주기함수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''주기 함수'''(週期函數, {{llang|en|periodic function}})는 함숫값이 일정 주기마다 되풀이되는 [[함수]]이다. 일상적인 예로, 시계 시간은 시간에 대한 함수로서 주기 함수이다. 즉, 시계의 행동은 날마다 똑같다.

== 정의 ==
=== 실수 함수 ===
0이 아닌 [[실수]] <math>t\in\mathbb R\setminus\{0\}</math> 및 실수 [[부분 집합]] <math>D\subset\mathbb R</math> 및 실수 함수 <math>f\colon D\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수 <math>f</math>를 '''주기 함수'''라고 하고, 실수 <math>t</math>를 <math>f</math>의 '''주기'''(週期, {{llang|en|period}})라고 한다.
* 임의의 <math>x\in D</math>에 대하여, <math>f(x+t)=f(x)=f(x-t)</math>이다.
* <math>\textstyle f=\bigsqcup_{n\in\mathbb Z}T_{nt}(f|_{D\cap I})</math>인 유한 실수 구간 <math>I\subset\mathbb R</math>이 존재한다. 즉, <math>f</math>의 [[함수의 그래프|그래프]]는 그 "유한한" [[함수의 제한|제한]]의 그래프에 대한 거듭된 수평 [[평행 이동]]으로 생성된다.
** 여기서 <math>T_t(g)\colon\operatorname{dom}g+t\to\mathbb R</math>이며, <math>T_t(g)(x+t)=g(x)\ (\forall x\in\operatorname{dom}g)</math>이다. 즉, <math>T_t</math>는 함수의 그래프를 수평 방향으로 <math>t</math>만큼 평행 이동하는 변환이다.

이에 따라, 다음이 성립한다.
* 임의의 <math>x\in D</math>에 대하여, <math>x+t,x-t\in D</math>이다.
* <math>\textstyle D=\bigsqcup_{n\in\mathbb Z}(D\cap I+nt)</math>인 유한 실수 구간 <math>I\subset\mathbb R</math>이 존재한다.

=== 기본 주기 ===
실수 주기 함수 <math>f\colon D\to\mathbb R</math> 및 실수 <math>T\in\mathbb R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 실수 <math>T</math>를 <math>f</math>의 '''기본 주기'''(基本週期, {{llang|en|fundamental period, primitive period}})라고 한다. 이는 존재하지 않을 수 있다.
* <math>T</math>는 양의 최소 주기이다.
* <math>\operatorname{prd}f=T\mathbb Z</math>. 즉, <math>f</math>의 주기는 곧 <math>\ldots,-2T,-T,0,T,2T,\ldots</math>이다.

== 성질 ==
실수 주기 함수 <math>f\colon D\to\mathbb R</math>의 주기와 0의 집합을 <math>\operatorname{prd}f</math>로 적자. 즉,
:<math>\operatorname{prd}f=\{t\in\mathbb R\colon f(x+t)=f(x)\}</math>
이라고 하자. 그렇다면, 이는 덧셈에 대하여 닫혀있다. 다시 말해,
* 임의의 <math>t,u\in\operatorname{prd}f</math>에 대하여, <math>t+u,t-u\in\operatorname{prd}f</math>이다.
* 특히, 임의의 <math>t\in\operatorname{prd}f</math> 및 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, <math>nt\in\operatorname{prd}f</math>이다.
따라서 <math>\operatorname{prd}f</math>는 덧셈에 대한 [[아벨 군]]을 이룬다.

=== 기본 주기 ===
실수 주기 함수 <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>f</math>가 기본 주기를 갖지 않는다.
* <math>\operatorname{prd}f</math>가 <math>\mathbb R</math>에서 [[조밀 집합]]이다.

만약 주기 함수 <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>가 기본 주기를 갖지 않는다면, 상수 함수이거나, 아니면 모든 곳에서 불연속이다.

== 예 ==
실수를 그 소수 부분으로 대응시키는 함수 <math>f</math>는
:<math>\cdots = f(-2.9) = f(-1.9) = f(-0.9) = 0.1 = f(0.1) = f(1.1) = f(2.1) = \cdots</math>
:<math>\cdots = f(-2.7) = f(-1.7) = f(-0.7) = 0.3 = f(0.3) = f(1.3) = f(2.3) = \cdots</math>
과 같이, 주기 함수이며, 그 기본 주기는 1이다.

[[삼각 함수]]는 모두 주기 함수이다. 사인 · 코사인 함수는 <math>2\pi</math>, 탄젠트 함수는 <math>\pi</math>를 기본 주기로 한다.
:<math>\sin(x+2\pi)=\sin x</math>
:<math>\cos(x+2\pi)=\cos x</math>
:<math>\tan(x+\pi)=\tan x</math>

[[상수 함수]]는 주기 함수이며, 모든 실수를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다.

[[디리클레 함수]]
:<math>f(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\end{cases}</math>
는 주기 함수이며, 모든 [[유리수]]를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다.

== 같이 보기 ==
* [[주파수]]
* [[파동]]

{{전거 통제}}

[[분류:미적분학]]
[[분류:초등 수학]]
[[분류:푸리에 해석학]]
[[분류:함수의 종류]]