지겔 모듈러 다양체 문서 원본 보기

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[[파일:CalabiYau5.jpg|섬네일| [[칼라비-야우 다양체|칼라비-야우]] 오차 삼중체의 2차원 단면. 이러한 오차 삼중체의 하나는 지겔 모듈러 다양체 ''A'' <sub>1,3</sub> (2)의 콤팩드화와 쌍유리적으로 동일하다.<ref name="survey"/>]]
'''지겔 모듈러 다양체'''({{llang|en|Siegel modular variety}}) 또는 '''지겔 모듈라이 공간'''({{llang|en|Siegel moduli space}})은 고정된 차원의 특정 유형의 [[아벨 다양체]]를 매개변수화하는 [[대수다양체]]이다. 보다 정확하게는 지겔 모듈러 다양체는 고정 차원의 [[아벨 다양체|주 극성화 아벨 다양체]]의 [[모듈라이 공간]]이다. 이 이름은 1943년에 이 다양체를 정의한 20세기 독일 [[정수론|정수론자]] [[카를 루트비히 지겔|카를 루드비히 지겔]]의 이름을 따서 명명되었다.<ref name="Oda">{{서적 인용|제목=Automorphic Forms, Research in Number Theory from Oman|성=Oda|이름=Takayuki|연도=2014|편집자-성=Heim|편집자-이름=Bernhard|편집자2-성=Al-Baali|편집자2-이름=Mehiddin|총서=Springer Proceedings in Mathematics & Statistics|권=115|출판사=Springer|쪽=193–221|장=Intersections of Two Walls of the Gottschling Fundamental Domain of the Siegel Modular Group of Genus Two|doi=10.1007/978-3-319-11352-4_15|isbn=978-3-319-11352-4|편집자3-성=Rupp|편집자3-이름=Florian}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Symplectic Geometry|저널=American Journal of Mathematics|성=Siegel|이름=Carl Ludwig|연도=1943|권=65|호=1|출판사=The Johns Hopkins University Press|쪽=1–86|doi=10.2307/2371774|jstor=2371774}}</ref>

지겔 모듈러 다양체는 시무라 다양체의 가장 기본적인 예이다.<ref name="Milne"/> 지겔 모듈러 다양체는 타원 곡선의 모듈라이 공간을 더 높은 차원으로 일반화하고 고전적인 [[모듈러 형식]]을 더 높은 차원으로 일반화하는 [[지겔 모듈러 형식]] 이론에서 중심 역할을 한다.<ref name="survey"/> 그들은 또한 [[블랙홀 열역학|블랙홀 엔트로피]]와 [[등각 장론|등각장 이론]]에 적용된다.<ref name="entropy"/>

== 구성 ==
<math>g</math> 차원 주 극화 아벨 다양체를 매개변수화하는 지겔 모듈러 다양체 <math>A_g</math>는 [[심플렉틱 군|대칭 군]] 작용에 의해 ''<math>g</math>차'' 지겔 상반 공간의 몫으로 구성된 복소 해석 공간으로 구성될 수 있다. 복소 해석 공간은 [[장피에르 세르|세르]]의 [[가가 정리|GAGA]]에 따라 자연스럽게 연관된 대수 다양체를 갖다.<ref name="survey"/>

[[레벨 구조(대수 기하학)|레벨 ''n'' 구조]]를 사용하여 <math>g</math> 차원 주 극화 아벨 다양체를 매개변수화하는 지겔 모듈러 다양체 <math>A_g(n)</math>은 심플렉틱 군의 레벨 ''n'' 주 합동 부분 군의 작용에 의해 지겔 상반 공간의 몫으로 발생한다.<ref name="survey"/>

지겔 모듈형 다양체는 [[심플렉틱 벡터 공간]]과 연관된 시무라 데이텀에 의해 정의된 시무라 다양체로 구성될 수도 있다.<ref name="Milne">{{서적 인용|제목=Harmonic Analysis, the Trace Formula, and Shimura Varieties|성=Milne|이름=James S.|저자링크=James Milne (mathematician)|연도=2005|편집자-성=Arthur|편집자-이름=James|편집자2-성=Ellwood|편집자2-이름=David|총서=Clay Mathematics Proceedings|권=4|출판사=American mathematical Society and Clay Mathematics Institute|쪽=265–378|장=Introduction to Shimura Varieties|isbn=978-0-8218-3844-0|편집자3-성=Kottwitz|편집자3-이름=Robert}}</ref>

== 성질 ==
지겔 모듈러 다양체 <math>A_g</math>는 <math>g(g+1)/2</math>차원 다양체이다.<ref name="survey"/><ref>{{서적 인용|제목=The Handbook of Moduli, Volume 1|성=van der Geer|이름=Gerard|연도=2013|편집자-성=Farkas|편집자-이름=Gavril|편집자2-성=Morrison|편집자2-이름=Ian|권=24|출판사=International Press|위치=Somerville, Mass.|장=The cohomology of the moduli space of Abelian varieties|arxiv=1112.2294|isbn=9781571462572}}</ref> 게다가 Yung-Sheng Tai, 에버하르트 프라이타그 및 [[데이비드 멈퍼드]]는 ''<math>A_g</math>''가 ''<math>A_g</math>''일 때 [[코다이라 차원|일반 유형]]임을 보여주었다.<ref name="survey" /><ref>{{저널 인용|제목=On the Kodaira dimension of the moduli space of abelian varieties|저널=Inventiones Mathematicae|성=Tai|이름=Yung-Sheng|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN356556735_0068?tify=%7B%22view%22:%22info%22,%22pages%22:%5B431%5D%7D|연도=1982|권=68|호=3|쪽=425–439|bibcode=1982InMat..68..425T|doi=10.1007/BF01389411}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Siegelsche Modulfunktionen|성=Freitag|이름=Eberhard|연도=1983|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|권=254|출판사=Springer-Verlag|언어=de|doi=10.1007/978-3-642-68649-8|isbn=978-3-642-68650-4}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Algebraic Geometry - Open Problems, Proceedings of the Conference held in Ravello, May 31 - June 5, 1982|성=Mumford|이름=David|연도=1983|편집자-성=Ciliberto|편집자-이름=C.|편집자2-성=Ghione|편집자2-이름=F.|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=997|출판사=Springer|쪽=348–375|장=On the Kodaira dimension of the Siegel modular variety|doi=10.1007/BFb0061652|isbn=978-3-540-12320-0|편집자3-성=Orecchia|편집자3-이름=F.}}</ref>

지겔 모듈형 다양체는 [[사영 다양체]]를 얻기 위해 콤팩트화될 수 있다.<ref name="survey"/> 특히, ''<math>A_2(2)</math>''의 콤팩트화는 [[유리 다양체]]인 세그레 삼차 삼중체와 [[이중합리 기하학|쌍유리적]]으로 동일한다.<ref name="survey" /> 유사하게, ''<math>A_2(3)</math>''의 콤팩트화는 역시 유리 다양체인 Burkhardt 사차 삼중체와 쌍유리적으로 동일하다.<ref name="survey" /> ''<math>A_{1,3}(2)</math>''로 표시된 또 다른 지겔 모듈러 다양체는 고다이라 차원이 0인 모듈러 칼라비-야우 다양체와 쌍유리적으로 동형인 바르토-니에로 오차 삼중체와 쌍유리적으로 동형인 콤팩트화를 갖는다.<ref name="survey" />

== 응용 ==
지겔 모듈러 형식은 지겔 모듈러 다양체에서 [[벡터 값 미분 형식]]으로 발생한다.<ref name="survey">{{서적 인용|제목=Higher Dimensional Birational Geometry|성=Hulek|이름=Klaus|성2=Sankaran|이름2=G. K.|연도=2002|총서=Advanced Studies in Pure Mathematics|권=35|쪽=89–156|장=The Geometry of Siegel Modular Varieties|arxiv=math/9810153|doi=10.2969/aspm/03510089|isbn=978-4-931469-85-3}}</ref> 지겔 모듈러 다양체는 지겔 모듈러 형식 이론을 통해 등각장 이론에 응용되었다.<ref>{{저널 인용|제목=Siegel paramodular forms and sparseness in AdS3/CFT2|저널=Journal of High Energy Physics|성=Belin|이름=Alexandre|성2=Castro|이름2=Alejandra|날짜=7 November 2018|권=2018|호=11|쪽=37|arxiv=1805.09336|bibcode=2018JHEP...11..037B|doi=10.1007/JHEP11(2018)037|성3=Gomes|이름3=João|성4=Keller|이름4=Christoph A.}}</ref> 지겔 모듈러 형식은 [[끈 이론]]에서 [[임계 블랙홀|초대칭 블랙홀]]의 D1D5P 계에서 [[블랙홀 엔트로피]]의 미시 상태를 자연스럽게 포착한다.<ref name="entropy">{{저널 인용|제목=Siegel modular forms and black hole entropy|저널=Journal of High Energy Physics|성=Belin|이름=Alexandre|성2=Castro|이름2=Alejandra|url=https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FJHEP04%282017%29057.pdf|날짜=11 April 2017|권=2017|호=4|쪽=57|arxiv=1611.04588|bibcode=2017JHEP...04..057B|doi=10.1007/JHEP04(2017)057|성3=Gomes|이름3=João|성4=Keller|이름4=Christoph A.}} See Section 1 of the paper.</ref>

1968년에 알렉세이 파신은 파신의 트릭을 도입하여 [[이고리 샤파레비치|샤파레비치]] 유한성 추측이 참이라면 [[팔팅스의 정리|모델 추측]](현재 팔팅스의 정리로 알려짐)이 성립함을 보여주었다.<ref>{{저널 인용|제목=Algebraic curves over function fields I|저널=[[Izvestiya: Mathematics|Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Math.]]|성=Parshin|이름=A. N.|저자링크=Aleksei Parshin|url=http://www.mathnet.ru/links/122f62ba321659ce3eb4902db899ab61/im2513.pdf|연도=1968|권=32|호=5|쪽=1191–1219|bibcode=1968IzMat...2.1145P|doi=10.1070/IM1968v002n05ABEH000723}}</ref><ref name="Cornell-Silverman" /> 1983년과 1984년에 [[게르트 팔팅스]]는 샤파레비치 유한성 추측을 증명하여 모델 추측의 증명을 완성했다.<ref>{{저널 인용|제목=Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern|저널=[[Inventiones Mathematicae]]|성=Faltings|이름=Gerd|저자링크=Gerd Faltings|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN356556735_0073?tify=%7B%22view%22:%22info%22,%22pages%22:%5B355%5D%7D|연도=1983|권=73|호=3|쪽=349–366|언어=de|번역제목=Finiteness theorems for abelian varieties over number fields|bibcode=1983InMat..73..349F|doi=10.1007/BF01388432|mr=0718935}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern|저널=[[Inventiones Mathematicae]]|성=Faltings|이름=Gerd|연도=1984|권=75|호=2|쪽=381|언어=de|doi=10.1007/BF01388572|mr=0732554}}</ref><ref name="Cornell-Silverman">{{서적 인용|제목=Arithmetic geometry. Papers from the conference held at the University of Connecticut, Storrs, Connecticut, July 30 – August 10, 1984|연도=1986|편집자-성=Cornell|편집자-이름=Gary|편집자2-성=Silverman|편집자2-이름=Joseph H.|편집자2-링크=Joseph Hillel Silverman|출판사=Springer-Verlag|위치=New York|doi=10.1007/978-1-4613-8655-1|isbn=0-387-96311-1|mr=861969}}</ref> 팔팅스 증명의 주요 아이디어는 지겔 모듈러 다양체를 통해 팔팅스 높이와 순진한 높이를 비교하는 것이다.<ref>"Faltings relates the two notions of height by means of the Siegel moduli space.... It is the main idea of the proof." {{저널 인용|제목=The Proof of the Mordell Conjecture|저널=The Mathematical Intelligencer|성=Bloch|이름=Spencer|저자링크=Spencer Bloch|url=http://pdfs.semanticscholar.org/b509/4b4b6f31976173c38813428be512f7d35c9c.pdf|연도=1984|권=6|호=2|쪽=44|doi=10.1007/BF03024155|보존url=https://web.archive.org/web/20190303115211/http://pdfs.semanticscholar.org/b509/4b4b6f31976173c38813428be512f7d35c9c.pdf|보존날짜=2019-03-03|url-status=dead}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[힐베르트 모듈러 곡면]]
* [[힐베르트 스킴]]
* [[야코비 다양체]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:대수다양체]]
[[분류:모듈라이 이론]]