준등거리사상 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''준등거리사상'''({{llang|en|quasi-isometry}}), '''준등거리동형사상''', '''준등거리변환''', '''준거리동형사상''' 혹은 '''준등장사상'''은 [[거리 공간]]의 일정한 [[집합]] 위에 줄 수 있는 [[동치관계]]로서, [[엉성한 구조]](coarse structure)를 탐구하기 위해 일반적인 [[등거리사상]]에서 약간의 세부사항을 무시하는 것이다. [[미하일 그로모프]]의 [[기하적 군론]]에서 중요한 역할을 한다.

== 정의 ==
<math>f</math>가(연속일 필요는 없다) 거리 공간 <math>(M_1,d_1)</math>에서 거리 공간 <math>(M_2,d_2)</math>으로 가는 함수라 하자. <math>f</math>가 <math>(M_1,d_1)</math>에서 <math>(M_2,d_2)</math>로 가는 준등거리사상임은 다음 조건을 만족하는 것으로 정의된다. 적당한 [[상수]] <math>A\ge 1</math>, <math>B\ge 0</math>, <math>C\ge 0</math>가 존재하여,
# <math>\forall x,y\in M_1: \frac{1}{A}\; d_1(x,y)-B\leq d_2(f(x),f(y))\leq A\; d_1(x,y)+B.</math>
# <math>\forall z\in M_2:\exists x\in M_1: d_2(z,f(x))\le C.</math>

두 거리 공간 <math>(M_1,d_1)</math>, <math>(M_2,d_2)</math> 간에 준등거리사상이 존재하면 '''준등거리동형'''(quasi-isometric) 또는 '''준거리동형'''이라고 한다. 이 정의는 약간의 고찰을 통해 순서에 무관하다고 볼 수 있고(즉, 준등거리동형 관계는 대칭관계이다), 나아가 준등거리동형 관계는 동치관계가 됨을 쉽게 보일 수 있다.

== 예 ==
* <math>\mathbb{R}^2</math> 상에 [[유클리드 거리]]를 준 거리 공간에서 같은 집합에 [[맨해튼 거리]]를 준 거리 공간으로 가는 자연스러운 일대일 대응 함수는 준등거리사상이다. 여기서 거리는 많아야 <math>\sqrt 2</math>배만큼 차이난다.
* 함수 <math>f:\mathbb{Z}^n\mapsto\mathbb{R}^n</math>(모두 유클리드 거리)를 자연스러운 일대일 함수라고 하면 이 역시 준등거리사상이다. 거리는 정확히 보존되며, 임의의 실수 순서쌍들은 어떤 정수 순서쌍에서 많아야 <math>\sqrt{n/4}</math> 만큼 떨어져 있다.
* [[유한 집합]]이거나 [[유계 집합]]인 거리 공간들의 임의 쌍은 준등거리동형이다. 실제로, 여기서는 임의의 함수가 준등거리사상이 된다.

== 기하적 군론의 응용 ==
유한 생성 [[군 (수학)|군]] ''G'' 의 유한 [[생성집합]] ''S'' 가 주어지면 이들의 [[케일리 그래프]]를 만들 수 있다. 그래프의 모든 [[모서리]] 길이를 1이라고 하면 이 그래프는 거리 공간이 된다. ''G'' 의 다른 유한생성집합 ''T''를 가지고 다른 케일리 그래프를 만들 경우, 두 케일리 그래프는 준등거리동형이 된다. 따라서 케일리 그래프의 준등거리동형 동치류는 ''G'' 에만 의존한다. 이렇게 준등거리동형 동치류에만 의존하는 거리 공간의 성질을 통해 군의 불변량을 얻을 수 있으므로, 기하학적 방법으로 군론을 탐구할 수 있게 된다.

== 같이 보기 ==
* [[등거리사상]]
* [[준측지선]](Quasi-geodesic)

== 참고 문헌 ==
* {{인용|first=Martin R.|last=Bridson|authorlink=Martin Bridson|contribution=Geometric and combinatorial group theory|pages=431–448|title=[[The Princeton Companion to Mathematics]]|editor1-first=Timothy|editor1-last=Gowers|editor1-link=Timothy Gowers|editor2-first=June|editor2-last=Barrow-Green|editor3-first=Imre|editor3-last=Leader|editor3-link=Imre Leader|year=2008|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-11880-2}}

[[분류:계량기하학]]
[[분류:기하군론]]