지수 적분 함수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''지수 적분 함수'''(指數積分函數, {{llang|en|exponential integral function}})은 [[특수 함수]]의 하나이며, <math>\frac{{e}^{x}}{x}</math>의 [[역도함수]]이다.

== 정의 ==
0아닌 실수 <math>x</math>에 대하여, '''지수 적분 함수''' <math>\operatorname{Ei}(x)</math>은 다음과 같이 정의된다.
:<math>\operatorname{Ei}(x)=-\mathcal P\int_{-x}^\infty \frac{\exp(-t)}t\,dt</math>
여기서 <math>\mathcal P</math>는 [[코시 주요값]]이다.

임의의 복소수 <math>x</math>에 대하여 이 함수를 [[해석적 연속]]으로 정의할 수 있다. 그러나 이 경우 음의 실수에서 [[분지절단]]이 생긴다.

== 성질 ==
지수 적분 함수 <math>\operatorname{Ei}(z)</math>는 통상적으로 음의 실수에서 [[분지절단]]을 갖고, 다른 곳에서는 [[정칙함수]]이다. 또한, 다음 함수는 [[전해석 함수]]이다.
:<math>\operatorname{Ei}(z)-\ln z</math>

=== 급수 ===
지수 적분 함수의 [[테일러 급수]]는 다음과 같다. 이는 0이 아닌 모든 실수에서 수렴한다.
:<math>\operatorname{Ei}(x) = \gamma+\ln |x| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{(k+1)!} \qquad x \in\mathbb R\setminus\{0\}</math>
이 식은 지수 적분 함수의 부정적분 정의 <math>\operatorname{Ei}(x)=\int \frac{e^x}{x} dx</math>에 <math>e^x=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...</math>를 대입한 뒤 적분해서 얻을 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[로그 적분 함수]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Integral exponential function}}
* {{웹 인용|url=http://dlmf.nist.gov/8.19|제목=§8.19 Generalized Exponential Integral|웹사이트=Digital Library of Mathematical Functions|이름=
R. B.|성= Paris |출판사=NIST|언어=en}}
* {{매스월드|id=ExponentialIntegral|title=Exponential Integral}}
* {{매스월드|id=En-Function|title=''En''-Function}}

[[분류:적분]]
[[분류:특수 함수]]
[[분류:특수 초기하함수]]
[[분류:거듭제곱]]