조화 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Laplace's equation on an annulus.jpg|right|섬네일|300px|환형 위에서 정의되는 조화 함수의 예]]
[[수학]]에서 '''조화 함수'''({{lang|en|調和函數}}, {{lang|en|harmonic function}})는 [[라플라스 방정식]]의 해가 되는 [[함수]]다.

== 정의 ==
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 [[열린집합]] <math>U\subset\mathbb R^n</math> 위의 2차 연속 미분 가능 함수
:<math>f \in \mathcal C^2(U,\mathbb R)</math>
가 다음 [[편미분 방정식]]을 따른다면, 이를 '''조화 함수'''라고 한다.
:<math>\Delta f = 0</math>
여기서
:<math>\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} +
\frac{\partial^2}{\partial x_2^2} +
\cdots +
\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}</math>
는 [[라플라스 연산자]]이다.

== 성질 ==
=== 정칙성 ===
조화 함수의 정의는 2차 미분 가능성만을 전제로 하지만, 사실 모든 조화 함수는 항상 [[매끄러운 함수]]이자 [[해석 함수]]임을 보일 수 있다.

=== 최댓값 원리 ===
[[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math>의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 부분 집합 <math>K\subsetneq U</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>f \restriction K</math>는 (콤팩트 공간 위의 연속 함수이므로) 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이 경우, <math>f</math>가 최댓값 또는 최솟값을 갖게 되는 점은 ([[상수 함수]]가 아니라면) 항상 <math>K</math>의 [[경계 (위상수학)|경계]] <math>\partial K</math>에 위치한다.

특히, 조화 함수는 [[상수 함수]]가 아니라면 최댓값이 아닌 극댓값을 가질 수 없다.

'''리우빌 정리'''에 따르면, <math>\mathbb R^n</math> 위에 정의된 조화 함수 가운데 [[유계 함수]]인 것은 [[상수 함수]] 밖에 없다.

=== 등각 변환에 대한 불변 ===
2차원에서, 조화 함수는 [[등각 변환]]에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 등각 변환
:<math>\phi \colon U' \to U</math>
에 대하여, 만약 <math>f\colon U\to \mathbb R</math>가 조화 함수라면 <math>f\circ \phi\colon U'\to \mathbb R</math> 역시 조화 함수이다. (그러나 이는 다른 차원에서 일반적으로 성립하지 않는다.)

== 예 ==
임의의 차원에서, [[상수 함수]]와 [[선형 함수]]는 항상 조화 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

<math>\mathbb R^n \setminus\{0\}</math> 위에서,
:<math>f(\vec r) = \frac1{|\vec r|^{n-2}}</math>
는 조화 함수이다.

=== 1차원 ===
1차원의 공간 위의 조화 함수는 [[선형 함수]]
:<math>f(x) = ax + b</math>
이다. 특히, 원 <math>\mathbb S^1</math> 위의 조화 함수는 [[상수 함수]] 밖에 없다.

=== 2차원 ===
[[리만 곡면]] 위의 [[정칙 함수]]의 실수 성분(또는 허수 성분)은 조화 함수를 이룬다.

== 같이 보기 ==
* [[디리클레 문제]]
* [[디리클레 원리]]
* [[열방정식]]
* [[라플라스 방정식]]
* [[푸아송 방정식]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=HarmonicFunction|title= Harmonic function}}
* {{eom|title=Harmonic function}}

{{전거 통제}}

[[분류:조화 함수| ]]
[[분류:퍼텐셜 이론]]
[[분류:푸리에 해석학]]