중복집합 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''중복집합'''(重複集合, {{llang|en|multiset}}) 또는 '''다중집합'''(多重集合)은 각 원소를 어떤 [[기수 (수학)|기수]]만큼 중복하는 것을 허용하여 [[집합]]을 일반화한 개념이다. 중복집합의 원소가 중복된 횟수를 나타내는 기수를 '''중복도'''(重複度, {{llang|en|multiplicity}})라고 한다. 통상적인 집합은 각 원소의 중복도가 1인 중복집합으로 여길 수 있다. 집합의 연산들을 중복집합에 자연스럽게 확장할 수 있다.

== 정의 ==
'''중복집합'''은 다음과 같은 데이터로 구성되는 [[순서쌍]] <math>(M,\mu_M)</math>이다.
* [[집합]] <math>M</math>. 그 원소를 중복집합의 '''원소'''라고 한다.
* [[기수 (수학)|기수]] 값 [[함수]] <math>\mu_M\colon M\to\operatorname{Card}\setminus\{0\}</math>. 각 <math>m\in M</math>에 대하여, <math>\mu_M(m)</math>을 <math>m</math>의 '''중복도'''라고 한다. (<math>M</math>에 속하지 않는 원소의 중복도는 0이라고 정의한다.)
중복집합 <math>M</math>의 '''크기'''는 모든 원소의 중복도의 합이다.
:<math>|M|=\sum_{m\in M}\mu_M(m)</math>
여기서 우변은 [[기수 (수학)|기수]]의 덧셈이다.

== 연산 ==
집합의 연산은 중복집합으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 예를 들어, 두 중복집합 <math>(M,\mu_M)</math>, <math>(M',\mu_{M'})</math>의 합집합 <math>M\cup M'</math>과 교집합 <math>M\cap M'</math>은 다음과 같다.
:<math>\mu_{M\cup M'}=\max\{\mu_M,\mu_{M'}\}</math>
:<math>\mu_{M\cap M'}=\min\{\mu_M,\mu_{M'}\}</math>

== 예 ==
중복집합
:<math>(\{a,b,c\},(a\mapsto 3,b\mapsto 2,c\mapsto 4))</math>
는 흔히
:<math>\{a,a,a,b,b,c,c,c,c\}</math>
로 표기한다. 그 크기는 3+2+4=9이다.

== 같이 보기 ==
* [[집합론]]
* [[단어 가방 모형]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Multiset}}
* {{매스월드|id=Multiset|title=Multiset}}
* {{매스월드|id=Multichoose|title=Multichoose}}
* {{nlab|id=multiset|title=Multiset}}
* {{nlab|id=MultiSet}}
* {{nlab|id=inner+product+of+multisets|title=Inner product of multisets}}
* {{플래닛매스|urlname=Multiset|title=Multiset}}
* {{proofwiki|제목=Definition:Multiset}}

{{집합론}}
{{토막글|수학}}

[[분류:집합론의 기본 개념]]
[[분류:계승과 이항식 주제]]