지수적 감쇠 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Plot-exponential-decay.svg|섬네일|400px|지수적으로 감소하는 양을 나타낸 그래프. 큰 감쇠 상수는 양을 더 급격하게 감소시킨다. 이 그래프는 감쇠 상수가 25, 5, 1, 1/5 그리고 1/25인 경우에 대해서, x 범위가 0부터 5일 때를 나타낸다.]]
어떤 양이 그 양에 비례하는 속도로 감소한다면, 그 양은 '''지수적 감쇠'''(exponential decay)한다고 한다. 이러한 프로세스는 다음의 [[미분 방정식]]으로 표현될 수 있다. 여기서 ''N''은 그 양이며, λ(람다)는 [[양수]]로서 '''감쇠 상수'''이다.

:<math>\frac{dN}{dt} = -\lambda N.</math>

이 방정식의 해는

:<math>N(t) = N_0 e^{-\lambda t}. \,</math>

여기서 ''N(t)''는 시간이 t일 때의 양이며, ''N<sub>0</sub> = N(0)''은 초기의 양으로 ''t = 0'' 일 때의 양이다.

== 평균 수명과 반감기 ==

=== 평균 수명 ===
어떤 집합에서 시간이 지남에 따라 특정 원소의 개수가 감소하고 있다고 하자. 이 원소의 수를 시간의 함수 N(t)로 표기할 수 있다. '''평균 수명'''({{llang|en|mean lifetime}})은 이 원소가 그 집합에 존재하는 평균 시간을 의미하며, 그리스 문자 τ로 표기한다. 감쇠 상수 λ와는 다음의 관계가 있다.

<math>\tau = 1/\lambda</math>

<math>N(t) = N_0 e^{-t/\tau} \,</math>

위 식에서 알 수 있는 것처럼, τ는 원소의 개수가 처음의 1/''e'' ≈ 0.367879441 배가 되었을 때의 시간이다. 예를 들면 시간 t 가 0일 때 원소의 개수 N(0)가 1000이라고 하자. 그렇다면 t가 τ일 때 N(τ)는 368이 된다. 이처럼 평균 수명 τ는 일종의 시간 척도로 생각할 수 있다.

=== 반감기(half-life) ===
e대신 2를 밑으로 사용하면 원소의 개수가 절반이 되는 '''반감기'''를 계산할 수 있다. 반감기는 보통 ''t''<sub>1/2</sub> 로 표기하며 평균 수명 혹은 감쇠상수로 아래와 같이 쓸 수 있다.

<math>t_{1/2} = \ln(2)/\lambda =\tau  \ln(2) \,</math>

이 관계를 위의 N(t) 식에 대입하면,

<math>N(t) = N_0 2^{-t/t_{1/2}} \,</math>가 된다.

== 같이 보기 ==
* [[지수 함수]]
* [[방사성 감쇠]]

[[분류:미분방정식]]
[[분류:거듭제곱]]