주대각선 문서 원본 보기

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[[선형 대수학]]에서 [[행렬]]의 '''주대각선(Main diagonal)'''은 때로는 선행 대각선(leading diagonal, principal diagonal, primary diagonal, major diagonal)등으로 표기된다.

<!-- 주 대각선을 갖는 행렬의 성분은 행렬성분의 정보에 좌우되지않지만,  행렬성분은 주 대각선의 정보에 좌우되는 성질을 갖는다???-->
모든 행렬은 그 행렬의 성분 값에 상관없이 주 대각선을 갖는다.
<!-- 따라서 성분 정보라고하면 틀림 -->

행렬의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래를 가르는 주대각선을 기준으로 대칭되는 원소(성분)들의 의미있는 경우에도 역시 주대각선은 중요하다. 이때 특히 주대각선을 제외한 성분들이 0인 경우 [[대각행렬]]로 분류된다.

:<math>
 \begin{bmatrix}
\color{red}{x_{ij}} & x_{ij} & x_{ij}\\
x_{ij} & \color{red}{x_{ij}} & x_{ij}\\
x_{ij}& x_{ij} & \color{red}{x_{ij}}\end{bmatrix}
\qquad
</math>
:<math>i = </math>행의 값  <math>j = </math> 열의 값
:<math>i , j </math>는 각각 행과 렬의 지표값으로 지표수라고 할때,
:<math>
 \begin{bmatrix}
\color{red}{x_{11}} & x_{12} & x_{13}\\
x_{21} & \color{red}{x_{22}} & x_{23}\\
x_{31}& x_{32} & \color{red}{x_{33}}\end{bmatrix}
\qquad
</math>
또한, 행과 열의 지표수가 같은 성분을 대각성분(대각항, diagonal entry)이라고 한다. 종종, 선행성분이라고도 한다.
<!-- 따라서, 모든 행렬은   대각성분(대각항)이라는 특이한 정보를 갖고있다.  -->
== 주대각선 ==
다음의 세 행렬은 행과 열의 지표수가 같은  주 대각선을 빨간색 대각선으로 표시한 대각행렬이다.
:<math>A = \begin{bmatrix}
\color{red}{a} & 0 & 0\\
0 & \color{red}{a} & 0\\
0 & 0 & \color{red}{a}\end{bmatrix}
\qquad
A = \begin{bmatrix}
\color{red}{a} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \color{red}{a} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \color{red}{a} & 0 \end{bmatrix}
\qquad
A = \begin{bmatrix}
\color{red}{a} & 0 & 0\\
0 & \color{red}{a} & 0\\
0 & 0 & \color{red}{a}\\
0 & 0 & 0\end{bmatrix}</math>

예로들은 행렬 <math>A</math>는 <math>i</math> 행과 <math>j</math>열에서 주된 대각선 성분이  <math>A=a_{(i, j)}</math>에서 <math> i = j </math>이고,모든 대각선 밖의 요소는 <math>0</math>이다.
이러한 대각선 행렬에서는 행렬의 성분이 <math>0</math> 과 <math>0</math> 이 아닌 성분으로 주대각선을 기준으로 의미있는 구별이 된다.

== 반 대각선 ==
<!-- == 반 주대각선 ==-->
[[반 대각선 행렬]](또는 역 대각선 행렬)
:<math>\begin{bmatrix}
0 & 0 & \color{red}{1}\\
0 & \color{red}{1} & 0\\
\color{red}{1} & 0 & 0\end{bmatrix}</math>

==대각선의 전치 축역할==
[[파일:Matrix transpose.gif]]

==성질==
*주 대각선은 대각선을 기준으로 행렬의 성분을 <math>0</math>과 <math>0</math>이 아닌 성분으로 구성되는 [[밴드 행렬]]로 정의하는데 유용하다.
*주 대각선은 그 대각선의 역방향인  반 대각선(反 對角線, anti-diagonal)에 [[대칭]] 또는 [[반사 (기하학)|반사]]된다.
*주 대각선의 [[회전]]은 전치행렬의 성질을 이해하는데 유용하다.
*주 대각선은 [[사다리꼴행렬]]의 변환과정, [[LU 분해]], [[QR 분해]] 등에서 유용하게 사용된다.
* 주 대각선은 행렬의 성질을 해석할 수 있는 축의 작용을 한다.
<!--  * 주 대각선은 [[회전]], [[반사]], [[대칭]] 등의 성질을 해석할 수 있는 축의 작용을 한다.  -->

== 같이 보기 ==
* [[대각행렬]]
* [[순환 행렬]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Diagonal|title=Main diagonal}}

[[분류:행렬]]