직교 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|수직||초등적인 측면}}
[[파일:Perpendicular-coloured.svg|오른쪽|섬네일|220x220픽셀|선분 AB와 CD가 서로 수직이다. 수직]]
'''직교'''(直交, {{llang|en|orthogonality}})는 [[유클리드 기하학]]의 [[수직]]을 일반화한 개념이다. 예를 들어 [[내적 공간]]에서, 두 벡터의 내적이 0일 때 두 벡터가 서로 직교한다고 정의한다. 기호는 <math>\perp</math>.

== 어원 ==
[[wikt:Orthogonality|Orthogonality]]라는 단어는 [[고대 그리스어]]로 '꼿꼿하다'는 의미의 ''{{lang|grc|ὀρθός}}'' (orthos)와<ref>Liddell and Scott, ''[[A Greek–English Lexicon]]'' [http://www.perseus.tufts.edu/hopper/morph?l=o%29rqos&la=greek#lexicon ''s.v.'' ὀρθός]</ref> '각도'라는 의미의 ''{{lang|grc|γωνία}}'' (gonia)에서 유래한다.<ref>Liddell and Scott, ''[[A Greek–English Lexicon]]'' [http://www.perseus.tufts.edu/hopper/morph?l=gwni%2Fa&la=greek#lexicon ''s.v.'' γωνία]</ref> 이 둘의 합성어인 ''{{lang|grc|ὀρθογώνιον}}''은 이후 로마에서 orthogonium로 바뀌는데 처음에는 [[직사각형]]을 나타내는 단어였다.<ref>Liddell and Scott, ''[[A Greek–English Lexicon]]'' [http://www.perseus.tufts.edu/hopper/morph?l=o%29rqog%2Fwnion&la=greek#lexicon ''s.v.'' ὀρθογώνιον]</ref> 이후 이것이 [[직각삼각형]] 역시 의미하다가, 12세기에 처음으로 직각 또는 직각의 관계를 나타내는 단어로 사용되었다.<ref>[[Oxford English Dictionary]], Third Edition, September 2004, ''s.v.'' orthogonal</ref> 한문으로는 수직하여(直) 만난다(交)는 뜻이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>V</math> 및 그 [[쌍대 가군]]
:<math>V^\vee=\hom_R(V,K)</math>
가 주어졌다고 하자. 가군의 원소 <math>v\in V</math>와 쌍대 가군 원소 <math>f\in V^\vee</math>가 주어졌을 때, 만약
:<math>f(v)=0</math>
이라면, <math>v</math>와 <math>f</math>가 서로 '''직교'''한다고 한다. 마찬가지로, 부분 가군 <math>W\subset V</math>와 쌍대 가군의 부분 가군 <math>W'\subset V^\vee</math>가 주어졌을 때, 만약 임의의 <math>v\in W</math> 및 <math>f\in W'</math>에 대하여 <math>f(v)=0</math>이라면, <math>W</math>과 <math>W'</math>이 서로 '''직교'''한다고 한다.

특히, [[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>V</math> 위에 [[비퇴화 쌍선형 형식]]
:<math>B\colon V\times V\to K</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가군과 쌍대 가군 사이에 다음과 같은 [[동형 사상]]을 줄 수 있다.
:<math>V\to V^\vee</math>
:<math>v\mapsto B(v,-)</math>
따라서, 가군 원소와 쌍대 가군 원소의 직교 대신, 두 가군 원소의 직교를 정의할 수 있다. 구체적으로, 가군의 두 원소 <math>u,v\in V</math>가 주어졌을 때, 만약
:<math>B(u,v)=0</math>
이라면, <math>u</math>과 <math>v</math>가 서로 '''직교'''한다고 한다. 정의에 따라, 직교는 가군 위의 [[이항 관계]]를 이룬다. 만약 <math>B</math>가 [[대칭 쌍선형 형식]]이거나 [[반대칭 쌍선형 형식]]이거나 [[교대 쌍선형 형식]]이라면, <math>B</math>에 대한 직교는 [[대칭 관계]]를 이룬다. 그 역은 <math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]인 경우 참이지만,<ref name="Grove">{{서적 인용|성=Grove|이름=Larry C.|제목=Classical groups and geometric algebra|언어=en|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=39|출판사=American Mathematical Society|위치=[[프로비던스]]|날짜=2002|isbn=0-8218-2019-2|issn=1065-7338|mr=MR1859189|zbl=0990.20001}}</ref>{{rp|17, Proposition 2.7}} 일반적으로는 거짓이다. 두 부분 가군 <math>W,W'\subset V</math>가 주어졌을 때, 만약 임의의 <math>u\in W</math> 및 <math>v\in W'</math>에 대하여 <math>B(u,v)=0</math>이라면, <math>W</math>와 <math>W'</math>이 서로 '''직교'''한다고 한다. 부분 집합 <math>S\subset V</math>가 주어졌을 때 만약 임의의 서로 다른 원소 <math>s,s'\in S</math>에 대하여 <math>B(s,s')=0</math>이라면, <math>S</math>를 '''직교 집합'''(直交集合, {{llang|en|orthogonal set}})이라고 한다.

마찬가지로, 비퇴화 반쌍선형 형식에 대한 직교를 정의할 수 있다.

== 성질 ==
등방 벡터를 포함하지 않는 직교 집합은 항상 [[선형 독립 집합]]이다. 특히 [[내적 공간]]에서, 영벡터를 포함하지 않는 직교 집합은 항상 [[선형 독립 집합]]이다.<ref name="HoffmanKunze">{{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id={{iaid|LinearAlgebraHoffmanAndKunze}}}}</ref>

== 예 ==
유클리드 공간 <math>\mathbb R^n</math> 위에는 표준적인 내적
:<math>\langle \mathbf x,\mathbf y\rangle=x_1y_1+\cdots+x_ny_n</math>
이 존재한다. 두 벡터 <math>\mathbf x,\mathbf y\in\mathbb R^n</math>이 직교할 [[필요충분조건]]은 <math>\langle\mathbf x,\mathbf y\rangle=0</math>이다.

임의의 [[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 및 <math>K\in\{\mathbb\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 주어졌을 때, [[르베그 공간|L<sup>2</sup> 공간]] <math>\operatorname L^2(X;K)</math> 위에는 표준적인 내적
:<math>\langle f,g\rangle=\int_X\bar fg\mathrm d\mu</math>
이 존재한다. 두 [[가측 함수]](의 [[동치류]])가 직교할 [[필요충분조건]]은 <math>\langle f,g\rangle=0</math>이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Orthogonality}}
* {{매스월드|id=Orthogonal|title=Orthogonal}}
* {{nlab|id=orthogonality|title=Orthogonality}}

{{선형대수학}}
{{전거 통제}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:함수해석학]]