조합 거울 대칭 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
빅터 바티레프는 <math>d</math> 차원 볼록 다면체에 대한 극 쌍대성을 사용하여 [[거울 대칭]]에 대한 순수한 조합적 접근 방식을 제안했다.<ref>{{저널 인용|제목=Dual polyhedra and mirror symmetry for Calabi–Yau hypersurfaces in toric varieties|저널=Journal of Algebraic Geometry|성=Batyrev|이름=V.|연도=1994|쪽=493–535}}</ref> 극 쌍대성의 가장 유명한 예는 [[정다면체|플라톤 다면체]]를 제공한다. 예를 들어, [[정육면체]]는 [[팔면체|정팔면체]]에 쌍대이고, [[십이면체|정십이면체]]는 [[이십면체|정이십면체]]에 쌍대이다. <math>d</math> -차원 볼록 다면체 <math>P</math>의 <math>k</math> 차원 면과 [[쌍대다면체|쌍대 다면체]] <math>P^*</math>의 <math>(d-k-1)</math>차원 면 사이에는 자연스러운 [[전단사]]가 존재한다.  그리고 <math>(P^*)^* = P</math>이다. 거울 대칭에 대한 바티레프의 조합적 접근 방식에서 극 쌍대성은 특수한 대칭에 적용된다.  [[Reflexive polytope|반사 다포체]]라고 불리는 <math>d</math> 차원 볼록 격자 다포체 .<ref>{{웹 인용|url=https://personales.unican.es/santosf/anogia05/slides/Nill-anogia05.pdf|제목=Reflexive polytopes|성=Nill|이름=B.}}</ref>

빅터 바티레프와 듀코 판 스트라튼<ref>{{저널 인용|제목=Generalized hypergeometric functions and rational curves on Calabi–Yau complete intersections in toric varieties|저널=Comm. Math. Phys.|성=Batyrev|이름=V.|성2=van Straten|이름2=D.|연도=1995|권=168|호=3|쪽=493–533|arxiv=alg-geom/9307010|bibcode=1995CMaPh.168..493B|doi=10.1007/BF02101841}}</ref>은 칼라비-야우 5차 삼중체의 유리 곡선 수를 계산하기 위한 필립 칸델라스 등의<ref>{{저널 인용|제목=A pair of Calabi–Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory|저널=Nuclear Physics B|성=Candelas|이름=P.|성2=de la Ossa|이름2=X.|연도=1991|권=359|호=1|쪽=21–74|doi=10.1016/0550-3213(91)90292-6|성3=Green|이름3=P.|성4=Parkes|이름4=L.}}</ref>방법을 이즈라일 겔판트, Michail Kapranov 및 Andrei Zelevinsky가 도입한<ref>I. Gelfand, M. Kapranov, S. Zelevinski (1989), "Hypergeometric functions and toric varieties", Funct. Anal. Appl. 23, no. 2, 94–10.</ref> 일반화된 <math>A</math> -초기하 함수를 사용하여 임의의 칼라비-야우 완전 교차점에 적용할 수 있음을 관찰 했다.  (Alexander Varchenko의 대화<ref>A. Varchenko (1990), "Multidimensional hypergeometric functions in conformal field theory, algebraic K-theory, algebraic geometry", Proc. ICM-90, 281–300.</ref> 참조), 여기서 <math>A</math>는 반사 다포체 <math>P</math>의 격자점 집합이다.

원환 대수다양체의 칼라비-야우 초곡면에 대한 조합 거울 쌍대성은 고렌슈타인 원환 [[파노 다양체|파노 대수다양체]]의 칼라비-야우 완전한 교차점의 경우 Lev Borisov<ref>L. Borisov (1994), "Towards the Mirror Symmetry for Calabi–Yau Complete intersections in Gorenstein Toric Fano Varieties", {{ArXiv|alg-geom/9310001}}</ref>에 의해 일반화되었다. [[쌍대뿔|쌍대 원뿔]]과 극원뿔의 개념을 사용하면 반사 다포체의 극 쌍대성을 볼록 고렌슈타인 원뿔<ref>{{저널 인용|제목=Dual cones and mirror symmetry for generalized Calabi–Yau manifolds|저널=Mirror Symmetry, II|성=Batyrev|이름=V.|성2=Borisov|이름2=L.|연도=1997|쪽=71–86}}</ref>의 쌍대성과 고렌슈타인 다포체의 쌍대성의 특별한 경우로 간주할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Combinatorial aspects of mirror symmetry|저널=Contemporary Mathematics|성=Batyrev|이름=V.|성2=Nill|이름2=B.|연도=2008|권=452|쪽=35–66|doi=10.1090/conm/452/08770|isbn=9780821841730}}</ref><ref>{{웹 인용|url=http://misgam.sissa.it/topstrings/08sissa.pdf|제목=Combinatorics and Mirror Symmetry: Results and Perspectives|성=Kreuzer|이름=M.|연도=2008}}</ref>

<math>GL(d,\Z)</math> - 동형사상을 기준으로, 임의의 고정된 자연수 <math>d </math>에 대해 유한한 수 <math>N(d)</math>의 <math>d</math> - 차원 반사 다포체들만이 존재한다 수 <math>N(d)</math>는 <math>d \leq 4</math>인 경우만 알려져 있다: <math> N(1) =1</math>, <math>N(2) =16</math>, <math>N(3) = 4319</math>, <math>N(4)= 473 800 776.</math> <math>GL(d,\Z)</math> -동형사상을 기준으로 <math>d</math> -차원 반사 단체들의 조합적 분류는 디오판틴 방정식<math> \frac{1}{k_0} + \cdots + \frac{1}{k_d} =1 </math>의 모든 해 <math>(k_0, k_1, \ldots, k_d) \in \N^{d+1} </math>의 열거와 밀접한 관련이 있다. <math>GL(4, \Z) </math> -동형사상을 기준으로 4차원 반사 다포체들의 분류는 고렌슈타인 [[파노 다양체|파노 대수다양체]]인 4차원 [[원환 다양체|토릭 대수다양체]]의 초곡면을 사용하여 [[위상수학]]적으로 다른 많은 3차원 [[칼라비-야우 다양체]]를 구성하는 데 중요하다. 3차원 및 4차원 반사 다포체의 전체 목록은 물리학자 [[Maximilian Kreuzer]]와 하랄드 사르케가 Polymake의 특수 소프트웨어를 사용하여 얻었다.<ref>M. Kreuzer, H. Skarke (1997), "On the classification of reflexive polyhedra", Comm. Math. Phys., 185, 495–508</ref><ref>M. Kreuzer, H. Skarke (1998) "Classification
of reflexive polyhedra in three dimensions", Advances Theor. Math. Phys., 2, 847–864</ref><ref>M. Kreuzer, H. Skarke (2002),
"Complete classification of reflexive polyhedra in four dimensions", Advances Theor. Math. Phys., 4, 1209–1230</ref><ref>M. Kreuzer, H. Skarke, Calabi–Yau data, http://hep.itp.tuwien.ac.at/~kreuzer/CY/</ref>

조합 거울 대칭에 대한 수학적 설명은 [[등각 장론|등각장론]]의 대수적 대응인 [[꼭짓점 연산자 대수]]를 통해 레프 보리소프에 의해 얻어졌다.<ref>L. Borisov (2001), "Vertex algebras and mirror symmetry", Comm. Math. Phys., 215, no. 3, 517–557.</ref>

== 같이 보기 ==

* [[원환 다양체]]
* [[호몰로지 거울 대칭]]
* [[거울 대칭|거울대칭(끈이론)]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:끈 이론]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:대수기하학]]