지수 사상 (리만 기하학) 문서 원본 보기

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[[파일:Azimuthal_Equidistant_N90.jpg|오른쪽|섬네일| 북극에서 본 지구의 지수 사상은 지도 제작에서 극 [[정거 방위 도법]]에 해당한다.]]
[[리만 기하학]]에서 '''지수 사상'''({{llang|en|Exponential map}})은 [[리만 다양체]] (또는 [[준 리만 다양체]]) <math>M</math>의 [[접공간]] <math>T_pM</math>의 부분 집합에서 ''<math>M</math>'' 자체로 가는 사상이다. (준) 리만 계량은 표준 아핀 접속을 결정하고 (준) 리만 다양체의 지수 사상은 이 접속의 지수 사상에 의해 제공된다.

== 정의 ==
''<math>M</math>''이 미분 다양체이고 ''<math>p</math>''는 ''<math>M</math>''의 점이라 하자. ''<math>M</math>''에 대한 [[아핀 접속]]을 통해 점 ''<math>p</math>''를 지나는 [[직선]]의 개념을 정의할 수 있다.<ref>A source for this section is {{하버드 인용 본문|Kobayashi|Nomizu|1996}}, which uses the term "linear connection" where we use "affine connection" instead.</ref>

<math>v\in T_pM</math>를 {{수학|''p''}}에서 다양체에 대한 접벡터라고 하자. 그러면 ''<math>\gamma_v(0)=p</math>'', ''<math>\gamma'_v(0)=v</math>''인 [[측지선]] ''<math>\gamma_v:[0,1] \rightarrow M</math>''은 유일하다. 해당 '''지수 사상'''은 ''<math>\exp_p(v):=\gamma_v(1)</math>''로 정의된다. 일반적으로 지수 사상은 ''국소적으로만 정의된다''. 이는 국소적 [[상미분방정식]]의 [[피카르-린델뢰프 정리|존재정리와 고유성]]에 의존하기 때문이다. [[접다발]]의 모든 점에서 지수 사상이 잘 정의된 경우 아핀 접속을 완비라고 한다.

== 성질 ==
직관적으로 말하면, 지수 사상은 다양체에 대한 주어진 접벡터를 갖고 해당 점에서 시작하여 단위 구간을 측지선을 따라 사상한다. 또한 측지선을 호의 길이로 재매개화할 수 있으므로 동등하게 ''<math>\exp_p(v)=\beta(|v|)</math>''를 정의할 수 있다. 여기서 ''<math>\beta</math>''는 ''<math>v</math>''방향으로 가는 호 길이로 매개변수화된 측지선이다. 접벡터 ''<math>v</math>를'' 변경하면 ''<math>\exp_p</math>''를 적용할 때 기준점 ''<math>p</math>''에서 어느 정도 거리 내에 있는 ''<math>M</math>''의 다른 점을 얻을 수 있다. 이것은 다양체에 대한 접공간이 다양체의 "선형화"임을 구체적으로 말해준다.

[[Hopf–Rinow 정리|호프-리노우 정리]]는 다양체가 [[거리 공간]]으로서 완비일 경우에만 전체 접공간에서 지수 사상을 정의하는 것이 가능하다고 주장한다(이 특성을 가진 지수 사상을 갖는 다양체에 대해 '''측지 완비'''라는 일반적인 단어를 정당화한다. 특히 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 다양체는 측지 완비다. 그러나 ''<math>\exp_p</math>''  전체 접공간에서 정의되더라도 일반적으로 전역 [[미분동형사상]]이 아니다. 그러나 접공간의 원점에서의 미분은 [[항등 함수|항등 사상]]이므로 [[역함수 정리]]에 의해 지수 사상이 매장되는 <math>T_pM</math>의 원점 근처를 찾을 수 있다(즉, 지수 사상은 로컬 미분동형사상). ''<math>\exp_p</math>''를 통해 미분동형적으로 사상될 수 있는 <math>T_pM</math>의 원점에 대한 가장 큰 공의 반경을 ''<math>p</math>''에서 ''<math>M</math>''의 '''[[분사 반경|단사 반경]]'''이라고 한다. 지수 사상의 절단 궤적은 대략적으로 말하면 지수 사상이 유일한 최소값을 가지지 못하는 모든 점의 집합이다.

''지수'' 사상의 ''중요한'' 성질은 다음과 같은 가우스 보조정리이다: 이중 접공간 <math>T_v(T_pM)</math>과 ''<math>v</math>''에 직교하는 ''<math>w</math>는'' ''지수'' 사상을 통해 앞으로 갈 때 ''<math>v</math>''에 직교한 성질을 유지한다. 이는 특히 <math>T_pM</math>의 원점에 대한 작은 공의 경계 구가 해당 벡터에 의해 결정된 ''<math>M</math>''의 측지선과 직교한다는 것을 의미한다(즉, 측지선은 ''방사형''임). 이것은 리만 다양체에서 측지선 법선 좌표 의 정의에 동기를 부여한다.

곡률의 정의는 다소 추상적이라 할 수 있지만, 지수 사상은 리만이 원래 구상한 [[단면 곡률|곡률]]을 보다 구체적으로 [[가우스 곡률|구현]]하는 데에도 유용하다. 단면 곡률은 직관적으로 고려 중인 점 ''<math>p</math>''을 지나는 어떤 곡면의 가우스 곡률로 정의 된다. 단면 곡률은 <math>T_pM</math>의 2차원 부분 공간 ''<math>W</math>''을 ''<math>\exp_p</math>''로 보낸 상 ''<math>\exp_p(W)</math>''으로 정의되는 ''<math>p</math>를 지나는'' 곡면의 가우스 곡률로 정확하게 정의할 수 있다.

== 리 이론의 지수 사상과의 관계 ==
'''쌍불변 계량'''(왼쪽 및 오른쪽 변환 모두에서 준 리만 계량 불변)이 있는 리 군의 경우 준 리만 구조의 지수 사상은 [[리 지수 사상|리 군의 지수 사상]]과 동일하다. 일반적으로 리 군에는 쌍불변 계량이 없지만 모든 연결 반 단순 리 군에는 있다. 쌍불변 ''리만'' 계량의 존재성은 준 리만 계량의 존재성보다 강력하며, 리 대수가 콤팩트 리 군의 리 대수임을 의미한다. 반대로 모든 콤팩트 (또는 아벨) 리 군에는 이러한 리만 계량이 있다.

"정직한" 지수 사상을 제공하는 예를 보자. 일반적인 곱셈에서 리 군인 [[양수 (수학)|양의 실수]]의 곱셈군 ''<math>\R^+</math>''를 고려하자. 여기서 각 접공간은 '''''<math>\R</math>'''''이다. 점 '''''<math>y</math>'''''에서 '''''<math>\R</math>'''''의 각 사본에 수정된 내적을 도입한다.<math display="block">\langle u,v\rangle_y = \frac{uv}{y^2} </math>이는 두 실수를 일반적인 실수처럼 곱하지만, 계량을 왼쪽 불변으로 만들기 위해 '''''<math>y^2</math>'''''로 나누어 준다.

점 ''<math>1\in \R^+</math>''을 잡고 ''<math>x\in T_1\R^+</math>''를 1에서 접공간의 원소로 보자. 1에서 나오는 일반적인 직선, 즉 ''<math>y(t)=1+xt</math>''는 호 길이 재매개화를 하면 측지선과 동일한 곡선을 지난다. 이를 위해 수정된 계량 <math>|\cdot|_y</math>에 의해 유도된 호의 길이로 다시 매개변수화한다:<math display="block">s(t) = \int_0^t |x|_{y(\tau)} d\tau = \int_0^t \frac{|x|}{1 + \tau x} d\tau = |x| \int_0^t \frac{d\tau}{1 + \tau x} = \frac{|x|}{x} \ln|1 + tx| </math>여기서 역함수 '''''<math>t(s)</math>'''''를 얻어서<math display="block">y(s) = e^{sx/|x|} </math>를 구한다. 이제 호 길이 재매개화된 곡선의 성질을 사용하여<math display="block">\exp_1(x) = y(|x|_1) = y(|x|) </math>를 얻고 이는 예상대로 지수 함수 '''''<math>e^x</math>'''''가 된다.

이에 의해 정의된 리만 거리 함수는 단순히<math display="block">\operatorname{dist}(a, b) = \left|\ln\left(\frac b a\right)\right|. </math>

== 같이 보기 ==
* [[단면곡률]]
* [[가우스 곡률]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{인용|last1=Cheeger|first1=Jeff|last2=Ebin|first2=David G.|title=Comparison Theorems in Riemannian Geometry|publisher=Elsevier|year=1975}}. See Chapter 1, Sections 2 and 3.
* {{인용|last=do Carmo|first=Manfredo P.|authorlink=Manfredo do Carmo|title=Riemannian Geometry|publisher=Birkhäuser|year=1992|isbn=0-8176-3490-8}}. See Chapter 3.
* {{springer|id=p/e036930|title=Exponential mapping}}
* {{인용|last=Helgason|first=Sigurdur|authorlink=Sigurdur Helgason (mathematician)|title=Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, R.I.|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|isbn=978-0-8218-2848-9|mr=1834454|year=2001|volume=34}}.
* {{인용|last1=Kobayashi|first1=Shoshichi|authorlink1=Shoshichi Kobayashi|last2=Nomizu|first2=Katsumi|authorlink2=Katsumi Nomizu|title=[[Foundations of Differential Geometry]]|volume=1|publisher=Wiley-Interscience|year=1996|edition=New|isbn=0-471-15733-3}}.

[[분류:리만 기하학]]
[[분류:미분기하학]]