종이접기의 수학 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[종이접기]]에는 상당한 [[수학]]적 함의가 있다. 이를 '''종이접기의 수학'''이라고 한다. 평면의 종이를 접어서 입체적 표현을 할 수 있는 종이접기 가능성은 수학 [[방정식]]으로 나타낼 수 있다.

== 역사 ==
1893년 인도의 수학자 T. 순드라 라오(T. Sundara Rao)는 《종이접기의 기하학 연습》(Geometric Exercises in Paper Folding)을 발간하였다. 그는 이 책에서 종이를 접어 나타낼 수 있는 기하학적 구조물의 사례를 보였다.<ref>{{서적 인용|title=Geometric Exercises in Paper Folding |author= T. Sundara Rao |url=http://name.umdl.umich.edu/ACV5060.0001.001  |publisher=Addison |year=1893}}</ref> [[유치원]]에서 이루어지는 종이접기 놀이에 영감을 받아 쓰인 이 책은 [[각 (수학)|각]]의 대략적인 삼등분 방법을 다루었지만 삼차식을 다룰 수는 없었다. 1936년 이탈리아의 수학자 [[마르케리타 벨로치]](Margharita P. Beloch)는 "벨로치 접기"를 통해 종이접기를 사용하여 일반적인 삼차 방정식의 해를 나타낼 수 있음을 보였다. 이는 훗날 [[후지타-하토리 공리]]의 여섯 번째와 동치라는 것이 밝혀졌다.<ref>{{저널 인용
 | last = Hull
 | first = Thomas C.
 | doi = 10.4169/amer.math.monthly.118.04.307
 | issue = 4
 | journal = American Mathematical Monthly
 | mr = 2800341
 | pages = 307–315
 | title = Solving cubics with creases: the work of Beloch and Lill
 | url = http://mars.wne.edu/~thull/papers/amer.math.monthly.118.04.307-hull.pdf
 | volume = 118
 | year = 2011
 | 확인날짜 = 2017-04-02
 | 보존url = https://web.archive.org/web/20160326082129/http://mars.wne.edu/~thull/papers/amer.math.monthly.118.04.307-hull.pdf
 | 보존날짜 = 2016-03-26
 | url-status = dead
 }}</ref>  1949년 R C 예이츠는 《기하 방법론》에서 후지타-하토리 공리의 첫 번째, 두 번째, 그리고 다섯 번째 항 역시 종이접기로 나타낼 수 있다고 서술하였다.<ref>{{서적 인용|title=Geometric constructions |author=George Edward Martin |publisher=Springer |year=1997 |isbn= 978-0-387-98276-2 |page=145}}</ref><ref>{{서적 인용|title=Geometric Tools |author=Robert Carl Yeates |publisher= Louisiana State University  |year=1949}}</ref>  이들 공리는 1989년 자크 저스틴이 발견하였지만<ref>Justin, Jacques, "Resolution par le pliage de l'equation du troisieme degre et applications geometriques", reprinted in ''Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology'', H. Huzita ed. (1989), pp. 251–261.</ref>, 1991년 [[후지타 후미아키]]({{llang|ja|藤田文章}})가 재발견한 것이 널리 알려졌다. 1989년 이탈리아 페라라에서 국제 종이접기 과학 학술 모임이 열렸다.

== 정통 종이접기 ==

=== 평면 접기 ===
[[파일:Maekawas Theorem.svg|섬네일|100px|산과 골의 수 세기]]
[[파일:Lang rule one.png|섬네일|100px|두가지 색으로 나타내기]]
[[파일:Lang rule three.png|섬네일|100px|꼭지점을 이루는 각들]]

종이접기 모형의 구조는 종종 패턴을 만드는 것으로 표현된다. 이러한 패턴을 만드는 것과 관련한 주요한 문제는 주어진 패턴이 평면인 종이를 찢거나 자르지 않고 접을 수 있도록 하는지, 그렇다면 접는 방법은 어떻게 되는지 하는 것이다. 이것은 일종의 [[NP-완전|NP-완전 문제]]에 해당한다.<ref>{{서적 인용
|year=2002
|publisher=AK Peters
|isbn=978-1-56881-181-9
|chapterurl=http://kahuna.merrimack.edu/~thull/papers/flatsurvey.pdf
|title=The Proceedings of the Third International Meeting of Origami Science, Mathematics, and Education
|author=Thomas C. Hull
|chapter=The Combinatorics of Flat Folds: a Survey
|access-date=2017-04-02
|archive-date=2011-07-18
|archive-url=https://web.archive.org/web/20110718112131/http://kahuna.merrimack.edu/~thull/papers/flatsurvey.pdf
}}</ref> 관련된 문제로 직교 접기만을 허용하는 [[지도 접기]] 문제가 있다. 접을 수 있는 종이접기를 만드는 패턴에는 세 가지 수학적 규칙이 적용된다.<ref>{{웹 인용 | url=http://www.ted.com/index.php/talks/robert_lang_folds_way_new_origami.html | title=Robert Lang folds way-new origami | 확인날짜=2017-04-02 | archive-date=2011-10-15 | archive-url=https://web.archive.org/web/20111015121117/http://www.ted.com/index.php/talks/robert_lang_folds_way_new_origami.html | url-status= }}</ref>

#[[마에카와의 정리]]: 모든 산과 골이 만나는 꼭지점의 수는 2의 배수이어야 한다.
#:이에 따라 접을 수 있는 종이접기 패턴은 모두 두 가지 색으로 칠할 수 있다.
#[[가와사키의 정리]]: 모든 꼭지점은 그것을 이루는 각을 하나 걸러 하나씩 더했을 때 180도가 되어야 한다. 즉, 꼭지점에서 만나는 패턴은 180도가 되는 세트 두 개로 이루어져 있다.
# 종이접기 패턴은 다른 패턴을 침범할 수 없다. 즉, 접지 않고 뚫거나 자르는 것은 허용되지 않는다.

종이에 만들어지는 모든 점들은 [[가우스 곡률]] 0을 갖고, 접는 선을 통해서만 꺾일 수 있다. 접는 선들로 둘러싸인 면 자체는 곡률이 없다.

마셜 번과 배리 헤이즈는 산과 골을 이루는 패턴이 [[NP-완전]] 임을 증명하였다.<ref>{{콘퍼런스 인용
 | last1 = Bern | first1 = Marshall
 | last2 = Hayes | first2 = Barry
 | contribution = The complexity of flat origami
 | contribution-url = http://dl.acm.org/citation.cfm?id=313918
 | mr = 1381938
 | pages = 175–183
 | publisher = ACM, New York
 | title = Proceedings of the Seventh Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (Atlanta, GA, 1996)
 | year = 1996}}</ref>
《기하학적 접기 알고리즘》에 보다 자세한 연구 결과가 실려 있다.<ref name="GFALOP">{{서적 인용
 | last1 = Demaine | first1 = Erik D. | author1-link = Erik Demaine
 | last2 = O'Rourke | first2 = Joseph | author2-link = Joseph O'Rourke (professor)
 | doi = 10.1017/CBO9780511735172
 | isbn = 978-0-521-85757-4
 | mr = 2354878
 | publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge
 | title = Geometric folding algorithms
 | year = 2007}}</ref>

=== 후지타-하토리 공리===
{{본문|후지타-하토리 공리}}

[[입방체의 배적 문제]]나 [[각의 3등분]]과 같은 [[컴퍼스와 자 작도|작도]] 문제는 컴퍼스와 자만을 이용하여서는 해결할 수 없다는 것이 증명되어 있다. 그러나 종이접기에서는 이러한 것이 해결 가능하다.<ref>{{웹 인용 |url=http://mars.wne.edu/~thull/omfiles/geoconst.html |title=Origami and Geometric Constructions |author=Tom Hull |확인날짜=2017-04-02 |보존url=https://web.archive.org/web/20190618084941/http://mars.wne.edu/~thull/omfiles/geoconst.html |보존날짜=2019-06-18 |url-status=dead }}</ref> 종이접기의 접는 선은 4차 방정식의 해를 나타낼 수 있다. 후지타-하토리 공리는 이 분야의 중요한 공리로 한 번 접힐 때마다 생기는 점과 선들의 조합이 4차 방정식에 해당함을 보였다.<ref name="GO-Geretsch">{{서적 인용
|title= Geometric Origami
|last= Geretschläger
|first= Robert
|year= 2008
|publisher= Arbelos
|location= UK
|url= http://www.arbelos.co.uk/GeometricOrigami.html
|isbn= 978-0-9555477-1-3
|확인날짜= 2017-04-02
|보존url= https://web.archive.org/web/20160409104506/http://www.arbelos.co.uk/GeometricOrigami.html
|보존날짜= 2016-04-09
|url-status= dead
}}</ref>

== 작도 ==

기하학 원리를 적용한 종이접기 연구의 결과로서, 하가의 정리는 종이접기가 각을 정확히 2등분, 6등분, 13등분 할 수 있음을 보여준다. 다른 정리로는 정사각형의 종이를 접어서 [[정삼각형]], [[정오각형]], [[정육각형]] 등을 만드는 방법을 보이는 것이 있다. [[황금사각형]]을 만들거나 [[ISO 216]]이 규정하는 규격 사각형을 만드는 것도 가능하다.<ref name="GO-Geretsch"/>

===하가의 정리===
[[파일:Haga theorem 1.svg|섬네일|200px|BQ는 언제나 AP에 대하여 유리수 비율을 이룬다]]
정사각형의 한 변은 항상 임의의 유리수 비로 분할 될 수 있다. 하가의 정리는 이러한 분할을 사용하여 특정한 작도를 할 수 있음을 보인다.<ref>{{웹 인용
|url=http://origami.gr.jp/Archives/People/CAGE_/divide/02-e.html
|title=How to Divide the Side of Square Paper
|author=Koshiro
|publisher=Japan Origami Academic Society
|확인날짜=2017-04-02
|보존url=https://web.archive.org/web/20170222071055/http://origami.gr.jp/Archives/People/CAGE_/divide/02-e.html
|보존날짜=2017-02-22
|url-status=dead
}}</ref> 각의 등분은 매우 간단한 접기만으로도 가능하다. 예를 들어 각의 {{Frac|1|5}} 은 세 번만 접어서 나타낼 수 있다. 두 번 접어서 {{Frac|2|3}} 각을 만든 다음 한 번 더 접어 {{Frac|1|5}} 각이 되게 할 수 있다.

하가의 첫번째 정리는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:<math>BQ = \frac{2 AP}{1 + AP}.</math>

''AP''와 ''QC''의 길이 변화는 자체 [[전단사 함수|전단사]]를 이루는 [[대합 (수학)|대합]] 함수이다. ''AP''의 길이를 ''x''라 하면 다른 선분들의 길이는 아래의 표와 같이 ''x''에 대한 함수로 나타낼 수 있다.

{| class="wikitable" border="1" style="text-align:center; width:200px; height:200px" border="1"
|+ 하가의 정리
|-
! AP !! BQ !! QC !! AR !! PQ
|-
| <math>x</math> || <math>\frac{2 x}{1+x}</math> || <math>\frac{1-x}{1+x}</math> || <math>\frac{1-x^2}{2}</math> || <math>\frac{1+x^2}{1+x}</math>
|-
| {{Frac|1|2}} || {{Frac|2|3}} || {{Frac|1|3}} || {{Frac|3|8}} || {{Frac|5|6}}
|-
| {{Frac|1|3}} || {{Frac|1|2}} || {{Frac|1|2}} || {{Frac|4|9}} || {{Frac|5|6}}
|-
| {{Frac|2|3}} || {{Frac|4|5}} || {{Frac|1|5}} || {{Frac|5|18}} || {{Frac|13|15}}
|-
| {{Frac|1|5}} || {{Frac|1|3}} || {{Frac|2|3}} || {{Frac|12|25}} || {{Frac|13|15}}
|}

=== 입방체의 배적 ===
[[파일:Delian origami.svg|섬네일|200px|그림과 같이 접으면 PB/PA 의 비율은 <math>\sqrt[3]{2}</math> 가 된다.]]
종이접기는 [[삼차 방정식]]의 해인 세제곱근을 구할 수 있으므로 [[입방 배적 문제]]를 해결할 수 있다. 피터 메서는 이에 대한 작도를 선보였다.<ref name="lang2008">{{웹 인용 |url=http://static.usenix.org/event/usenix08/tech/slides/lang.pdf |title=From Flapping Birds to Space Telescopes: The Modern Science of Origami |last=Lang |first=Robert J |year=2008 |publisher=Usenix Conference, Boston, MA |확인날짜=2017-04-02 |보존url=https://web.archive.org/web/20160318191336/http://static.usenix.org/event/usenix08/tech/slides/lang.pdf |보존날짜=2016-03-18 |url-status=dead }}</ref>  정사각형의 종이를 먼저 삼등분 한 다음 그림과 같이 접으면 선분 PA와 PB의 비는 1: <math>\sqrt[3]{2}</math> 가 된다.<ref>{{저널 인용|author=Peter Messer|title=Problem 1054|journal=[[Crux Mathematicorum]]|volume=12|issue=10|year=1986|pages=284–285.}}</ref> 물론 고대 그리스의 [[컴퍼스와 자 작도]] 규칙에서는 벗어난다.

{{clear}}

===각의 삼등분 ===
[[파일:Origami Trisection of an angle.svg|섬네일|200px|각CAB의 삼등분]]
[[각의 삼등분]]은 자와 컴퍼스 작도로는 해결할 수 없는 고전적인 작도 문제이다. 종이접기에서는 [[삼차 방정식]]의 해인 세제곱근을 구할 수 있으므로 그림과 같이 하여 각의 삼등분 문제를 해결할 수 있다. 이 작도는 아베 히사시가 선보였다.<ref name="lang2008" />  그림에서 Q'는 선분 BP'의 절반이다. 이 때, 각CAB에 대하여 각A'AB는 {{frac|1|3}}이다.<ref>{{서적 인용|title=Origami 5 |chapter=Hands-On Geometry with Origami |author1= Michael J Winckler |author2=Kathrin D Wold |author3=Hans Georg Bock |page=225 |isbn=978-1-56881-714-9 |year=2011 |publisher=CRC Press}}</ref>
{{clear}}

== 관련 문제 ==
[[파일:Miura-ori.gif|섬네일|300px|미우라 지도 접기를 이용한 사례]]
[[강체 접기]]는 경첩으로 연결된 금속판을 접는 방법을 다룬다. 예를 들어 [[미우라 지도 접기]]와 같은 방식은 인공 위성에 장착하는 태양전지 판을 어떻게 효율적으로 접었다 펼칠 것인가를 해결해 준다.

[[냅킨 접기 문제]]는 주어진 평면을 그 보다 작은 공간 안에 접어 넣는 문제를 다룬다.

한편, 곡선 종이접기에는 전혀 다른 수학적 문제가 들어있다.<ref>{{웹 인용 |url=http://www.siggraph.org/s2008/attendees/design/22.php |제목=Siggraph: "Curved Origami" |확인날짜=2017-04-02 |보존url=https://web.archive.org/web/20170508164339/http://www.siggraph.org/s2008/attendees/design/22.php |보존날짜=2017-05-08 |url-status=dead }}</ref> 곡선 종이접기는 평평하지 않은 [[전개 가능 곡면]]으로 이루어진 종이를 다룬다.

[[젖은 종이접기]]는 또 다른 문제들이 놓인 분야이다.

접을 수 있는 최대 횟수 역시 종이접기의 수학에서 다루어지는 주제이다. 매 번 종이를 접을 때마다 접을 수 있는 면이 줄어들게 되므로 [[손실 함수]]를 고려해야 한다. 종이접기의 손실 함수는 <math>L=\tfrac{\pi t}{6} (2^n + 4)(2^n - 1)</math>로 나타낼 수 있으며, 이 때 ''L''은 종이의 최소 길이, ''t''는 두께, 그리고 ''n''은 접을 수 있는 횟수이다.<ref>{{저널 인용|last1=Korpal|first1=Gaurish|title=Folding Paper in Half|journal=At Right Angles|date=25 November 2015|volume=4|issue=3|pages=20–23|url=http://teachersofindia.org/en/ebook/folding-paper-half|access-date=2017-04-02|archive-date=2016-11-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20161114220248/http://teachersofindia.org/en/ebook/folding-paper-half|url-status=}}</ref> 브리트니 캘리반(Britney Gallivan)은 2001년 한 장의 종이를 열두번 접을 수 있다고 계산하였다. 이는 일반적으로 알려진 8번 보다 많은 횟수로 그녀는 이를 위해 새로운 접는 방식을 제시하였다.<ref name="Mathworld"> {{매스월드| title = Folding | urlname = Folding}}</ref>
{{clear}}

== 같이 보기 ==
* [[플렉사곤]]
* {{임시링크|릴의 방법|en|Lill's method}}
* {{임시링크|냅킨 접기 문제|en|Napkin folding problem}}
* {{임시링크|지도접기|en|Map folding}}
* {{임시링크|정규 종이접기 수열|en|Regular paperfolding sequence}}
* {{임시링크|드래곤 곡선|en|dragon curve}}

== 각주 ==
{{각주|2}}

== 참고 문헌 ==
* Demaine, Erik D., [https://web.archive.org/web/20170323100701/http://erikdemaine.org/papers/dthesis/ "Folding and Unfolding"], PhD thesis, Department of Computer Science, University of Waterloo, 2001.
*{{서적 인용|last=Haga|first=Kazuo|place=University of Tsukuba, Japan|
title=Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding|
editor-last=Fonacier|editor-first=Josefina C|
editor2-last=Isoda|editor2-first=Masami|year=2008|
isbn=978-981-283-490-4|publisher=World Scientific Publishing |postscript=<!--None-->}}
*{{서적 인용|author=Lang, Robert J.|authorlink=Robert J. Lang|title=Origami Design Secrets:  Mathematical Methods for an Ancient Art|url=https://archive.org/details/origamidesignsec0000lang|publisher=A K Peters| year=2003| isbn=1-56881-194-2}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{웹 인용|url=http://mars.wne.edu/~th297133/origamimath.html|title=Origami Mathematics Page|author=Dr. Tom Hull|postscript=<!--None-->|authorlink=Tom Hull}}{{깨진 링크|url=http://mars.wne.edu/~th297133/origamimath.html }}
* [https://web.archive.org/web/20170520133146/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PaperFolding/index.shtml Paper Folding Geometry] at [[cut-the-knot]]
* [https://web.archive.org/web/20170410134814/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PaperFolding/SegmentDivision.shtml Dividing a Segment into Equal Parts by Paper Folding] at [[cut-the-knot]]
* [https://web.archive.org/web/20051102085038/http://pomonahistorical.org/12times.htm Britney Gallivan has solved the Paper Folding Problem]
* [https://web.archive.org/web/20180308231913/https://plus.maths.org/content/power-origami Overview of Origami Axioms]

[[분류:종이접기]]
[[분류:유희 수학]]
[[분류:수학과 예술]]