준연접층 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]과 [[복소기하학]]에서 '''준연접 가군층'''(準連接加群層, {{llang|en|quasicoherent sheaf of modules}}, {{llang|fr|faisceau de modules quasi-cohérent}}) 또는 단순히 '''준연접층'''은 [[벡터 다발]](국소 자유층)의 [[핵 (수학)|핵]] · [[여핵]]으로 구성할 수 있는 [[가군층]]이다. 이는 [[연접층]]의 개념의 일반화이다. 연접 가군층의 범주는 [[아벨 범주]]를 이루지만, 이는 [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]가 아니므로 그 [[층 코호몰로지]]를 정의하기가 복잡하다. 이 대신, 모든 무한 차원일 수 있는 벡터 다발을 포함하는 [[아벨 범주]]인 준연접 가군층의 범주는 [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]이며, 따라서 [[층 코호몰로지]]를 쉽게 정의할 수 있다.

== 정의 ==
[[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위에서, 다음 조건들을 만족시키는 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] <math>\mathcal F</math>를 '''국소 단면 생성 가군층'''(局所斷面生成加群層, {{llang|en|sheaf of modules locally generated by sections}})이라고 한다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, 층의 [[완전열]] <math>\mathcal O_X^{\oplus\lambda}|_U\to\mathcal F|_U\to0</math>이 존재하게 되는 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>와 [[기수 (수학)|기수]] <math>\lambda</math>가 존재한다.

[[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위에서, 다음 조건들을 만족시키는 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] <math>\mathcal F</math>를 '''준연접 가군층'''(準連接加群層, {{llang|en|quasicoherent sheaf of modules}}, {{llang|fr|faisceau de modules quasi-cohérent}}) 또는 단순히 '''준연접층'''이라고 한다.<ref name="ÉGA1">{{저널 인용
 |last         = Grothendieck
 |first        = Alexandre
 |저자링크 = 알렉산더 그로텐디크
 |last2        = Dieudonné
 |first2       = Jean
 |author2-link = 장 디외도네
 |year         = 1960
 |title        = Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas
 |journal      = Publications Mathématiques de l’IHÉS
 |issn         = 0073-8301
 |volume       = 4
 |mr           = 0217083
 |url          = http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1960__4_
 |doi          = 10.1007/bf02684778
 |언어       = fr
 |access-date  = 2019-01-27
 |archive-date = 2016-03-06
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20160306015028/http://numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=pmihes_1960__4_
 |url-status   = dead
}}</ref>{{rp|45, (5.1.3)}}
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, 층의 [[완전열]] <math>\mathcal O_X^{\oplus\kappa}|_U\to\mathcal O_X^{\oplus\lambda}|_U\to\mathcal F|_U\to0</math>이 존재하게 되는 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>와 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa,\lambda</math>가 존재한다.

국소 단면 생성 가군층/준연접 가군층의 정의에서, [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa,\lambda</math>가 [[자연수]]이어야 한다는 조건을 추가하면 각각 [[유한 생성 가군층]]/[[유한 표시 가군층]]의 개념을 얻는다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
임의의 [[환 달린 공간]] 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:[[연접층]] ⊆<ref name="ÉGA1"/>{{rp|47, (5.3.2)}} [[유한 표시 가군층]] ⊆<ref name="ÉGA1"/>{{rp|46, (5.2.5)}} 준연접 가군층 ∩ [[유한 생성 가군층]]
:[[국소 자유 가군층]] ⊆ 준연접 가군층<ref name="ÉGA1"/>{{rp|48, (5.4.1)}}
[[국소 뇌터 스킴]] 위에서는 구조층이 [[연접층]]이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.<ref>[http://stacks.math.columbia.edu/tag/01XY Stacks project: 29.9]</ref>
:유한 계수 [[국소 자유 가군층]] ⊆<ref name="ÉGA1"/>{{rp|48, (5.4.1)}} [[연접층]] = [[유한 표시 가군층]] = 준연접 가군층 ∩ [[유한 생성 가군층]]

=== 동치 조건 ===
[[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math> 위의 [[가군층]] <math>\mathcal F</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal F</math>는 준연접 가군층이다.
* 임의의 아핀 [[열린 부분 스킴]] <math>\operatorname{Spec}R\subseteq X</math>에 대하여, <math>\mathcal F|_{\operatorname{Spec}R}</math>는 <math>\mathcal O_{\operatorname{Spec}R}</math>-[[가군층]]으로서 어떤 <math>R</math>-[[가군]]으로부터 유도된 <math>\mathcal O_{\operatorname{Spec}R}</math>-[[가군층]]과 동형이다.
* <math>X</math>의 어떤 [[아핀 스킴|아핀]] [[열린 덮개]] <math>\{\operatorname{Spec}R_i\}_{i\in I}</math>에 대하여, <math>\mathcal F|_{\operatorname{Spec}R_i}</math>는 <math>\mathcal O_{\operatorname{Spec}R_i}</math>-[[가군층]]으로서 어떤 <math>R_i</math>-[[가군]]으로부터 유도된 <math>\mathcal O_{\operatorname{Spec}R_i}</math>-[[가군층]]과 동형이다.

=== 연산 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 두 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>, <math>Y</math>
* [[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>
그렇다면, <math>Y</math> 위의 준연접층 <math>\mathcal F</math>의 당김 <math>f^*\mathcal F</math>는 <math>X</math> 위의 준연접층이다. 반대로, <math>X</math> 위의 준연접층 <math>\mathcal E</math>가 주어졌으며, <math>f</math>가  [[준콤팩트 함수|준콤팩트]] [[준분리 사상]]이라면 <math>\mathcal E</math>의 밂 <math>f_*\mathcal F</math>는 <math>Y</math> 위의 연접층이다.

=== 준연접층의 범주 ===
일반적 [[환 달린 공간]] 위의 준연접 가군층의 범주 <math>\operatorname{QCoh}(X)</math>는 일반적으로 [[아벨 범주]]가 아니다. 하지만, 만약 <math>X</math>가 [[스킴 (수학)|스킴]]일 경우는 이는 다음 조건들을 만족시킨다.
* [[그로텐디크 아벨 범주]]이다. 특히, 이는 [[단사 대상을 충분히 가지는]] [[완비 범주|완비]] [[쌍대 완비 범주|쌍대 완비]] [[아벨 범주]]이다.
* 포함 함자 <math>I\colon \operatorname{QCoh}(X)\to\mathcal O_X\text{-Mod}</math>는 [[오른쪽 수반 함자]] <math>Q\colon  \mathcal O_X\text{-Mod}\to\operatorname{QCoh}(X)</math>를 가진다.
** 따라서, <math>I</math>는 모든 [[쌍대 극한]]을 보존하며 [[오른쪽 완전 함자]]이다. (모든 [[가군층]]의 범주 <math>\mathcal O_X\text{-Mod}</math> 역시 [[그로텐디크 아벨 범주]]이며 특히 [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이다.)
** 따라서, <math>Q</math>는 모든 [[극한 (범주론)|극한]]을 보존하며 [[왼쪽 완전 함자]]이다.
즉, <math>\operatorname{QCoh}(X)</math>에서의 쌍대 극한은 가군층으로서의 쌍대 극한과 같다. <math>\operatorname{QCoh}(X)</math>에서의 유한 극한은 가군층으로서의 극한과 같지만, 무한 극한은 가군층의 극한과 일반적으로 다르며, 가군층에서의 극한에 <math>Q</math>를 가한 것이다.

=== 아핀 스킴 위의 준연접층 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 다음과 같은 두 범주는 서로 [[범주의 동치|동치]]이다.
* <math>R</math>-[[가군]]의 범주 <math>\operatorname{Mod}_R</math>
* <math>R</math>의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] 위의 준연접 가군층의 범주 <math>\operatorname{QCoh}(\operatorname{Spec}R)</math>
구체적으로, <math>R</math>-[[가군]] <math>M</math>에 대응하는 준연접 가군층은 다음 조건을 만족시키는 유일한 [[가군층]] <math>\tilde M</math>이다.
* 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>\Gamma(\operatorname{Spec}(R_r);\tilde M)=R_r\otimes_RM</math>
여기서
:<math>R_r=(\{1,r,r^2,\dots\})^{-1}R</math>
는 <math>r</math>로 생성되는 곱셈 [[모노이드]]에서의 [[국소화 (환론)|국소화]]이며, 그 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]은 <math>\operatorname{Spec}R</math>의 [[열린집합]]을 정의한다.
반대로, <math>\operatorname{Spec}R</math> 위의 준연접 가군층 <math>\mathcal F</math>에 대응하는 <math>R</math>-[[가군]]은 <math>\Gamma(\operatorname{Spec}R;\mathcal F)</math>이다.

== 예 ==
[[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>의 [[닫힌 부분 스킴]] <math>Y\subseteq X</math>에 대응하는 [[아이디얼 층]]은 준연접 가군층이다. 특히, <math>X</math> 전체에 대응하는 영 준연접층 <math>0</math>은 (자명하게) 준연접층이며, [[공집합]] <math>\varnothing</math>에 대응하는 [[구조층]] <math>\mathcal O_X</math> 역시 준연접층이다. (반면, [[국소 뇌터 스킴]]이 아닌 스킴의 경우 구조층이 [[연접층]]이 아닐 수 있다.)

[[체 (수학)|체]] <math>K</math>의 스펙트럼 <math>\operatorname{Spec}K</math> 위에서는 준층과 층과 [[준연접층]]의 개념이 일치하며, 이들은 모두 <math>K</math>-[[벡터 공간]]으로 주어진다. (이 가운데 [[연접층]]은 유한 차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]]이다.)

=== 이산 값매김환 위의 준연접층과 준연접층이 아닌 가군층 ===
[[이산 값매김환]] <math>(D,\mathfrak m,\kappa=D/\mathfrak m)</math>의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}D</math>는 [[시에르핀스키 공간]]이며, 이는 두 개의 점으로 구성된다. 이 경우, 닫힌점은 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math>에 대응하며, 이는 [[잉여류체]] <math>\kappa</math>에 해당한다. 닫힌점이 아닌 점은 [[영 아이디얼]] <math>0</math>에 대응하며, 이는 [[분수체]] <math>\operatorname{Frac}D = K</math>에 해당한다.

[[시에르핀스키 공간]] 위에서는 열린집합의 [[부분 순서 집합]]이 (크기 3의) [[전순서 집합]]이며, 특히 두 [[열린집합]]의 [[합집합]]을 취하여 더 큰 [[열린집합]]을 만들 수 없다. 따라서, 이 경우 모든 [[준층]]이 [[층 (수학)|층]]을 이룬다.

<math>\operatorname{Spec}D</math> 위의 임의의 가군 (준)층 <math>\mathcal F</math>는 따라서 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>\Gamma(\mathcal F,\operatorname{Spec}D) = M</math>. 이는 <math>D</math>-[[가군]]이다.
* <math>\Gamma(\mathcal F,\{0\}) = N</math>. 이는 <math>K</math>-[[벡터 공간]]이다.
* <math>\operatorname{Spec}D \to \{0\}</math>의 제약 사상 <math>\phi \colon M \otimes_DK \to N</math>. 이는 <math>K</math>-[[선형 변환]]이다.
즉, <math>\operatorname{Spec}D</math> 위의 가군층은 위와 같은 <math>(M,N,\phi)</math>로 주어진다.

[[아핀 스킴]] <math>\operatorname{Spec}D</math> 위의 준연접 가군층은 <math>D</math>-[[가군]] <math>M</math>만으로 주어진다. 이 경우, <math>\{0\}</math>의 단면은 (가군에 대응하는 준연접층의 정의에 따라) <math>M\otimes_AK</math>이다. 즉, <math>\operatorname{Spec}D</math>-가군층 <math>(M,N,\phi)</math> 가운데 준연접층인 것은 <math>\phi</math>가 <math>K</math>-[[벡터 공간]]의 [[동형 사상]]인 것이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Quasi-coherent sheaf}}
* {{nlab|id=quasicoherent sheaf|title=Quasicoherent sheaf}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2011/07/30/quasi-coherent-sheaves-presentable-categories-and-a-result-of-gabber/|제목=Quasi-coherent sheaves, presentable categories, and a result of Gabber|이름=Akhil|성=Mathew|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|날짜=2011-07-30|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/39941/does-qcohx-admit-a-generating-set|제목=
Does Qcoh(X) admit a generating set?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/questions/467197/examples-of-mathcalo-x-modules-that-are-not-quasi-coherent-sheaves | 제목=Examples of 𝒪<sub>''X''</sub>-modules that are not quasi-coherent sheaves | 웹사이트=Stack Exchange | 언어=en}}

[[분류:스킴 이론]]
[[분류:층론]]