지겔 모듈러 형식 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''지겔 모듈러 형식'''({{llang|en|Siegel modular form}})은 [[보형 형식]]의 한 종류이자 [[모듈러 형식]]의 일반화이다. 통상적인 [[모듈러 형식]]이 [[타원곡선]](1차원 [[아벨 다양체]])과 관계있는 것처럼, 지겔 모듈러 형식은 일반적 차원의 [[아벨 다양체]]와 관계가 있다.

== 역사 ==
[[카를 루트비히 지겔]]이 1930년대에 [[이차 형식]]을 해석적으로 분석하기 위하여 도입하였다.

== 정의 ==
=== 지겔 상반평면과 심플렉틱 군 ===
종수 <math>g</math>의 '''지겔 상반평면''' <math>\mathbb H_g</math>는 다음과 같다.
:<math>\mathbb H_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb C) \ \big| \ \tau^\top=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{  positive definite} \right\}</math>
'''준위 1의 심플렉틱 군'''({{llang|en|symplectic group of level 1}}) <math>\Gamma_g(1)</math>을 다음과 같이 정의하자.
:<math>\Gamma_g(1)=\operatorname{Sp}(2g;\mathbb Z)=\left\{ \gamma \in GL_{2g}(\mathbb{Z}) \ \big| \ \gamma^{\top} \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} \gamma= \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix}\right\}</math>
이는 [[모듈러 군]] <math>\Gamma(1)=\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)</math>를 일반화한 것이며, 통상적인 [[심플렉틱 군]] <math>\operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)</math>의 부분군이다. 모듈러 군의 경우와 마찬가지로, [[합동류]] 사상
:<math>\Gamma_g(1)=\operatorname{Sp}(N;\mathbb Z)\xrightarrow{\bmod N}\operatorname{Sp}(N;\mathbb Z/N)</math>
에 대한 [[핵 (수학)|핵]]
:<math>\Gamma_g(N)=\ker(\bmod N)\subset\Gamma_g(1)</math>
을 정의할 수 있다. 이를 '''준위 ''N''의 심플렉틱 군'''({{llang|en|symplectic group of level ''N''}})이라고 한다.

<math>\Gamma_g(1)</math>은 지겔 상반평면에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.
:<math>\gamma=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\in \Gamma_g(1)</math>
이고
:<math>\tau\in\mathbb H_g</math>
라면,
:<math>\gamma\tau=\frac{A\tau+B}{C\tau+D}</math>
이다.

=== 지겔 모듈러 형식 ===
<math>V</math>가 복소수 벡터 공간이고,
:<math>\rho\colon\operatorname{GL}(g;\mathbb C)\to\operatorname{GL}(V)</math>
가 [[유리 함수]]인 [[군 표현]]이라고 하자.
종수 <math>g>1</math>, 무게 <math>\rho</math>, 준위 ''N''인 '''지겔 모듈러 형식''' <math>f\colon\mathbb H_g\to V</math>는 준위 ''N''의 심플렉틱 군의 임의의 원소
:<math>\gamma=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\in \Gamma_g(N)</math>
에 대하여
:<math>f\left(\frac{A\tau+B}{C\tau+D}\right)=\rho(C\tau+D)f(\tau)</math>
인 [[정칙함수]]이다.

종수가 <math>g=1</math>인 경우(통상적 [[모듈러 형식]])에는 <math>f</math>가 첨점 <math>i\infty</math>에서 정칙적이라는 조건을 추가해야 한다. 그러나 <math>g>1</math>인 경우에는 '''쾨허 원리'''({{llang|en|Koecher principle}})<ref>{{저널 인용|이름=Max|성=Koecher|제목=Zur Theorie der Modulformen n-ten Grades I|저널=Mathematische Zeitschrift|권=59|날짜=1954|쪽=455–466|언어=de}}</ref>라는 정리에 따라서 이 조건이 자동적으로 만족된다.

종수 <math>g</math>, 무게 <math>\rho</math>, 준위 <math>N</math>의 지겔 모듈러 형식의 공간을
:<math>M_{\rho}(\Gamma_g(N))</math>
이라고 쓴다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Helmut|성=Klingen|제목=Introductory Lectures on Siegel Modular Forms|출판사=Cambridge University Press|날짜=1990|isbn=978-0-52135052-5|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=20|doi=10.1017/CBO9780511619878|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=math/0605346|이름=Gerard|성=van der Geer|제목=Siegel modular forms|bibcode=2006math......5346V|언어=en}}

[[분류:모듈러 형식]]