준 리만 다양체 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''준 리만 다양체'''({{llang|en|pseudo/semi-Riemannian manifold}})는 [[양의 정부호]]가 아닐 수 있는 [[계량 텐서]]가 주어진 [[매끄러운 다양체]]이며, [[리만 다양체]]의 일반화이다.{{기하학}}

== 정의 ==
'''준 리만 다양체''' <math>(M,g)</math>는 다음 조건을 만족시키는 매끄러운 (0,2)-[[텐서장]] <math>g</math>가 갖추어진 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>이다.
* (대칭성) 모든 벡터장 <math>X,Y</math>에 대하여 <math>g(X,Y)=g(Y,X)</math>이다.
* (비자명성) 만약 모든 [[벡터장]] <math>Y</math>에 대하여 <math>g(X,Y)=0</math>인 벡터장 <math>X</math>가 있다면, <math>X=0</math>이다.
<math>g</math>는 <math>M</math>의 '''[[계량 텐서]]'''라고 한다. 만약 <math>g</math>가 추가로 [[양의 정부호]]라면 <math>(M,g)</math>는 '''[[리만 다양체]]'''가 된다.

==로런츠 다양체==
준 리만 다양체 <math>(M,g)</math>의 '''부호수'''({{llang|en|signature}})는 그 [[계량 텐서]]의 부호수이다. (만약 <math>M</math>이 [[연결 공간]]이라면 이는 모든 점에서 동일하다.) 부호수가 <math>(\dim M-1,1)</math>인 다양체를 '''로런츠 다양체'''({{llang|en|Lorentzian manifold}})라고 한다. (대신 <math>(1,\dim M-1)</math>로 정의하는 문헌도 있는데, 이는 <math>g\to-g</math>로 단순히 부호를 바꾸는 것에 불과하다.)

=== 로런츠 다양체의 응용 ===
로런츠 다양체는 물리학에서 등장한다. 특히, [[일반 상대성 이론]]은 [[시공간]]을 4차원 로런츠 다양체로 나타낸다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Chen|first=Bang-Yen| | title = Pseudo-Riemannian geometry, δ-invariants and applications| publisher=World Scientific Publisher | 날짜=2011|isbn=978-981-4329-63-7|언어=en}}
* {{서적 인용|title=Semi-Riemannian geometry with applications to relativity|volume=103|series=Pure and Applied Mathematics|first=Barrett|last=O’Neill|publisher=Academic Press|날짜=1983|isbn=978-008057057-0|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Pseudo-Riemannian space}}
* {{매스월드|id=Pseudo-RiemannianManifold|title=Pseudo-Riemannian manifold}}
* {{nlab|id=pseudo-Riemannian manifold|title=Pseudo-Riemannian manifold}}

== 같이 보기 ==
* [[인과 구조]]

[[분류:베른하르트 리만]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:로런츠 다양체|*]]
[[분류:리만 기하학]]
[[분류:리만 다양체]]
[[분류:매끄러운 다양체]]