조밀 집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''조밀 집합'''(稠密集合, {{llang|en|dense set}})은 어떤 공간을 ‘조밀하게’ 채우는 [[부분 집합]]이다. 즉, 공간 속의 임의의 점을, 조밀 집합에 속하는 점들의 [[그물 (수학)|그물]]의 [[극한]]으로 나타낼 수 있다. 예를 들면 유리수의 집합은 실수선의 조밀 집합이다. 왜냐하면, 어떤 실수를 골라도 이에 수렴하는 유리수의 수열을 언제나 생각할 수 있기 때문이다. ([[그물 (수학)|그물]]을 [[점렬]]로 대체한 조건은 보다 강한 조건이지만, [[제1 가산 공간]]에서 두 조건은 서로 [[동치]]이다.)

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>D\subseteq X</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 '''조밀 집합'''이라고 한다.
* 임의의 [[열린집합]] <math>U</math>에 대하여, 만약 <math>U\subseteq X\setminus D</math>라면 <math>U=\varnothing</math>이다.
* 임의의 [[닫힌집합]] <math>C</math>에 대하여, 만약 <math>D\subseteq C\subseteq X</math>라면 <math>C=X</math>이다.
* <math>\operatorname{cl}(D)=X</math>.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|191, §30}}<ref name="SS">{{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 이름2=J. Arthur, Jr.|성2= Seebach |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2판 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어=en}}</ref>{{rp|7, §1}} 여기서 <math>\operatorname{cl}</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]]이다.
* <math>\operatorname{int}(X\setminus D)=\varnothing</math>. 여기서 <math>\operatorname{int}</math>는 [[내부 (위상수학)|내부]]이다.
* 모든 <math>x\in X</math> 및 <math>x</math>의 모든 [[근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>D\cap U\ne\varnothing</math>.
* <math>X</math>의 모든 점들은 <math>D</math>의 원소이거나 <math>D</math>의 [[극한점]]이다.<ref name="SS"/>{{rp|7, §1}}

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
임의의 위상 공간 <math>X</math> 속의 조밀 집합 <math>D\subseteq X</math> 및 <math>D\subseteq E\subseteq X</math>에 대하여, <math>E</math> 역시 <math>D</math>의 조밀 집합이다. 다시 말해, 조밀 집합들의 집합족 <math>\operatorname{Dense}(X)\subseteq\operatorname{Pow}(X)</math>은 <math>X</math>의 [[멱집합]] <math>\operatorname{Pow}(X)</math> 속의 [[상집합]]이다.

특히, 조밀 집합들의 [[합집합]]은 조밀 집합이다. 그러나 조밀 집합들의 [[교집합]]이 조밀 집합일 필요는 없다. 다만, 임의의 조밀 집합 <math>D</math>와 조밀 [[열린집합]] <math>U</math>가 주어졌을 때, 그 교집합 <math>D\cap U</math>는 조밀 집합이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 [[열린집합]] <math>V\subseteq X</math>가 주어졌으며, <math>V\ne\varnothing</math>이라고 하자. 그렇다면 <math>U</math>가 조밀 [[열린집합]]이므로 <math>U\cap V\ne\varnothing</math>이며, 따라서 <math>D\cap(U\cap V)\ne\varnothing</math>이다.
</div></div>
특히, 조밀 [[열린집합]]들의 족 <math>\operatorname{Dense}(X)\cap\operatorname{Open}(X)</math>은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있어, [[멱집합]] <math>\operatorname{Pow}(X)</math> 속의 [[필터 (수학)|필터]]를 이룬다.

임의의 두 위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[전사 함수|전사]] [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌을 때, 조밀 집합 <math>D\subseteq X</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>f[D]\subseteq Y</math> 역시 조밀 집합이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>f</math>가 [[전사 함수]]이므로 <math>f(x)=y</math>인 <math>x\in X</math>가 존재하며, <math>D</math>가 조밀 집합이므로 <math>x</math>로 수렴하는 [[그물 (수학)|그물]] <math>(x_i)_{i\in I}\subseteq D</math>가 존재하며, <math>f</math>가 [[연속 함수]]이므로 <math>f(x_i)\to f(x)=y</math>이다. 따라서 <math>f[D]</math>는 <math>Y</math>의 조밀 집합이다.
</div></div>

조밀성은 추이적이다. 즉, 만약 <math>X\subseteq Y\subseteq Z</math>이며, <math>X</math>가 <math>Y</math>의 조밀 집합이고 <math>Y</math>가 <math>Z</math>의 조밀 집합이라면 <math>X</math>는 <math>Z</math>의 조밀 집합이다.
{{증명}}
<math>U\subseteq Z</math>가 <math>Z</math>의 열린집합이며 <math>U\subseteq Z\setminus X</math>라고 하자. 그렇다면 <math>U\cap Y</math>는 <math>Y</math>의 열린집합이며, <math>U\cap Y\subseteq Y\setminus X</math>이다. <math>X</math>가 <math>Y</math>의 조밀 집합이므로 <math>U\cap Y=\varnothing</math>이다. 즉, <math>U\subseteq Z\setminus Y</math>이다. <math>Y</math>가 <math>Z</math>의 조밀집합이므로 <math>U=\varnothing</math>이다.
{{증명 끝}}

=== 함의 관계 ===
모든 조밀 [[열린집합]]은 [[조밀한 곳이 없는 집합]]의 [[여집합]]이다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.) 즉, 다음 함의 관계가 성립한다.
:조밀 [[열린집합]] ⇒ [[조밀한 곳이 없는 집합]]의 여집합 ⇒ [[제1 범주 집합]]의 여집합 ⇒ [[준열린집합]]

=== 조밀 집합은 연속 함수를 결정한다 ===
임의의 위상 공간 <math>X</math>와 [[하우스도르프 공간]] <math>Y</math> 및 조밀 집합 <math>D\subseteq X</math>와 두 [[연속 함수]] <math>f,g\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>f\restriction D=g\restriction D</math>라면, <math>f=g</math>이다. (여기서 <math>\restriction</math>은 함수의 제한을 뜻한다.)
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'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 <math>x\not\in D</math>에 대하여, <math>f=g</math>임을 보이면 족하다. <math>D</math>가 조밀 집합이므로, <math>x</math>로 수렴하는, <math>D</math> 속의 점들로 구성된 [[그물 (수학)|그물]] <math>(x_i)_{i\in I}</math>가 존재한다. <math>f</math>가 연속 함수이므로
:<math>g(x_i)=f(x_i)\to f(x)</math>
:<math>f(x_i)=g(x_i)\to g(x)</math>
이며, <math>Y</math>가 [[하우스도르프 공간]]이므로 그물의 극한은 유일하다. 따라서 <math>f(x)=g(x)</math>이다.
</div></div>

== 예 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>는 스스로의 조밀 집합이다. 반면, <math>X</math> 전체가 아닌 <math>X</math>의 모든 [[닫힌집합]]은 <math>X</math>의 조밀 집합이 아니다.

=== 유한 부분 집합의 여집합 ===
[[자기 조밀 공간|자기 조밀]] [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] 속에서, 임의의 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]]의 [[여집합]]은 조밀 [[열린집합]]이다.
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'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
조밀 열린집합들은 교집합에 대하여 닫혀 있으므로, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>X\setminus\{x\}</math>가 조밀 [[열린집합]]임을 보이면 족하다.
* <math>X\setminus\{x\}</math>는 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 조건]]에 의하여 [[열린집합]]이다.
* <math>X\setminus\{x\}</math>는 [[자기 조밀 공간]] 조건에 의하여 [[닫힌집합]]이 아니다. 따라서 <math>\operatorname{cl}(X\setminus\{x\})=X</math>이며, <math>X\setminus\{x\}</math>는 조밀 집합이다.
</div></div>

=== 이산 공간 ===
위상 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[이산 공간]]이다.
* 정확히 1개의 조밀 집합을 갖는다. (이는 물론 <math>X</math> 전체이다.)
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'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
이산 공간 <math>X</math>에서 조밀 집합이 <math>X</math> 전체 밖에 없다는 것은 자명하다. 반대로, 위상 공간 <math>X</math>가 [[이산 공간]]이 아니라고 하자. 그렇다면, [[열린집합]]이 아닌 [[한원소 집합]] <math>\{x\}\subseteq X</math>가 존재한다. 그렇다면, <math>X\setminus\{x\}</math>는 <math>X</math>의 조밀 집합이다.
</div></div>

=== 비이산 공간 ===
위상 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[비이산 공간]]이다.
* <math>X</math>의 [[공집합]]이 아닌 모든 [[부분 집합]]은 조밀 집합이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
비이산 공간 <math>X</math>에서 공집합이 아닌 모든 [[부분 집합]]이 조밀 집합이라는 것은 자명하다. 반대로, <math>X</math>가 비이산 공간이 아니라고 하자. 즉, 닫힌집합 <math>\varnothing\ne F\subsetneq X</math>가 존재한다고 하자. 그렇다면 <math>F</math>는 조밀 집합이 아니다.
</div></div>

=== 실수선의 조밀 집합 ===
실수선 <math>\mathbb R</math>의 부분 집합들을 생각하자.
* [[유리수]]의 집합 <math>\mathbb Q</math>는 실수선의 조밀 집합이다.
* [[무리수]]의 집합 <math>\mathbb R\setminus\mathbb Q</math> 역시 실수선의 조밀 집합이다.
* 반면, 자연수의 집합 <math>\mathbb N</math>, 정수의 집합 <math>\mathbb Z</math>는 <math>\mathbb R</math>의 조밀 집합이 아니다.

임의의 세 실수 <math>a<b<c</math>에 대하여,  <math>[a,b)\cup(b,c]=[a,c]\setminus\{b\}</math>는 <math>[a,c]</math> 안의 조밀 집합이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Dense set}}
* {{매스월드|id=Dense|title=Dense}}
* {{nlab|id=dense subspace|title=Dense subspace}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Everywhere_Dense|제목=Definition: everywhere dense|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:일반위상수학]]