종순군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''종순군'''(從順群, {{llang|en|amenable group}})은 [[군의 작용]]에 불변인 유한 가법 [[확률 측도]]를 정의할 수 있는 [[국소 콤팩트]] [[위상군]]이다.<ref>{{서적 인용|first=V.|last= Runde|title=Lectures on amenability|series= Lecture Notes in Mathematics|volume=1774|publisher= Springer-Verlag|year=2002|isbn=978-3-540-42852-7|doi=10.1007/b82937|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|first=F.P.|last= Greenleaf|title=Invariant means on topological groups and their applications|publisher= Van Nostrand Reinhold|year=1969|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
=== 종순 작용 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[군 (수학)|군]] <math>G</math>
* [[측도 공간]] <math>(X,\mu)</math>
* <math>G</math>의 <math>X</math> 위의 [[군의 작용|왼쪽 작용]] <math>G\times X\to X</math>. 또한, 모든 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>g\cdot</math>가 [[가측 함수]]라고 하자.
<math>X</math> 위의 실수 값 ∞-[[르베그 공간]] <math>\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)</math>은 [[실수 바나흐 공간]]이며, 그 위에는 다음과 같은 <math>G</math>-[[군의 작용|왼쪽 작용]]이 존재한다.
:<math>(g\cdot f)(x)=f(g^{-1}\cdot x)</math>
<math>\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)</math> 위의 '''불변 평균'''은 다음 조건들을 만족시키는, [[연속 쌍대 공간]]의 원소
:<math>\phi\in\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)^*</math>
이다.
* <math>\|\phi\|_{\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)^*}=1</math>. 즉, [[작용소 노름]]이 1이다.
* 임의의 <math>f\in\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)</math>에 대하여, 만약 [[거의 어디서나]] <math>f\ge0</math>이라면 (즉, <math>\mu(f^{-1}((-\infty,0)))=0</math>이라면), <math>\phi(f)\ge0</math>이다.
* 임의의 <math>f\in\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)</math> 및 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>\phi(g\cdot f)=\phi(f)</math>이다.
만약 불편 평균이 존재한다면, [[군의 작용]] <math>\cdot\colon G\times X\to X</math>을 '''종순 작용'''({{llang|en|amenable action}})이라고 한다.

(만약 <math>X</math>가 [[이산 공간]]일 경우, <math>\operatorname L^\infty(X;\mathbb R)^*</math>는 유한 가법 측도의 공간과 같다.)

=== 종순군 ===
[[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[위상군]] <math>G</math>에는 [[왼쪽 하르 측도]] <math>\mu_{\text{LH}}</math>와 [[오른쪽 하르 측도]] <math>\mu_{\text{RH}}</math>가 존재한다. 또한, <math>G</math>는 스스로 위의 왼쪽 및 오른쪽 작용을 갖는다. 이 경우, <math>G</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[위상군]]을 '''종순군'''이라고 한다.
* <math>G</math>의, <math>(G,\mu_{\text{LH}})</math> 위의 왼쪽 작용은 종순 작용이다.
* <math>G</math>의, <math>(G,\mu_{\text{RH}})</math> 위의 오른쪽 작용은 종순 작용이다.

== 성질 ==
[[제2 가산]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[위상군]]의 경우 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 종순군이다.
* [[복소수 바나흐 대수]] <math>\operatorname L^\infty(G;\mathbb C)</math>는 [[종순 바나흐 대수]]이다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
종순군의 [[닫힌집합|닫힌]] [[부분군]]은 종순군이다.

종순군의 [[닫힌집합|닫힌]] [[부분군]]에 대한 [[몫군]]은 종순군이다.

유한 개의 종순군의 [[직접곱]]은 종순군이다. (그러나 무한 개의 경우 이는 성립하지 못할 수 있다.)

모든 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[아벨 군]]은 종속군이다.

== 예 ==
모든 [[유한군]]은 ([[이산 위상]]을 부여했을 때) 종순군이다. (이 경우 [[셈측도|셈 확률 측도]]는 왼쪽·오른쪽 불변 평균을 이룬다.)

([[이산 위상]]을 갖춘) [[무한 순환군]] <math>(\mathbb Z,+)</math>은 종순군이다. 그러나 그 위의 불변 평균을 구성하려면 [[선택 공리]]가 필요하다. 즉, 이러한 불변 평균을 구체적으로 제시할 수 없다.

두 개 이상의 원소로 생성되는 [[자유군]]은 ([[이산 위상]]을 부여했을 때) 종순군이 아니다. 또한, 이를 [[부분군]]으로 갖는 ([[이산 위상]]의) 군은 종순군이 아니다.

== 역사 ==
종순군의 개념은 [[존 폰 노이만]]이 [[바나흐-타르스키 역설]]을 다루기 위하여 1929년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|first=J.|last=von Neumann|authorlink=존 폰 노이만|url= http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm13/fm1316.pdf|title=Zur allgemeinen Theorie des Masses|journal= Fundamenta Mathematicae|year= 1929|volume=13 |issue= 1|pages= 73–111|언어=de}}</ref> 폰 노이만은 이 개념을 ‘가측군’({{llang|de|messbar Gruppe}})이라고 일컬었다.

이후 1949년에 말런 데이({{llang|en|Mahlon M. Day}})가 ‘종순군’({{llang|en|amenable group}})이라는 용어를 도입하였다. 이 용어는 다음과 같은 언어 유희에서 비롯하였다.
:{{llang|en|[[:wiktionary:ko:amenable|amenable]]|어미너블}} → {{lang|en|a|어}} + {{lang|en|[[:wiktionary:ko:mean|mean]]|민}}(“평균”) + {{lang|en|[[:wiktionary:ko:-able|-able]]|어블}}(“~가능”)

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|arxiv=1404.7030|제목=Amenability and ergodic properties of topological groups: from Bogolyubov onwards|이름=Rotislav|성=Grigorchuk|이름2=Pierre|성2=de la Harpe|날짜=2014|bibcode=2014arXiv1404.7030G|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/04/14/some-notes-on-amenability/|제목=Some notes on amenability|이름=Terrence|성=Tao|저자링크=테런스 타오|웹사이트=What’s New|날짜=2009-04-14|언어=en|확인날짜=2017-03-13|보존url=https://web.archive.org/web/20170607021651/https://terrytao.wordpress.com/2009/04/14/some-notes-on-amenability/|보존날짜=2017-06-07|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/12169/why-are-abelian-groups-amenable|제목=Why are abelian groups amenable?|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2017-03-13|보존url=https://web.archive.org/web/20170314063518/http://mathoverflow.net/questions/12169/why-are-abelian-groups-amenable|보존날짜=2017-03-14|url-status=dead}}

[[분류:위상군]]
[[분류:기하군론]]