbf u\times\mathbf u')\ne0</math>
| <math>\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\x_1'-x_1&y_1'-y_1&z_1-z_1'\end{vmatrix}\ne0</math>
| <math>\begin{vmatrix}A_1&B_1&C_1&D_1\\A_2&B_2&C_2&D_2\\A_1'&B_1'&C_1'&D_1'\\A_2'&B_2'&C_2'&D_2'\end{vmatrix}\ne0</math>
|}

=== 직선과 평면의 위치 관계 ===
3차원 공간의 직선 <math>l\subset\mathbb R^3</math>과 평면 <math>\Sigma\subset\mathbb R^3</math> 사이에는 다음과 같은 세 가지 위치 관계가 있다.
* <math>l\subset\Sigma</math>: 직선이 평면 위에 놓이는 경우
* <math>l\parallel\Sigma</math>: 직선이 평면에 평행하는 경우
* <math>\#(l\cap\Sigma)=1</math>: 직선이 평면과 교차하는 경우
** <math>l\perp\Sigma</math>: 직선이 평면과 수직인 경우

== 고차원의 경우 ==
직선은 임의의 <math>n</math>차원의 [[유클리드 공간]]까지 일반화할 수 있다. 이 경우에도 매개 변수 방정식이나 [[초평면 (수학)|초평면]]의 교점으로서 기술할 수 있다. 평면 직선의 자유도는 2, 공간 직선의 자유도는 4인데, <math>n</math>차원 유클리드 공간 위의 직선의 자유도는 <math>2(n-1)</math>이다.

== 유클리드 기하학 밖의 경우 ==
[[구면기하학]]의 직선은 [[대원]]이다. [[쌍곡기하학]]의 직선은 [[푸앵카레 모형]]에서 [[원 (기하학)|원]]과 [[직교]]하는 [[호 (기하학)|호]]이다.

== 관련 개념 ==
=== 반직선과 선분 ===
{{본문|반직선}}
[[반직선]]은 직선 위의 점을 기준으로 직선의 한 쪽만을 취하여 얻는다. [[선분]]은 직선의 두 점 사이의 부분을 취하여 얻는다. 예를 들어, 직선의 매개 변수 방정식
:<math>x=x_1+at</math>
:<math>y=y_1+bt</math>
:<math>z=z_1+ct</math>
에서, <math>t\in\mathbb R</math> 대신 <math>t\ge0</math>이나 <math>t\le0</math>을 취하면 점 <math>(x_1,y_1,z_1)</math>을 시작점으로 하는 반직선을 얻는다. 또한 <math>t\in[t',t'']\cup[t',t'']</math>을 취하면 점 <math>(x_1+at',y_1+bt',z_1+ct')</math>와 점 <math>(x_1+at'',y_1+bt'',z_1+ct'')</math>을 양 끝점으로 하는 선분을 얻는다.

=== 접선과 할선 ===
{{본문|접선|할선}}
곡선을 어떤 점에서 스치면서 지나가는 직선을 [[접선]]이라고 한다. 곡선의 어떤 점에서의 접선은 곡선의 그 점 주위의 부분을 [[선형 근사]]한다. 곡선의 접선은 곡선과 유일한 교점을 갖는 직선과 다른 개념이다. [[원 (기하학)|원]]의 접선이 될 필요충분조건은 교점의 유일성이지만, 이는 일반적인 곡선에 대하여 성립하지 않는다. 반면 곡선을 두 번 가로질러 지나가는 직선을 [[할선]]이라고 한다. 접선은 할선이 가로지르는 두 교점이 점차 가까워질 때 가지는 극한이라고 생각할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[반직선]]
* [[선분]]
* [[평행선]]
* [[수직선]]
* [[꼬인 위치]]
* [[각의 이등분선]]
* [[중선]]
* [[수직이등분선]]
* [[접선]]
* [[할선]]
* [[점근선]]
* [[준선]]
* [[오일러 직선]]
* [[심슨 직선]]
* [[파스칼 직선]]
* [[측지선]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Straight line|tran-title=직선}}
* {{매스월드|id=Line|title=Line|tran-title=직선}}
* {{웹 인용|성=Bogomolny|이름=Alexander|제목=Equations of a Straight Line|번역제목=직선의 방정식|url=https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml|작품=Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:초등 기하학]]
[[분류:해석기하학]]
[[분류:수학 개념]]
[[분류:무한]]