주곡률 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''주곡률'''(主曲率, {{llang|en|principal curvature}})은 곡면이 각 방향에 따라 굽은 정도를 나타내는 값들이며, [[제2 기본 형식]]의 [[고윳값]]들이다.

== 정의 ==
''d''+1차원 [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 속에 [[여차원]]이 1인 부분다양체 <math>i\colon\Sigma\hookrightarrow M</math>가 [[매장 (수학)|매장]]돼 있다고 하자. 그렇다면, <math>\Sigma</math>의 [[제2 기본 형식]] <math>\operatorname{II}</math>과 [[제1 기본 형식]] <math>\operatorname{I}</math>를 사용해 다음과 같은 (1,1)-텐서를 정의할 수 있다.
:<math>S_\alpha^\gamma=\operatorname{II}_{\alpha\beta}(\operatorname{I}^{-1})^{\beta\gamma}</math>
이 텐서를 '''모양 연산자'''({{llang|en|shape operator}})라고 한다. <math>\Sigma</math>의 '''주곡률'''은 그 모양 연산자의 [[고윳값]]들이다. 즉, 주곡률 <math>\kappa_i</math>는 다음을 만족시킨다.
:<math>\det(S^\alpha_\beta-\kappa_i\delta^\alpha_\beta)=0</math>

모양 연산자의 [[행렬식]], 즉 주곡률들의 곱을 '''[[가우스 곡률]]''' <math>K</math>라고 하고, 대각합의 1/''d'', 즉 주곡률들의 평균을 '''평균 곡률'''({{llang|en|mean curvature}}) <math>H</math>라고 한다.
:<math>K=\det S_\Sigma=\kappa_1\kappa_2\cdots\kappa_d</math>
:<math>H=\frac1d\operatorname{tr}S_\Sigma=\frac{\kappa_1+\kappa_2+\cdots+\kappa_d}d</math>

== 분류 ==
[[여차원]]이 1인 부분다양체 <math>\Sigma\subset M</math>의 점 <math>p\in\Sigma</math>는 모양 연산자의 [[계량 부호수]]에 따라 분류된다.
* '''타원점'''({{llang|en|elliptic point}})에서는 모양 연산자가 [[양의 정부호]]이다. 즉, 모든 주곡률들이 양수이다.
** '''배꼽점'''({{llang|en|umbilic point}})에서는 모든 주곡률들이 같으며 양수이다. 이 점에서 곡면은 국소적으로 [[구면]]처럼 보인다.
* '''포물점'''({{llang|en|parabolic point}})에서는 모든 주곡률들이 양수이거나 0이고, 적어도 한 주곡률이 0이다.
* '''쌍곡점'''({{llang|en|hyperbolic point}})에서는 적어도 한 주곡률이 음수이다.

== 같이 보기 ==
* [[지구 반경]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=미분기하학 입문|저자=원대연|공저자=이난이|출판사=경문사|isbn=978-89-6105-780-6|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7680|날짜=2014|언어=ko|access-date=2014-05-11|archive-date=2014-05-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20140512214856/http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7680|url-status=}}
* {{서적 인용|last=Spivak|first=Michael|title=A comprehensive introduction to differential geometry, volume 3|날짜=1999|publisher=Publish or Perish|isbn=0-914098-72-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Principal curvature}}
* {{매스월드|id=PrincipalCurvatures|title=Principal curvatures}}

{{전거 통제}}

[[분류:곡면]]
[[분류:미분기하학]]