중심이항계수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서, '''중심이항계수'''(中心二項係數, {{lang|en|central binomial coefficient}})는 짝수 차 [[이항식]]의 가운데 항의 계수이다. 즉 [[파스칼의 삼각형]]의 각 짝수 번째 줄의 중심에 위치하는 수이다. ''n''번째 중심이항계수는 다음과 같은 [[이항계수]]이다. 

:<math>{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}</math>

''n'' = 0부터 시작한 처음 몇 항은 다음과 같다.

:1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, ... {{OEIS|A000984}}

== 성질 ==
중심이항계수는 다음 [[생성함수]](generating function)의 계수로 표현된다.
:<math>\frac{1}{\sqrt{1-4x}} = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + \cdots. </math>

[[스털링 근사]]에 의해 다음을 얻는다.
: <math> {2n \choose n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}</math> as <math>n\rightarrow\infty</math>.

다음 부등식이 성립한다.
:<math>\frac{4^n}{\sqrt{4n}} \leq {2n \choose n} \leq \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}}</math> for all <math>n \geq 1</math>

[[카탈랑 수]]에서도 등장한다. 모든 자연수 <math>n</math>에 대해, 카탈란 수의 <math>n</math>번째 항 <math>C_n</math>은
:<math>C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n} = {2n \choose n} - {2n \choose n+1}</math>
이 성립한다.

[[베르트랑의 공준]]을 증명할 때, 중심이항계수의 성질로부터 시작한다. 또한, [[아페리 상수]]가 [[무리수]]임을 증명할 때 쓰이는 급수에 등장한다.

== 같이 보기 ==
* [[제곱 인수가 없는 정수]]

== 참고 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/CentralBinomialCoefficient.html Central Binomial Coefficient] in [[MathWorld]]

{{전거 통제}}

[[분류:계승과 이항식 주제]]