직교 여원 격자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조|expanded=격자}}
[[순서론]]에서 '''직교 여원 격자'''(直交餘元格子, {{llang|en|orthocomplemented lattice, ortholattice}})는 [[불 대수]]와 유사한 여원 연산을 갖는 [[유계 격자]]이다. 그러나 불 대수와 달리 [[분배 격자]]일 필요가 없으며, 심지어 [[모듈러 격자]]도 아닐 수 있다.

== 정의 ==
=== 순서 반대 보존성의 동치 조건 ===
[[유계 격자]] <math>(L,\land,\lor,\top,\bot)</math> 위의 함수 <math>\lnot\colon L\to L</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* (순서 반대 보존) 임의의 <math>x,y\in L</math>에 대하여, <math>x\le y</math>라면 <math>\lnot x\ge\lnot y</math>
* ([[드 모르간 법칙]] 1) 임의의 <math>x,y\in L</math>에 대하여, <math>\lnot(x\land y)=\lnot x\lor\lnot y</math>
* ([[드 모르간 법칙]] 2) 임의의 <math>x,y\in L</math>에 대하여, <math>\lnot(x\lor y)=\lnot x\land\lnot y</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''순서 반대 보존 ⇒ [[드 모르간 법칙]] 1:''' 임의의 <math>x,y\in L</math>에 대하여,
:<math>x\land y\le x</math>
:<math>x\land y\le y</math>
이므로
:<math>\lnot(x\land y)\ge\lnot x</math>
:<math>\lnot(x\land y)\ge\lnot y</math>
이다. 따라서, [[상한]]의 정의에 따라
:<math>\lnot(x\land y)\ge\lnot x\lor\lnot y</math>
이다.

'''순서 반대 보존 ⇒ [[드 모르간 법칙]] 2:''' 위의 경우를 쌍대화하면 된다.

'''[[드 모르간 법칙]] 1 ⇒ 순서 반대 보존:''' 임의의 <math>x,y\in L</math>에 대하여, <math>x\le y</math>라고 하자. 그렇다면,
:<math>x=x\land y</math>
이므로
:<math>\lnot x=\lnot(x\land y)=\lnot x\lor\lnot y</math>
이다. 따라서
:<math>\lnot x\ge\lnot y</math>
이다.

'''[[드 모르간 법칙]] 2 ⇒ 순서 반대 보존:''' 위의 경우를 쌍대화하면 된다.
</div></div>

=== 직교 여원 격자 ===
[[유계 격자]] <math>(L,\land,\lor,\top,\bot)</math> 위의 '''직교 여원'''(直交餘元, {{llang|en|orthocomplementation}}) <math>\lnot\colon L\to L</math>은 다음 네 조건들을 만족시키는 [[함수]]이다.<ref name="Birkhoff">{{서적 인용|이름=Garrett|성= Birkhoff|저자링크=개릿 버코프|날짜=1967|제목=Lattice theory|판=3판|권=25|총서=AMS Colloquium Publications|출판사=American Mathematical Society|언어=en}}</ref>{{rp|52, §II.14}}<ref name="BH">{{서적 인용|장=Algebraic aspects of orthomodular lattices|이름=Gunter|성=Bruns|이름2=John|성2=Harding|doi=10.1007/978-94-017-1201-9_2|날짜=2000|장url=https://www.math.nmsu.edu/~jharding/2000%20Algebraic%20Aspects%20of%20OMLs.pdf|제목=Current research in operational quantum logic: algebras, categories, languages|editor1-first=Bob|editor1-last=Coecke|editor2-first=David|editor2-last=Moore|editor3-first=Alexander|editor3-last=Wilce|총서=Fundamental Theories of Physics|권=111|쪽=37–65|issn=0168-1222|출판사=Springer-Verlag|언어=en|access-date=2016-07-06|archive-date=2008-04-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20080418220800/http://www.math.nmsu.edu/~jharding/2000%20Algebraic%20Aspects%20of%20OMLs.pdf}}</ref>{{rp|§2}}
* ([[대합 (수학)|대합]]) 임의의 <math>x\in L</math>에 대하여, <math>\lnot\lnot x=x</math>
* (순서 반대 보존) 임의의 <math>x,y\in L</math>에 대하여, <math>x\le y</math>라면 <math>\lnot x\ge\lnot y</math>
* ([[배중률]]) 임의의 <math>x\in L</math>에 대하여, <math>\lnot x\lor x=\top</math>
* ([[비모순율]]) 임의의 <math>x\in L</math>에 대하여, <math>\lnot x\land x=\bot</math>

'''직교 여원 격자'''({{llang|en|orthocomplemented lattice}})는 직교 여원이 부여된 격자이다. 이들의 모임은 [[대수 구조 다양체]]를 이룬다. 두 직교여원 격자 사이의 '''직교 여원 격자 사상'''({{llang|en|orthocomplemented lattice morphism}}) <math>f\colon L\to L'</math>은 다음 조건들을 만족시키는 [[함수]]이다.
* [[격자 (순서론)|격자]] 사상이다. 즉, 임의의 <math>x,y\in L</math>에 대하여 <math>f(x\land y)=f(x)\land f(y)</math>이며, <math>f(x\lor y)=f(x)\lor f(y)</math>이다.
* 임의의 <math>x\in L</math>에 대하여 <math>f(\lnot x)=\lnot f(x)</math>이다.
이 경우, 임의의 <math>x\in L</math>에 대하여
:<math>f(\top)=f(x\lor\lnot x)=f(x)\lor\lnot f(x)=\top</math>
:<math>f(\bot)=f(x\land\lnot x)=f(x)\land\lnot f(x)=\bot</math>
이므로 이는 자동적으로 [[유계 격자]] 사상이 된다.

=== 가환성 ===
직교 여원 격자 <math>L</math>에서, 두 원소 <math>x,y\in L</math>가 다음 조건을 만족시키면 <math>x</math>가 <math>y</math>와 '''가환한다'''({{llang|en|commute}})고 한다.<ref name="Birkhoff"/>{{rp|52, §II.14}}<ref name="BH"/>{{rp|§2}}
:<math>x=(x\land y)\lor(x\land\lnot y)</math>
이는 <math>x\operatorname{\mathsf C}y</math>로 표기한다.

가환 관계는 일반적으로 [[대칭 관계]]가 아니다. 즉, <math>x\operatorname{\mathsf C}y</math>이라면<math>y\operatorname{\mathsf C}x</math>일 필요는 없다.

직교 여원 격자 <math>L</math>의 두 원소 <math>x,y\in L</math>에 대하여, <math>x\le y</math>라면 <math>x\operatorname{\mathsf C}y</math>이다.<ref name="Birkhoff"/>{{rp|52, Lemma II.14.1}}

=== 직교모듈러 격자 ===
[[파일:Expanded 2-simplex.png|thumb|right|육각형 격자의 [[하세 도형]]]]
직교 여원 격자 <math>L</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 직교 여원 격자를 '''직교모듈러 격자'''({{llang|en|orthomodular lattice}})라고 한다.
* 임의의 <math>x,y\in L</math>에 대하여, <math>x\le y</math>이라면 <math>y\operatorname{\mathsf C}x</math>이다 (즉, <math>x\lor(\lnot x\land y)=y</math>이다).<ref name="BH"/>{{rp|§2}}<ref name="Birkhoff"/>{{rp|53, Theorem II.21}}
* 임의의 <math>x,y\in L</math>에 대하여, <math>x\lor(\lnot x\land(x\lor y))=x\lor y</math>이다.<ref name="BH"/>{{rp|§2}}
* 가환 관계는 [[대칭 관계]]이다. 즉, 임의의 <math>x,y\in L</math>에 대하여, <math>x\operatorname{\mathsf C}y</math>이라면 <math>y\operatorname{\mathsf C}x</math>이다.<ref name="BH"/>{{rp|Proposition 2.2(2)}}<ref name="Birkhoff"/>{{rp|53, Theorem II.21}}
* 임의의 <math>x,y\in L</math>에 대하여, <math>x\operatorname{\mathsf C}y</math>이라면 <math>\lnot x\operatorname{\mathsf C}y</math>이다.<ref name="BH"/>{{rp|Proposition 2.2(3)}}
* 임의의 <math>x,y\in L</math>에 대하여, <math>x\le y</math>이자 <math>\lnot x\land y=\bot</math>이라면 <math>x=y</math>이다.<ref name="BH"/>{{rp|Proposition 2.1(2)}}<ref name="Birkhoff"/>{{rp|54, Exercise II.14.7(i)}}
* 임의의 <math>x,y,z\in L</math>에 대하여, <math>x\le y\le z</math>라면 <math>x\lor(\lnot y\land z)=(x\lor\lnot y)\land z</math>이다.<ref name="Birkhoff"/>{{rp|54, Exercise II.14.7(ii)}}
* 육각형 격자를 부분 격자로 갖지 않는다.<ref name="BH"/>{{rp|Proposition 2.1(3)}}
여기서 '''육각형 격자'''({{llang|en|hexagon lattice}})는 다음과 같은 [[유계 격자]]이다.
:<math>L=\{\bot,a,b,c,d,\top\}</math>
:<math>\bot\le a\le b\le\top</math>
:<math>\bot\le c\le d\le\top</math>

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
모든 [[불 대수]]는 직교 여원 격자이다.

직교여원 격자가 [[분배 격자]]일 필요는 없다.

직교 여원 격자 <math>L</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* [[불 대수]]이다.
* [[분배 격자]]이다.
* 임의의 원소 <math>x\in L</math>에 대하여, <math>c\land x=\bot</math>이며 <math>c\lor x=\top</math>인 <math>c\in L</math>가 유일하게 존재한다. (이는 물론 <math>\lnot x</math>이다.)
* (엘칸 법칙 {{llang|en|Elkan’s law}}) 임의의 <math>x,y\in L</math>에 대하여, <math>\lnot(a\land\lnot b)=b\lor\lnot a\land\lnot b</math><ref>{{저널 인용|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1503-2.pdf|저자={{ruby-ja|近藤 溢血|こんどう みちろう}}|제목=On orthocomplemented lattices with Elkan’s law|저널=数理解析研究所講究録|권=1503|날짜=2006|쪽=10–16|언어=en}}</ref>

모든 [[모듈러 격자|모듈러]] 직교 여원 격자는 직교모듈러 격자이지만,<ref name="Birkhoff"/>{{rp|54, Exercise II.14.6}} (이름과 달리) 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

=== 유일성 ===
주어진 격자 위에 직교 여원이 유일할 필요는 없다. 다만, [[분배 격자]] 위의 직교 여원은 만약 존재한다면 유일하다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[분배 격자]] <math>L</math>의 원소 <math>x,c,c'\in L</math>에 대하여
:<math>x\lor c=x\lor c'=\top</math>
:<math>x\land c=x\land c'=\bot</math>
라고 하자. 그렇다면
:<math>c'=c'\lor\top=c'\land(x\lor c)=(c'\land x)\lor(c'\land c)=\bot\lor(c'\land c)=c'\land c</math>
이다. 따라서
:<math>c'\le c</math>
이다. 마찬가지로 <math>c\le c'</math>임을 보일 수 있으며, 따라서 <math>c=c'</math>이다.
</div></div>
직교 여원을 갖는 분배 격자를 '''[[불 대수]]'''라고 한다.

=== 범주론적 성질 ===
직교 여원 격자와 직교 여원 격자 준동형의 [[구체적 범주]] <math>\operatorname{OLat}</math>는 [[대수 구조 다양체]]의 범주이므로 [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이며, [[자유 대상]]이 존재한다.

== 예 ==
=== 양자 논리 ===
{{본문|양자 논리}}
[[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>의 부분 벡터 공간들은 포함 관계에 대하여 [[유계 격자]]를 이룬다. 이 경우, 직교여원
:<math>\lnot V=V^\perp=\{u\in\mathcal H\colon\forall v\in V\colon u\perp v\}</math>
을 정의하면, 이는 직교모듈러 격자를 이룬다. "직교 여원"이라는 용어는 이에서 비롯하였다. 이 사실은 [[양자 논리]]에서 중요한 역할을 한다.

=== 대합환 ===
<math>(R,^*)</math>가 [[대합환]]이라고 하자. 그렇다면,
:<math>L=\{r\in R\colon r=r^*=r^2\}</math>
:<math>r\le s\iff r=rs\qquad(r,s\in L)</math>
:<math>\lnot r=1-r\qquad(r,s\in L)</math>
로 놓으면, <math>L</math>은 직교모듈러 격자를 이룬다.<ref name="Birkhoff"/>{{rp|54, Exercise II.14.11(a,b)}} 또한, 이 경우
:<math>\forall r,s\in L\colon xy=yx\iff x\operatorname{\mathsf C}y</math>
이다.<ref name="Birkhoff"/>{{rp|54, Exercise II.14.11(c)}} 즉, 환으로서의 가환성 개념이 직교 여원 격자로서의 가환성 개념과 일치한다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lattice with complements}}
* {{eom|title=Ockham algebra}}
* {{eom|title=Orthomodular lattice}}
* {{매스월드|id=ComplementedLattice|title=Complemented lattice}}
* {{매스월드|id=UniquelyComplementedLattice|title=Uniquely complemented lattice}}
* {{nlab|id=orthomodular lattice|title=Orthomodular lattice}}
* {{nlab|id=complemented lattice|title=Complemented lattice}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.chapman.edu/~jipsen/structures/doku.php/ortholattices|제목=Ortholattices|웹사이트=Mathematical Structures|이름=Peter|성=Jipsen|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.chapman.edu/~jipsen/structures/doku.php/complemented_lattices|제목=Complemented lattices|웹사이트=Mathematical Structures|이름=Peter|성=Jipsen|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.chapman.edu/~jipsen/structures/doku.php/complemented_modular_lattices|제목=Complemented modular lattices|웹사이트=Mathematical Structures|이름=Peter|성=Jipsen|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.chapman.edu/~jipsen/structures/doku.php/orthomodular_lattices|제목=Orthomodular lattices|웹사이트=Mathematical Structures|이름=Peter|성=Jipsen|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.chapman.edu/~jipsen/structures/doku.php/modular_ortholattices|제목=Modular ortholattices|웹사이트=Mathematical Structures|이름=Peter|성=Jipsen|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://unapologetic.wordpress.com/2009/05/07/orthogonal-complements-and-the-lattice-of-subspaces/|제목=Orthogonal complements and the lattice of subspaces|웹사이트=The Unapologetic Mathematician|이름=John|성=Armstrong|날짜=2009-05-07|언어=en}}

[[분류:격자 이론]]