직교 리 대수 문서 원본 보기

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[[리 군론]]에서 '''직교 리 대수'''(直交Lie代數, {{llang|en|orthogonal Lie algebra}})는 [[직교군]]에 대응되는 [[리 대수]]이다. 어떤 [[대칭 쌍선형 형식]]에 대하여 [[반대칭 행렬]]을 이루는 [[선형 변환]]들로 구성된다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* <math>K</math>-[[가군]] <math>V</math>
* <math>V</math> 위의 [[대칭 쌍선형 형식]] <math>B \colon \operatorname{Sym}^2V \to K</math>
그렇다면, <math>V</math>의 [[자기 준동형]]으로 구성된 <math>K</math>-[[리 대수]]
:<math>\mathfrak{gl}(V;K) = \operatorname{End}_K(V) = \hom_K(V,V)</math>
를 생각할 수 있다. 이 속에서, 다음과 같은 <math>K</math>-[[부분 가군]]은 <math>K</math>-[[부분 리 대수]]를 이루며, 이를 <math>V</math>의 <math>B</math>에 대한 '''직교 리 대수'''라고 한다.
:<math>\mathfrak o(V,B) = \{M\in\mathfrak{gl}(V;K) \colon B(v,Mv) = 0\;\forall v\in V\}</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
우선, 임의의 <math>M\in\mathfrak o(V,B)</math>에 대하여
:<math>0=B(u+v,M(u+v)) - B(u,Mu) - B(v,Mv) = B(u,Mv) + B(v,Mu)</math>
이다. 따라서, 임의의 <math>M,N\in\mathfrak o(V,B)</math>에 대하여
:<math>B(v,MNv) = - B(Mv,Nv) = B(NMv,v) = B(v,NMv)</math>
이다. 즉,
:<math>B(v,[M,N]v) = 0</math>
이다.
</div></div>

만약 [[가환환]] <math>K</math>에서 2가 [[가역원]]이라면, <math>M\in \mathfrak{gl}(V;K)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
# <math>B(v,Mv) = 0\qquad\forall v\in V</math>
# <math>B(u,Mv) = -B(v,Mu)\qquad\forall u,v\in V</math>
그러나 만약 2가 [[가역원]]이 아니라면 일반적으로 전자가 후자보다 더 강한 조건이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
조건 1 ⇒ 조건 2:
:<math>0=B(u+v,M(u+v)) - B(u,Mu) - B(v,Mv) = B(u,Mv)+B(v,Mu)</math>
2가 [[가역원]]일 때, 조건 2 ⇒ 조건 1:
:<math>B(v,Mv) = -B(v,Mv)</math>이므로, <math>2B(v,Mv) = 0</math>
</div></div>

만약 추가로 <math>K</math>가 표수가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]]이며, <math>V</math>가 유한 차원 벡터 공간이며, <math>B</math>가 비퇴화 쌍선형 형식이라면, 이는 <math>V</math>와 [[쌍대 공간]] <math>V^*</math> 사이의 동형을 정의하며, 이 경우 직교 리 대수는 <math>B</math>를 통하여 [[행렬]]로 표기하였을 때 [[반대칭 행렬]]이 되는 [[선형 변환]]들로 구성된다. 즉, [[아인슈타인 표기법]]으로,
:<math>B(u,v) = B_{ij}u^iv^j</math>
로 적으면,
:<math>M \in \mathfrak o(V,B) \iff M_{ij} = - M_{ji}\qquad(M_{ij} \,\stackrel{\mathrm{def}}=\, B_{ii'}M^{i'}{}_j)</math>
이다.

== 성질 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>V</math> 위의 [[이차 형식]] <math>Q\colon V\to K</math>에 대응되는 [[대칭 쌍선형 형식]]이
:<math>B(u,v) = Q(u+v)-Q(u) - Q(v)</math>
라고 하자. 그렇다면, [[리 대수]] <math>\mathfrak o(V,B)</math>는 [[직교군]] <math>\operatorname O(V,Q)</math>의 [[리 대수]]이다.

[[대수군]]의 경우와 달리, [[리 대수]]는 [[이차 형식]]에 직접적으로 의존하지 않으며, 오직 그 연관 [[대칭 쌍선형 형식]]에만 의존한다. 이는 [[직교군]]의 정의가
:<math>Q(Mv) = Q(v)\qquad\forall v\in V</math>
인데, 이를 “무한소화”하면
:<math>Q((1+tM)v) = Q(v) + \mathcal O(t^2)</math>
가 된다. 그런데
:<math>Q((1+tM)v = Q(v) + tB(v,Mv) + t^2Q(Mv)</math>
이므로, 이는 오직 <math>B(-,-)</math>에만 의존하게 된다.

== 예 ==
만약 <math>B = 0</math>일 때, 정의에 따라 자명하게 <math>\mathfrak o(V,B) = \mathfrak{gl}(V)</math>이다.

=== 특수 직교 리 대수 ===
만약 <math>V</math>가 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[자유 가군]]일 경우, [[대각합]]이 0인 [[가군 준동형]]들로 구성된 [[특수 선형 리 대수]]
:<math>\mathfrak{sl}(V;K)=\{M\in\mathfrak{gl}(V;K)\colon\operatorname{tr}M = 0\}\subseteq\mathfrak{gl}(V;K)</math>
를 정의할 수 있다. 이 경우, '''특수 직교 리 대수'''({{llang|en|special orthogonal Lie algebra}})
:<math>\mathfrak{so}(V,B) = \mathfrak o(V,B) \cap\mathfrak{sl}(V;K)</math>
를 정의할 수 있다. 

만약 <math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]이며, <math>B</math>가 [[비퇴화 쌍선형 형식]]일 경우, <math>\mathfrak{so}(V,B)=\mathfrak o(V,B)</math>이다. 그러나 예를 들어 만약 <math>\operatorname{char}K=2</math>일 때, 홀수 차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]] 위에서, [[비특이 이차 형식]]에 대응되는 [[대칭 쌍선형 형식]]은 퇴화 [[대칭 쌍선형 형식]]이며, 이 경우 직교 리 대수는 특수 선형 리 대수에 포함되지 않는다. 예를 들어, 표수가 2인 [[체 (수학)|체]] 위에서,
:<math>1_{n\times n} \in \mathfrak{sl}(n;\mathbb F_2) \iff 2 \mid n</math>
이지만, <math>B</math>가 ([[이차 형식]]에 대응되는) 교대 [[대칭 쌍선형 형식]]이라면
:<math>B(v,1_{n\times n}v) = 0</math>
이므로 항상 <math>1_{n\times n} \in \mathfrak o(n,B;\mathbb F_2)</math>이다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=OrthogonalLieAlgebra|title=Orthogonal Lie algebra}}
* {{nlab|id=orthogonal Lie algebra|title=Orthogonal Lie algebra}}
* {{웹 인용 |url=https://www.math.usm.edu/lee/mathphysarchive/?p=926 |제목=The Lie algebra of the orthogonal group O(n) (SO(n)) |날짜=2011-09-27 |웹사이트=MathPhys Archive |언어=en |확인날짜=2018-04-21 |archive-date=2018-04-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180422062737/https://www.math.usm.edu/lee/mathphysarchive/?p=926 |url-status= }}

[[분류:리 대수]]