지붕 (기하학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{| class="wikitable" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" width="250"
|+ 지붕의 집합
|-
|align=center colspan=2|[[파일:Pentagonal cupola.png|240px|Pentagonal cupola]]<br>오각지붕 (예시)
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[슐레플리 기호]]||{''n''} &#124;&#124; t{''n''}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|면||[[정삼각형]] ''n''개,<br>[[정사각형]] ''n''개,<br>[[다각형|''n''각형]] 1개,<br>2''n''각형 1개
|-
|bgcolor=#e7dcc3|모서리||5''n''
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|bgcolor=#e7dcc3|꼭짓점||3''n''
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|bgcolor=#e7dcc3|[[구면대칭군의 목록|대칭군]]||[[대칭군 (기하학)|C<sub>''n''v</sub>]], [1,''n''], (*''nn''), 2n차
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[회전군]]||C<sub>''n''</sub>, [1,''n'']<sup>+</sup>, (''nn''), n차
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|bgcolor=#e7dcc3|[[쌍대다면체|쌍대]]||Trapyramids
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|bgcolor=#e7dcc3|특성||볼록
|}
[[기하학]]에서 '''지붕'''은 하나는 (밑면) 다른 것의 변의 두 배를 가진 두 [[다각형]]을 [[이등변삼각형]]과 [[직사각형]]이 번갈아 나타나는 띠로 연결한 다면체이다. 삼각형이 [[정삼각형]]이고, 사각형이 [[정사각형]]일 때, 밑면과 그 반대면이 [[정다각형]]이라면, [[삼각지붕|삼각]], [[사각지붕|사각]], 그리고 [[오각지붕|오각]]지붕은 모두 [[존슨의 다면체]]로 계수되고, 각각 [[육팔면체]], [[마름모육팔면체]], 그리고 [[마름모십이이십면체]]의 일부로 만들어진다.

지붕은 한 쪽 다각형이 교대 꼭짓점을 병합해서 절반으로 만든 [[각기둥]]으로 볼 수 있다.

지붕은 확장된 [[슐레플리 기호]]로 {''n''} &#124;&#124; t{''n''}로 주어질 수 있으며, [[정다각형]] {n}이 평행한 그 [[깎기 (기하학)|깎은 형태]], t{n} 또는 {2n}과 결합한 것을 나타낸다.

지붕은 [[기둥형 다면체]]의 부분그룹이다.

==예시==
{{지붕}}

[[파일:Tile 3464.svg|섬네일|[[마름모삼육각형 타일링]]에서 평면 "[[육각형|육각]]지붕"이다.]]
위에서 언급된 세 다면체는 유일한 정다각형 면을 가지는 자명하지 않은 볼록한 지붕이다. "[[육각형|육각]]지붕"은 평면 도형이다. 하지만, 높은 차수의 지붕은 [[정다각형|비정다각형]] 삼각형과 직사각형 면으로 만들어질 수 있다.

다음은 지붕과 관련된 고른 다면체이다.

[[삼각지붕]]과 관련된 고른 다면체:[[육팔면체]](밑면끼리 비틀어 붙임)

[[사각지붕]]과 관련된 고른 다면체:[[마름모육팔면체]](서로 맞붙이고 그 사이에 [[팔각기둥|정팔각기둥]](4.4.8)을 끼워 넣음)

[[오각지붕]]과 관련된 고른 다면체:[[마름모십이이십면체]]

[[육각지붕]] (평면)과 관련된 고른 타일링:[[마름모삼육각형 타일링]]

==꼭짓점의 좌표==
[[파일:Cupola_40.png|섬네일|left|사십각지붕은 이등변삼각형 (파란색) 40개, 직사각형 (노란색) 40개, 상부의 정[[사십각형]] (빨간색)과 하부의 정[[팔십각형]] (가려짐)을 가진다.]]
지붕의 정의는 밑면(또는 윗면이라고 불리는 밑면의 반대면)이 정다각형일 필요는 없지만, 지붕이 최대의 대칭 C<sub>''n''v</sub>를 가질 때는 정다각형으로 고려하는 것이 편리하다. 이 경우에는, 윗면은 정''n''각형이고 밑면이 정2''n''각형이거나 두 다른 길이가 교대로 나타나고 정2''n''각형과 각이 같은 2''n''각형이다. 좌표계를 이동시켜서 밑면이 ''xy''평면에 놓이고, 윗면을 ''xy''평면에 평행하게 하는 것이 편리하다. ''z''축은 ''n''-fold 축이고 거울면은 ''z''축을 지나면서 밑면의 변을 이등분한다. 이것은 또한 윗면의 변이나 각 또는 둘 다를 이등분한다. (''n''이 짝수일 때, 거울면의 절반은 윗면의 변을 이등분하고 나머지 절반은 각을 이등분하고, ''n''이 홀수이면, 모든 거울면은 한쪽은 윗면의 변을, 한쪽은 각을 이등분 한다.) 밑면의 꼭짓점은 V<sub>1</sub>에서 V<sub>2''n''</sub>까지 지정할 수 있고, 윗면의 꼭짓점은 V<sub>2''n''+1</sub>에서 V<sub>3''n''</sub>까지 지정할 수 있다. 이 정의로, 꼭짓점의 좌표는 다음과 같이 쓸 수 있다:
*''V''<sub>2''j''−1</sub>: (''r<sub>b</sub>'' cos[2π(''j'' − 1) / ''n'' + α], ''r<sub>b</sub>'' sin[2π(''j'' − 1) / ''n'' + α], 0)
*''V''<sub>2''j''</sub>: (''r<sub>b</sub>'' cos(2π''j'' / ''n'' − α), ''r<sub>b</sub>'' sin(2π''j'' / ''n'' − α), 0)
*''V''<sub>2''n''+''j''</sub>: (''r<sub>t</sub>'' cos(π''j'' / ''n''), ''r<sub>t</sub>'' sin(π''j'' / ''n''), ''h'')

이때 ''j'' = 1, 2, ..., ''n''이다.

또 다각형 ''V''<sub>1</sub>''V''<sub>2</sub>''V''<sub>2''n''+2</sub>''V''<sub>2''n''+1</sub>,등은 직사각형이기 때문에, 이것은 ''r<sub>b</sub>'', ''r<sub>t</sub>'', 그리고 α의 값에 제약을 준다. ''V''<sub>1</sub>''V''<sub>2</sub>의 길이는 다음과 같다:
:''r<sub>b</sub>''{[cos(2π / ''n'' − α) − cos α]<sup>2</sup> + [sin(2π / ''n'' − α) − sin α]<sup>2</sup>}<sup>{{frac|1|2}}</sup>
:= ''r<sub>b</sub>''{[cos<sup>2</sup>(2π / ''n'' − α) − 2cos(2π / ''n'' − α)cos α + cos<sup>2</sup> α] + [sin<sup>2</sup>(2π / ''n'' − α) − 2sin(2π / ''n'' − α)sin α + sin<sup>2</sup> α]}<sup>{{frac|1|2}}</sup>
:= ''r<sub>b</sub>''{2[1 − cos(2π / ''n'' − α)cos α − sin(2π / ''n'' − α)sin α]}<sup>{{frac|1|2}}</sup>
:= ''r<sub>b</sub>''{2[1 − cos(2π / ''n'' − 2α)]}<sup>{{frac|1|2}}</sup>

그리고 ''V''<sub>2''n''+1</sub>''V''<sub>2''n''+2</sub>의 길이는 다음과 같다:
:''r<sub>t</sub>''{[cos(π / ''n'') − 1]<sup>2</sup> + sin<sup>2</sup>(π / ''n'')}<sup>{{frac|1|2}}</sup>
:= ''r<sub>t</sub>''{[cos<sup>2</sup>(π / ''n'') − 2cos(π / ''n'') + 1] + sin<sup>2</sup>(π / ''n'')}<sup>{{frac|1|2}}</sup>
:= ''r<sub>t</sub>''{2[1 − cos(π / ''n'')]}<sup>{{frac|1|2}}</sup>.

이것들은 같으며, 공통 모서리는 ''s''로 표시된다,
:''r<sub>b</sub>'' = ''s'' / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]}<sup>{{frac|1|2}}</sup>
:r<sub>t</sub> = ''s'' / {2[1 − cos(π / ''n'')]}<sup>{{frac|1|2}}</sup>

이 값들은 먼저 주어진 꼭짓점의 좌표 공식에 대입할 수 있다.

== 별 지붕 ==
{{별-지붕}}
{{별-지붕형 다면체}}
별 지붕은 <sup>6</sup>/<sub>5</sub>&nbsp;&lt;&nbsp;<sup>''n''</sup>/<sub>''d''</sub>&nbsp;&lt;&nbsp;6이고 ''d''는 홀수인 모든 밑면 {''n''/''d''}에 대하여 존재한다. 극한에서 지붕은 평면 도형으로 찌그러진다: 극한너머에서는 삼각형과 사각형은 더 이상 두 다각형 사이의 거리를 채우지 않는다. ''d''가 짝수일 때, 밑면 {2''n''/''d''} 은 불가능해진다: 불가능한 면을 없애고 대신에 삼각형과 사각형을 서로 연결하면 ''지붕형 다면체''나 ''반지붕''을 만들 수 있다. 특히, [[사반육면체]]는 {3/2}-지붕형 다면체로 볼 수 있다. 지붕은 모두 [[방향 (다양체)|유향 다양체]]이고, 지붕형 다면체는 모두 가향 다양체가 아니다. 지붕형 다면체에서 ''n''/''d'' > 2일 때, 삼각형과 사각형은 밑면 전체를 덮지 않고, 작은 막은 단순히 빈 공간을 덮기 위해 밑면에 남는다. 따라서 위에서 나타낸 {5/2}와 {7/2} 기둥형 다면체는 (채워지지 않은) 막을 가진다. 반면에 위에서 나타낸 {5/4}와 {7/4} 기둥형 다면체는 막을 가지지 않는다.

{''n''/''d''}지붕의 높이 ''h''는 다음의 공식으로 주어진다:
<math>h = \sqrt{1-\frac{1}{4 \sin^{2} (\frac{\pi d}{n})}}</math>. 특히, ''n''/''d'' = 6과 ''n''/''d'' = 6/5에서 극한적으로 ''h'' = 0이고, ''n''/''d'' = 2에서 (삼각기둥,삼각형이 직립일 때) ''h''는 최대화된다.<ref>http://www.orchidpalms.com/polyhedra/cupolas/cupola1.html</ref><ref>http://www.orchidpalms.com/polyhedra/cupolas/cupola2.html</ref>

위의 그림에서, 별 지붕은 그들의 면을 구분하는 것을 돕기 위해 일관된 색 구성으로 주어졌다: 밑면 ''n''/''d''각형은 빨간색, 밑면 2''n''/''d''각형은 노란색, 사각형은 파란색, 그리고 삼각형은 초록색이다. 지붕형 다면체는 밑면 다른 밑면이 사라진 것처럼 ''n''/''d''각형을 빨간색, 사각형은 노란색, 그리고 삼각형은 파란색으로 칠했다.

== 역지붕 ==
{| class="wikitable" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" width="250"
|+ 역지붕의 집합
|-
|align=center colspan=2|[[파일:Pentagonal anticupola.png|240px|역오각지붕]]<br>오각형 예시
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[슐레플리 기호]]||s{''n''} &#124;&#124; t{''n''}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|면||[[삼각형]] 3''n''개<br>[[다면체|''n''각형]] 1개,<br>2''n''각형 1개
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|bgcolor=#e7dcc3|모서리||6''n''
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|bgcolor=#e7dcc3|꼭짓점||3''n''
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|bgcolor=#e7dcc3|[[구면대칭군의 목록|대칭군]]||[[대칭군 (기하학)|C<sub>''n''v</sub>]], [1,''n''], (*''nn''), 2''n''차
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|bgcolor=#e7dcc3|[[회전군]]||C<sub>''n''</sub>, [1,''n'']<sup>+</sup>, (''nn''), ''n''차
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[쌍대다면체|쌍대]]||?
|-
|bgcolor=#e7dcc3|특성||볼록
|}
''n''각 '''역지붕'''은 정2''n''각형 밑면과, 두 종류의 삼각형 3''n''개와, 정''n''각형 윗면으로 이루어져있다. ''n''=2일 때, 이각형 윗면은 변 하나로 줄어든다. 윗면의 꼭짓점은 낮은 다각형의 꼭짓점과 정렬되어있다. 대칭은 C<sub>''n''v</sub>, 2''n''차이다.

역지붕은 일부는 정다각형으로 만들 수는 있지만 전부 정다각형 면으로는 만들수 없다. ''n''각형 윗면과 삼각형이 정다각형이라고 하면, 2''n''각형 밑면은 평면다각형이나 정다각형이 될 수 없다. 이런 경우에서, ''n''=6일 때는 밑면이 큰 육각형처럼 생겨서 일직선에 놓인 모서리를 가지는 대칭적인 12각형인 부피가 없는 다면체로 [[다듬은 정육각형 타일링]]의 정육각형과 둘러싸는 정삼각형을 생성한다.

역지붕 둘을 밑면끼리 붙여서 [[맞붙인 역지붕]]을 만들 수 있다.

{| class=wikitable width=400
|+ 볼록 역지붕족
|-
!n||2 !!3 !!4 !!5 !!6...
|-
!이름 || s{2} <nowiki>||</nowiki> t{2} || s{3} <nowiki>||</nowiki> t{3} || s{4} <nowiki>||</nowiki> t{4} || s{5} <nowiki>||</nowiki> t{5} || s{6} <nowiki>||</nowiki> t{6}
|- align=center
!그림
|valign=bottom|[[파일:Digonal anticupola.png|80px]]<BR>이각
|valign=bottom|[[파일:triangular anticupola.png|80px]]<BR>삼각
|valign=bottom|[[파일:square anticupola.png|80px]]<BR>사각
|valign=bottom|[[파일:Pentagonal anticupola.png|80px]]<BR>오각
|valign=bottom|[[파일:Hexagonal anticupola.png|80px]]<BR>육각
|- align=center
!투명
|[[파일:Digonal anticupola-trans.png|70px]]
|[[파일:triangular anticupola-trans.png|80px]]
|[[파일:square anticupola-trans.png|80px]]
|[[파일:Pentagonal anticupola-trans.png|80px]]
|[[파일:Hexagonal anticupola-trans.png|80px]]
|- align=center
!전개도
|[[파일:Digonal anticupola_net.png|80px]]
|[[파일:triangular anticupola_net.png|80px]]
|[[파일:square anticupola_net.png|80px]]
|[[파일:Pentagonal anticupola_net.png|80px]]
|[[파일:Hexagonal anticupola_net.png|80px]]
|}

{{-}}

==초지붕==
'''초지붕''' 또는 '''다면체 지붕'''은 고르지 않은 4차원 볼록 다포체족이고, 지붕과 유사하다. 각각의 밑면은 [[플라톤의 다면체]]와 그 [[확장 (기하학)|확장]]이다.<ref name="Segmentochora">[http://www.bendwavy.org/klitzing/pdf/artConvSeg_8.pdf Convex Segmentochora] Dr. Richard Klitzing, Symmetry: Culture and Science, Vol. 11, Nos. 1-4, 139-181, 2000</ref>
{| class="wikitable"
|- style="background-color: #e7dcc3;"
!이름
!colspan="2"|[[정사면체 지붕]]
!colspan="2"|[[정육면체 지붕]]
!colspan="2"|[[정팔면체 지붕]]
!colspan="2"|[[정십이면체 지붕]]
!colspan="2"|[[정육각형 타일링 지붕]]
<!--!colspan="2"|정이십면체 지붕 -->
|- align=center
![[슐레플리 기호]]
!colspan=2|{3,3} <nowiki>||</nowiki> rr{3,3}
!colspan=2|{4,3} <nowiki>||</nowiki> rr{4,3}
!colspan=2|{3,4} <nowiki>||</nowiki> rr{3,4}
!colspan=2|{5,3} <nowiki>||</nowiki> rr{5,3}
!colspan=2|{6,3} <nowiki>||</nowiki> rr{6,3}
|- align=center
!Segmentochora<BR>지표<ref name="Segmentochora"/>
!colspan="2"|K4.23
!colspan="2"|K4.71
!colspan="2"|K4.107
!colspan="2"|K4.152
!colspan="2"|
|- align=center
![[외접원|외접반지름]]
|colspan="2"|1
|colspan="2"|sqrt((3+sqrt(2))/2)<BR>= 1.485634
|colspan="2"|sqrt(2+sqrt(2))<BR>= 1.847759
|colspan="2"|3+sqrt(5)<BR>= 5.236068
|colspan="2"|
|- align=center
!그림
|colspan="2" |[[파일:4D Tetrahedral Cupola-perspective-cuboctahedron-first.png|150px]]
|colspan="2" |[[파일:4D Cubic Cupola-perspective-cube-first.png|150px]]
|colspan="2" |[[파일:4D octahedral cupola-perspective-octahedron-first.png|150px]]
|colspan="2" |[[파일:Dodecahedral_cupola.png|150px]]
|colspan="2"|
|- align=center
!덮개 세포
|colspan="2"|[[파일:Uniform_polyhedron-33-t0.png|60px]][[파일:Uniform_polyhedron-33-t02.svg|60px]]
|colspan="2"|[[파일:Uniform_polyhedron-43-t0.png|60px]][[파일:Uniform_polyhedron-43-t02.png|60px]]
|colspan="2"|[[파일:Uniform_polyhedron-43-t2.png|60px]][[파일:Uniform_polyhedron-43-t02.png|60px]]
|colspan="2"|[[파일:Uniform_polyhedron-53-t0.png|60px]][[파일:Uniform_polyhedron-53-t02.png|60px]]
|colspan="2"|[[파일:Uniform_tiling 63-t0.svg|60px]][[파일:Uniform_tiling 63-t02.png|60px]]
<!--|colspan="2"|[[파일:Uniform_polyhedron-53-t2.png|60px]][[파일:Uniform_polyhedron-53-t02.png|60px]]-->
|- align=center
!꼭짓점
|colspan="2" |16
|colspan="2" |32
|colspan="2" |30
|colspan="2" |80
|colspan="2" |&infin;
<!--|colspan="2" |72-->
|- align=center
!모서리
|colspan="2" |42
|colspan="2" |84
|colspan="2" |84
|colspan="2" |210
|colspan="2" |&infin;
<!--|colspan="2" |210-->
|-
!면
|align=right |42
|24 [[삼각형|{3}]] + 18 [[사각형|{4}]]
|align=right |80
|32 [[삼각형|{3}]] + 48 [[사각형|{4}]]
|align=right |82
|40 [[삼각형|{3}]] + 42 [[사각형|{4}]]
|align=right |194
|80 [[삼각형|{3}]] + 90 [[사각형|{4}]] + 24 [[오각형|{5}]]
|align=right |&infin; ||
<!--|align=right |202
|100 [[삼각형|{3}]] + 90 [[사각형|{4}]] + 12 [[오각형|{5}]]-->
|-
!세포
|align=right |16
|[[정사면체]] 1개<br>[[삼각기둥]] 4개<br>[[삼각기둥]] 6개<br>[[삼각뿔]] 4개<br>[[육팔면체]] 1개
|align=right |28
|[[정육면체]] 1개<br>[[정육면체|사각기둥]] 6개<br>[[삼각기둥]] 12개<br>[[삼각뿔]] 8개<br>[[마름모육팔면체]] 1개
|align=right |28
|[[정팔면체]] 1개<br>[[삼각기둥]] 8개<br>[[삼각기둥]] 12개<br>[[사각뿔]] 6개<br>[[마름모육팔면체]] 1개
|align=right |64
|[[정십이면체]] 1개<br>[[오각기둥]] 12개<br>[[삼각기둥]] 30개<br>[[삼각뿔]] 20개<br>[[마름모십이이십면체]] 1개
|align=right|&infin; ||정육각형 타일링 1개<BR>육각기둥 &infin;개<BR>삼각기둥 &infin;개<BR>삼각뿔 &infin;개<BR>마름모삼육각형 타일링 1개
<!--|align=right |64
|[[정이십면체]] 1개<br>[[삼각기둥]] 20개<br>[[삼각기둥]] 30개<br>[[오각뿔]] 12개<br>[[마름모십이이십면체]] 1개-->
|- align=center
!관련<BR>고른<BR>4차원<BR>다포체
|colspan="2" |[[runcinated 정오포체]]<BR>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node_1}}
|colspan="2" |[[runcinated 정팔포체]]<BR>{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node_1}}
|colspan="2" |[[runcinated 정이십사포체]]<BR>{{CDD|node_1|3|node|4|node|3|node_1}}
|colspan="2" |[[runcinated 정백이십포체]]<BR>{{CDD|node_1|5|node|3|node|3|node_1}}
|colspan="2" |[[runcinated 정육각형 타일링 벌집]]<BR>{{CDD|node_1|6|node|3|node|3|node_1}}
|}

== 같이 보기 ==
* [[붙인 지붕]]
* [[둥근지붕]]
* [[붙인 둥근지붕]]
* [[각뿔]]
* [[쌍각뿔]]
* [[뿔/지붕형 다면체와 이에 관련된 고른 다면체의 목록]]

== 각주 ==
{{각주}}
* [[노만 존슨|Johnson, N.W.]] ''Convex Polyhedra with Regular Faces.'' Canad. J. Math. 18, 169–200, 1966.

== 외부 링크 ==
*{{매스월드|urlname=Cupola |title=Cupola}}
* [http://bendwavy.org/klitzing/explain/segmentochora.htm Segmentotopes]

{{다면체 탐색기}}

[[분류:다면체]]
[[분류:기둥형 다면체]]
[[분류:존슨의 다면체]]