즈남 문제 문서 원본 보기

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[[파일:Znam-2-3-11-23-31.svg|섬네일|300px|지속적으로 전체 사각형"1"을 표현하는 단위분수의 세트들]]
'''즈남 문제'''(Znám problem)는 [[스테판 즈남]](Štefan Znám)이 제안하는 [[에르되시-스트라우스 추측]], [[이집트 분수]], [[실베스터 수열]] 등과 연관되는 추측이다.<ref>([[매스월드]])http://mathworld.wolfram.com/ZnamsProblem.html</ref>

이것은 "임의의 정수를 유한한 단위분수들의 집합으로 표현하는 것이 가능한가?"라는 질문이다.

[[정수론|수론]]에서 즈남(Znam)의 문제는, 임의의 정수 "1"을 예로 들면, 일단의 단위분수의 세트가 임의의 정수의 적절한 분산임을 설정하고, 그 단위분수들의 [[합]]과 [[곱셈|곱]]의 [[합]]에서 "1"이 가능한지를 구현한다. 한편 이러한 단위분수들이 계속해서 증가되는 세트에서도 여전히 "1"의 값을 갖게되는 일단의 세트 집합이 가능한지를 예상하게 된다.

== 즈남 문제의 유한한 단위분수들 ==
<!-- 약한 즈남 문제 -->
:<math>\left({{1}\over{2}}+{{1}\over{3}}\right) + \left({{1}\over{2\cdot3}}\right)=1</math>
<!-- 약한 즈남 문제
:<math>\left({{1}\over{2}}+{{1}\over{3}}+{{1}\over{7}}+{{1}\over{43}}\right) + \left({{1}\over{2\cdot3\cdot7\cdot43}}\right)=1</math>
-->
:<math>\left({{1}\over{2}}+{{1}\over{3}}+{{1}\over{11}}+{{1}\over{23}}+{{1}\over{31}}\right) + \left({{1}\over{2\cdot3\cdot11\cdot23\cdot31}}\right)=1</math>
:<math>\left({{1}\over{2}}+{{1}\over{3}}+{{1}\over{7}}+{{1}\over{47}}+{{1}\over{415}}+{{1}\over{8111}}\right) + \left({{1}\over{2\cdot3\cdot7\cdot47\cdot415\cdot8111}}\right)=1</math>

:<math>\qquad\qquad\qquad \vdots</math>

== 즈남문제의 일반화와 이집트 분수형태의 접근 ==
:<math>\sum{{1}\over{x_n}} + \prod{{1}\over{x_n}}=y</math>
:<math>\sum{{1}\over{x_n}} + \prod{{1}\over{x_n}}=1</math>

== 소수 유사완전수 ==
:<math>\left({{1}\over{2}}+{{1}\over{3}}\right) + \left({{1}\over{2\cdot3}}\right)=1</math>
:<math>\left({{1}\over{2}}+{{1}\over{3}}+{{1}\over{11}}+{{1}\over{23}}+{{1}\over{31}}\right) + \left({{1}\over{2\cdot3\cdot11\cdot23\cdot31}}\right)=1</math>
에서처럼 즈남문제의 단위분수 세트의 분모들은 일반적으로 [[소수 (수론)|소수]]로 [[소수 유사완전수]]의 단위분수들이다.

== 약한 즈남문제의 이집트 분수표현 ==
:<math>\left({{1}\over{2}}+{{1}\over{3}}\right) + \left({{1}\over{2\cdot3}}\right)=1</math>
:<math>\left({{1}\over{2}}+{{1}\over{3}}\right) =1-\left({{1}\over{2\cdot3}}\right)</math>
:<math>{{1}\over{2}}+{{1}\over{3}} ={{1}\over{1}}-{{1}\over{6}}</math>
:<math>{{5}\over{6}}={{1}\over{2}}+{{1}\over{3}} </math>

== 같이 보기 ==
* [[에르되시-그레이엄 추측]]
* [[리만 제타 함수]]
* [[디오판토스 방정식]]

== 각주 ==
{{각주}}
* (List of prime numbers up to 1 000 000 000 000)http://compoasso.free.fr/primelistweb/page/prime/liste_online_en.php

[[분류:추측]]
[[분류:수열]]
[[분류:이집트 분수]]
[[분류:정수열]]