줄기 (수학) 문서 원본 보기

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[[층 (수학)|층]] 이론에서, '''줄기'''({{llang|en|stalk}}, {{llang|fr|fibre}})는 어떤 [[층 (수학)|층]]이 어떤 한 점에서 가질 수 있는 값들의 공간이다. 줄기들의 집합은 '''에탈레 공간'''({{llang|en|étalé space}}, {{llang|fr|espace étalé}})을 이룬다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의, 범주 <math>\mathcal C</math>의 값을 갖는 [[준층]] <math>\mathcal F</math>가 주어졌을 때, <math>\mathcal F</math>의 점 <math>x\in X</math>에서의 '''줄기''' <math>\mathcal F_x</math>는 <math>x</math>의 모든 [[열린 근방]]에 대하여 취한, 다음과 같은 [[귀납적 극한]]이다.
:<math>\mathcal F_x=\varinjlim_{U\ni x}\Gamma(U;\mathcal F)\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>
이러한 귀납적 극한이 항상 존재할 필요는 없지만, 일반적으로 많이 쓰이는 경우인 <math>\mathcal C</math>가 [[집합]]이나 [[아벨 군]]이나 [[가환환]]의 범주인 경우에는 항상 존재한다. 정의에 따라, 점 ''x''의 임의의 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, 자연스러운 <math>\mathcal C</math>-사상
:<math>\phi_{U,x}\colon \Gamma(U;\mathcal F)\to\mathcal F_x</math>
가 존재한다.

=== 싹 ===
<math>\mathcal C</math>가 [[구체적 범주]]라고 하자. 임의의 단면 <math>s\in\Gamma(U;\mathcal F)</math>에 대하여, <math>\phi_{U,x}(s)\in\mathcal F_x</math>를 <math>s</math>의 <math>x</math>에서의 '''싹'''({{llang|en|germ}}) <math>s</math>라고 한다. 이는 수학의 다른 분야에서 쓰이는 [[싹 (수학)|싹]]의 개념을 일반화한 것이다. <math>s_x</math>는 <math>s</math>의 <math>x</math>에서의 국소적 정보를 담는다.

=== 에탈레 공간 ===
위상 공간 <math>X</math> 및 그 위의 집합 값을 갖는 [[준층]] <math>\mathcal F</math>에 대하여, <math>\mathcal F</math>의  '''에탈레 공간'''은 다음 성질을 만족시키는 위상 공간 <math>E_{\mathcal F}</math>이다.
* [[국소 위상동형사상]](local homeomorphism) <math>\pi_{\mathcal F}\colon E_{\mathcal F}\to X</math>이 있다.
* <math>\mathcal F</math>의 층화는 <math>\pi_{\mathcal F}</math>의 단면들의 층과 동형이다. 여기서 "단면"이란 <math>\pi_{\mathcal F}\circ s=\operatorname{id}_X</math>인 [[연속 함수]] <math>s\colon X\to E_{\mathcal F}</math>이다.
여기서, "에탈레"({{llang|fr|étalé}})는 [[에탈 코호몰로지]]·[[에탈 사상]]·[[에탈 기본군]] 등의 "에탈"({{llang|fr|étale}})과는 관계없는 개념이다.

구체적으로, <math>\mathcal F</math>의 에탈레 공간은 [[집합]]으로서 모든 줄기들의 [[분리합집합]]이다.
:<math>E_{\mathcal F}=\bigsqcup_{x\in X}\mathcal F_x</math>
이 위에 다음과 같은 위상을 준다. 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math> 및 단면 <math>s\in\Gamma(U;\mathcal F)</math>에 대하여,
:<math>U_s=\{s_x\in E\colon x\in U\}\subseteq E_{\mathcal F}</math>
를 정의하자. 이는 위상 공간의 [[기저 (위상수학)|기저]]의 공리들을 만족시키며, 따라서, 이를 기저로 하는 위상을 줄 수 있다.

== 성질 ==
에탈레 공간에서, 각 줄기 <math>\mathcal F_x\subseteq E_{\mathcal F}</math>는 [[이산 공간]]을 이룬다.

[[다양체]] 위의 실수값 [[연속 함수]]의 층이나, [[매끄러운 다양체]] 위의 실수값 [[매끄러운 함수]]의 에탈레 공간은 [[하우스도르프 공간]]이 아니다.

== 예 ==
일부 층들에 대해서는 싹은 잘 작동하지만, 일부 경우는 그렇지 않다. 예를 들어, [[해석 함수]]의 어떤 점에서의 싹은, 그 점 주변에서의 그 함수의 행동을 완전하게 결정해 버린다. 이것은 [[복소해석학]]의 [[테일러 급수]]에 관한 정리에서 쉽게 알 수 있다. 반면, [[매끄러운 함수]]에 대해서 어떤 점에서의 싹을 보는 경우, 이 주변에서의 함수의 행동에 대해서 이 싹이 아무런 정보도 주지 못한다. 예를 들어, [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[지지집합]]을 갖는 함수는 지지집합 밖에서의 싹만으로는 전혀 알 수 없다.

=== 함수의 싹 ===
위상 공간 <math>X</math> 및 집합 <math>Y</math>가 주어졌을 때, <math>X\to Y</math> 함수들의 층(또는 그 임의의 부분층, 예를 들어 <math>Y</math>에 위상울 주었을 때, [[연속 함수]]의 층)을 생각하자. 이 경우, 싹은 구체적으로 다음과 같이 적을 수 있다. 함수의 집합에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 정의하자. 임의의 [[열린집합]] <math>U,V\ni x</math> 및 두 함수
:<math>f\colon U\to Y</math>
:<math>g\colon V\to Y</math>
에 대하여,
:<math>f|_W=g|_W</math>
인 <math>x</math>의 [[근방]] <math>W\ni x</math>, <math>W\subseteq U\cap V</math>가 존재한다면
:<math>f\sim_xg</math>
라고 하자. 그렇다면 <math>f</math>의 <math>x</math>에서의 '''싹'''은 [[동치관계]] <math>\sim_x</math>에 대한 [[동치류]]이다.

=== 아핀 스킴 위의 준연접층 ===
[[아핀 스킴]] <math>\operatorname{Spec}R</math> 위의 [[준연접층]]은 <math>R</math>-[[가군]]에 대응한다. <math>R</math>-가군 <math>M</math>에 대응하는 준연접층의, 소 아이디얼 <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>에서의 줄기는 [[국소화 (환론)|국소화]] <math>M_{\mathfrak p}</math>이다.

== 역사 ==
싹의 개념은 고전적이다. 줄기의 개념은 1950년 카르탕 세미나에서 등장하였다.

"에탈레 공간"이라는 용어는 [[로제 고드망]]이 [[호몰로지|호몰로지 대수학]]에 대한 책과 층 이론에 대한 책 《대수적 위상수학과 층론》({{llang|fr|Topologie álgebrique et théorie des faisceaux}})에서 처음으로 사용하였다. 고드망은 [[층 (수학)|층]]을 에탈레 공간의 단면으로 정의하였으며, [[준층]]을 사용하는 층의 현대적인 정의는 비교적 최근에 등장하였다.

== 외부 링크 ==
*{{eom | title=Germ | last= Chirka  | first= Evgeniǐ Mikhaǐlovich }}
* {{매스월드|id=EtaleSpace|title=Etale space}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/stalk|제목=Stalk|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/germ|제목=Germ|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/etale+space|제목=Etale space|웹사이트=nLab|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[상수층]]

{{전거 통제}}

[[분류:층론]]