지시 함수 문서 원본 보기

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[[파일:Indicator function illustration.png|right|섬네일|2차원 집합의 지시 함수의 그래프.]]
[[수학]]에서 '''지시 함수'''(指示函數, {{llang|en|indicator function}}), '''정의 함수'''(定義函數), 또는 '''특성 함수'''(特性函數, {{llang|en|characteristic function}})는 특정 집합에 특정 값이 속하는지를 표시하는 [[함수]]로, 특정 값이 집합에 속한다면 1, 속하지 않는다면 0의 값을 가진다. 기호 1이나 I로 표기되며 아래첨자로 나타내는 집합을 표시한다. 때로는 굵은글씨 또는 [[칠판 볼드체]]로 쓰인다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>A</math>에 대한 '''지시 함수'''

:<math>\mathbf{1}_A\colon X\to\{0,1\}</math>

는 다음과 같은 함수이다.

:<math>\mathbf{1}_A(x) :=
\begin{cases}
1&x\in A\\
0&x\notin A
\end{cases}
</math>

또한 [[아이버슨 괄호]] 표기법으로 지시 함수<math>\mathbf{1}_A(x)</math>를 <math>[x \in A]</math>으로 나타낼 수 있다.

지시 함수는 <math>\mathbf{1}_A</math> 외에도 <math>\mathbf{I}_A(x)</math>,<math>\chi_A(x)</math>, ''K<sub>A</sub>'' 또는 간단하게 <math>A</math>로 표기할 수 있다.([[그리스 문자]] [[χ]]는 '특성(characteristic)'이라는 말의 [[그리스어]] 어원χαρακτήρ의 첫 글자이다)

<math>X</math>에서 정의된 모든 지시함수는 <math>X</math>의 [[멱집합]] <math>\mathcal{P}(X)</math>으로 정의할 수 있으며, 결과적으로 두 집합은 <math>2^X</math>로 표기될 수 있다. 이것은 특별한 집합(<math>Y =\{0,1\}=2</math>)의 표기법<math>Y^X</math>이 모든 함수<math>f:X\to Y </math>의 집합을 표시하기 때문이다.

==표기와 용어의 비평==
* <math>1_A</math>는 ''A''의 [[항등함수]]를 표기할 때도 쓰인다.
* <math>\chi_A</math>는 [[볼록 해석학]]에서 [[특성 함수 (볼록 해석학)|특성함수]]를 표기할 때에도 쓰인다.

[[해석학]]에서 관련 개념은 [[가변수]](dummy variables)이다.(수학에서 사용되는 [[자유변수와 바운드 변수|바운드 변수]]라고도 하는"더미변수"(dummy varriables)와 헷갈리면 안 된다.)

[[특성함수 (확률론)|특성함수]]라는 표현은 [[확률론]]에서는 전혀 관계없는 의미를 가진다. 이런 이유로, 다른 대부분의 수학자들은 특성함수라는 표현을 집합의 원소인지를 나타내는 함수로 나타내는 반면에 [[확률론자]]들은 '''지시 함수'''라는 용어를 거의 이 함수를 가리키는데 사용한다.

==기본 속성==
어떤 집합인 ''X''의 부분집합인 ''A''의 '''지시 함수''' 또는 '''특성함수'''는 ''X''의 원소를 [[치역|구간]]{0,1}으로 [[함수|대응]]시킨다.

이 함수는 ''A''가 공집합이 아닌 ''X''의 [[부분집합|진부분집합]] 일 경우에만 [[전사 함수]]이다. 만약''A'' ≡ ''X''이면
지시함수 '''1'''<sub>''A''</sub> = 1이다. 비슷하게 ''A'' ≡ Ø일때는 '''1'''<sub>''A''</sub> = 0이다.

다음에서 점은 곱셈을 의미한다 1·1 = 1, 1·0 = 0 등등. "+"와 "-"는 덧셈과 뻴셈을 나타낸다. <math>\cap </math>"과 "<math>\cup </math>"은 각각 교집합과 합집합을 나타낸다.

만약 <math>A</math>와 <math>B</math>가 <math>X</math>의 집합이라면 다음과 같다.
:<math>\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B,</math>
:<math>\mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B}\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B,</math>
또한 <math>A</math>의 [[여집합]], 즉 <math>A^C</math>의 지시함수는 다음과 같다:
:<math>\mathbf{1}_{A^\complement} = 1-\mathbf{1}_A</math>

더 일반적으로, <math>A_1, \dotsc, A_n</math>가 ''X''의 부분집합들이라고 하면, 모든''x'' ∈ ''X''에 대해서 다음

:<math> \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x))</math>

는 명백히 0들과 1들의 곱이다.이 곱은 ''x'' ∈ ''X''가 집합''A<sub>k</sub>''에 포함되지 않을 경우에만 1이고, 다른경우에는 0이다. 이것은 다음과 같다:

:<math> \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}.</math>

이 식의 좌변을 확장하면 다음과 같다:

: <math> \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \dotsc, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \dotsc, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} </math>

여기서 |''F''|는 ''F''의 [[집합의 크기|크기]]이다. 이것은 [[포함배제의 원리|포함-배제 원리]]의 한 부분이다.

앞에서 보았듯이, 지시 함수는 [[조합론]]에서 유용한 표기 장치이다. 이 표기는 다른곳에서도 사용된다. 예를 들면 [[확률론]]이 있다: <math>X</math>가 확률 측정<math>\mathbb{P}</math>의 [[확률공간]]이고, <math>A</math>가 측정가능한 집합 일 때 <math>\mathbf{1}_A</math>는 인 [[확률변수]]가 되고, [[기댓값]]이 <math>A</math>의 확률이 된다:

:<math>\operatorname{E}(\mathbf{1}_A)= \int_{X} \mathbf{1}_A(x)\,d\mathbb{P} = \int_{A} d\mathbb{P} = \operatorname{P}(A)</math>.

이 항등식은 [[마르코프 부등식]]의 증명에 사용된다.

[[순서론]]같이 많은 경우에서 지시함수의 역함수를 정의할 수 있다. 보통 초등 [[정수론]]에서 지시함수의 역함수, [[뫼비우스 함수]]의 일반화로써 [[근접 대수|일반화된 뫼비우스 함수]]라고 불린다.(고전 재귀 이론에서 역함수의 활용에 대해서는 아래 단락을 참조하자.)

==평균, 분산 그리고 공분산==
[[확률 공간]]<math>(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)</math>과 <math>A \in \mathcal F</math>가 주어지면, 지시함수
:<math>\mathbf{1}_A \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math>은
<math> \omega \in A</math>일 때,<math>\mathbf{1}_A (\omega) = 1 </math> 이고, 그렇지 않으면 <math>\mathbf{1}_A (\omega) = 0</math>이다

;[[평균]]: <math>\operatorname{E}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname{P}(A) </math>

;[[분산]]: <math>\operatorname{Var}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname{P}(A)(1 - \operatorname{P}(A)) </math>

;[[공분산]]: <math> \operatorname{Cov}(\mathbf{1}_A (\omega), \mathbf{1}_B (\omega)) = \operatorname{P}(A \cap B) - \operatorname{P}(A)\operatorname{P}(B) </math>

==재귀 이론에서 특성함수, 괴델과 클레이니의 표현 함수==
[[쿠르트 괴델]]은 1934년에 논문 "On Undecidable Propositions of Formal Mathematical Systems"에서 ''표현 함수''를 설명했다.(이 논문은 [[마틴 데이비스]] (Martin Davis)의 ''The Undecidable''의 pp. 41-74에 게재되어있다.)
:"각각의 클래스 또는 관계 R의 표현 함수φ는 R(x<sub>1</sub>, . . ., x<sub>n</sub>)이면 φ(x<sub>1</sub>, . . ., x<sub>n</sub>) = 0이고, ~R(x<sub>1</sub>, . . ., x<sub>n</sub>)일 때는 φ(x<sub>1</sub>, . . ., x<sub>n</sub>) = 1이다." (p. 42; the "~" indicates logical inversion i.e. "NOT")

[[스티븐 클레이니]] (1952) (p. &nbsp;227)는 [[원시 재귀 함수]]의 내용 중에서 같은 정의를 논리가 거짓이면 1이고 참이면 0이 나오는 논리 P의 함수 φ를 제공했다.

예를 들어, 어떤 하나의 함수가 0이면 표현 함수의 곱은 φ<sub>1</sub>*φ<sub>2</sub>* . . . *φ<sub>n</sub> = 0이기 때문에 논리연산 "또는"의 역할을 한다. 만약 φ<sub>1</sub> = 0 이거나 φ<sub>2</sub> = 0 이거나 . . . 이거나 φ<sub>n</sub> = 0 이라면 그 곱은 0이다. 독자들이 보았을 때 논리적인 반전이라고 생각하는 것, 즉 표현 함수가 함수 R이 "참"일 때, 또는 "만족"할 때 0이 되는 점은 클레이니의 다음의 연산에서 중요한 역할을 한다:논리 연산 OR, AND, 그리고 IMPLY(p.&nbsp;228) 제한- (p.&nbsp;228) 과 무제한- (p.&nbsp;279ff) [[뮤 연산자]]들과 (Kleene (1952)) CASE 함수이다(p.&nbsp;229).

==퍼지 집합 이론에서 특성함수==
고전 수학에서 집합의 특성함수는 집합의 원소이면 1, 아니면 0을 낸다. [[퍼지 집합 이론]]에서 특성함수는 실수 구간 [0, 1]에서 반환하도록 일반화 되거나, 심지어 [[보편적 대수학|대수]] 또는 [[구조 (논리학}|구조]](보통 적어도 [[부분 순서 집합]] 또는 [[격자 (순서론)|격자]]가 되어야 한다)에서 값을 반환하기도 한다. 이런 일반화된 특성함수는 대부분 [[멤버십 함수]]라고 하며, 해당 집합은 [[퍼지 집합]]이라고 한다. 퍼지집합은 "키가 크다", "덥다" 등과 같이 많은 실생활에서 쓰이는 서술어에 나타나는 회원 [[진리의 정도|등급]]의 점진적인 변화를 모델링한다.

==지시 함수의 미분==
특정한 지시함수는 [[단위 계단 함수]]이다. 단위 계단 함수는 일 차원 양수 구간 [0, ∞)의 지시함수이다. 헤비사이드 계단 함수 ''H''(''x'')의 [[분포 (해석학)#미분|분포 미분]]은 [[디랙 델타 함수]]와 같다:

:<math>
\delta(x)=\tfrac{d H(x)}{dx},
</math>

이것은 다음의 성질을 따른다:

:<math>
\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x) dx =  f(0).
</math>

단위 계단 함수의 미분은 양의 절반 선에 의해 주어진 영역의 '경계'에서 '내부 정상 도함수'로 볼 수 있다. 고차원에서는 단위 계단 함수는 일부 정의역 ''D''의 지시 함수로 일반화되는 반면, 도함수는 내부 정상 도함수로 자연스럽게 일반화된다. ''D''의 표면을 ''S''로 표현하면, [[라플라시안 표시기|지시 함수의 내부 정상 도함수]]가 '표면 델타 함수'δ<sub>''S''</sub>('''x''')를 발생 시킨다는 것을 알 수 있다.

:<math>\delta_S(\mathbf{x})=-\mathbf{n}_x\cdot\nabla_x\mathbf{1}_{\mathbf{x}\in D}</math>

여기서 ''n''는 ''S''의 바깥쪽 [[법선]]이다. ''표면 델타 함수''는 다음과 같은 특성을 가지고 있다:<ref>{{인용|last=Lange|first=Rutger-Jan|year=2012|publisher=Springer|title=Potential theory, path integrals and the Laplacian of the indicator|journal=Journal of High Energy Physics|volume=2012|pages=29–30|url=http://link.springer.com/article/10.1007%2FJHEP11(2012)032|issue=11|bibcode=2012JHEP...11..032L|doi=10.1007/JHEP11(2012)032|arxiv = 1302.0864 }}</ref>

:<math>
-\int_{\mathbf{R}^n}f(\mathbf{x})\,\mathbf{n}_x\cdot\nabla_x\mathbf{1}_{\mathbf{x}\in D}\;d^{n}\mathbf{x}=\oint_{S}\,f(\mathbf{\beta})\;d^{n-1}\mathbf{\beta}.
</math>

함수 ''f''를 1로 두면서 [[라플라시안 표시기|지시 함수의 내부 정상 도함수]]는 [[표면적]]''S''의 수치적 수로 통합된다.

== 같이 보기 ==
{{Div col||40em}}
* [[디랙 측도]](en:Dirac measure)
* [[라플라시안 표시기]](en:Laplacian of the indicator)
* [[디랙 델타 함수]](en:Dirac delta)
* [[확장 (술어 논리)]](en:Extension (predicate logic))
* [[자유변수와 유계 변수]](en:Free variables and bound variables)
* [[단위 계단 함수]](en:Heaviside step function)
* [[아이버슨 괄호]](en:Iverson bracket)
* [[크로네커 델타]](en:Kronecker delta), 지시 함수와 [[같음|동등 관계]]에 있다고 할 수 있는 함수이다.
* [[Macaulay 괄호]](en:Macaulay brackets)
* [[중복 집합]](en:Multiset)
* [[멤버십 함수]](en:Membership function (mathematics))
* [[단순 함수]](en:Simple function)
* [[가변수]](en:Dummy variable (statistics))
* [[통계적 분류]](en:Statistical classification)
* [[손실 함수]](en:Zero-one loss function)
{{Div col end}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* Folland, G.B.; ''Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications'', 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
* [[Thomas H. Cormen]], [[Charles E. Leiserson]], [[Ronald L. Rivest]], and [[Clifford Stein]]. ''[[Introduction to Algorithms]]'', Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. {{ISBN|0-262-03293-7}}. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94–99.
* [[Martin Davis]] ed. (1965), ''The Undecidable'', Raven Press Books, Ltd., New York.
* [[Stephen Kleene]], (1952), ''Introduction to Metamathematics'', Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company, Netherlands, Sixth Reprint with corrections 1971.
* [[George Boolos]], [[John P. Burgess]], [[Richard C. Jeffrey]] (2002), Cambridge University Press, Cambridge UK, {{ISBN|0-521-00758-5}}.
* [[Lotfi A. Zadeh]], 1965, "Fuzzy sets". ''Information and Control'' '''8''': 338–353. [https://web.archive.org/web/20070622151801/http://www-bisc.cs.berkeley.edu/zadeh/papers/Fuzzy%20Sets-1965.pdf]
* [[Joseph Goguen]], 1967, "''L''-fuzzy sets". ''Journal of Mathematical Analysis and Applications'' '''18''': 145–174

{{집합론}}

{{전거 통제}}

[[분류:측도론]]
[[분류:적분학]]
[[분류:실해석학]]
[[분류:집합론의 기본 개념]]
[[분류:계산 가능성 이론]]
[[분류:확률론]]
[[분류:함수의 종류]]